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GRE科目考试:数学:除法法则

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例子问题

例子问题1:除法法则

找到 $\frac{dy}{dx}$ ：

$y=\frac{ln(x)}{cos(x)}$

可能的答案:

$\frac{1}{xcos(x)}+\frac{ln(x)sin(x)}{cos(x)^2}$

$\frac{1}{xcos^3(x)}+\frac{ln(x)sin(x)}{cos(x)^2}$

$\frac{ln(x)sin(x)}{cos(x)^2}$

$\frac{sec(x)tan(x)}{x}$

ln(x)sin(x)-x+C

正确答案:

$\frac{1}{xcos(x)}+\frac{ln(x)sin(x)}{cos(x)^2}$

解释：

写出除法法则。

$\frac{d}{dx}\left (\frac{f(x)}{g(x)} \right )=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

对于函数 $y=\frac{ln(x)}{cos(x)}$ ， f(x)=ln(x) 而且 g(x)=cos(x) ， $f'(x)= \frac{1}{x}$ 而且 g'(x)=-sin(x) ．

代入并求解导数。

$\frac{d}{dx}\left (\frac{f(x)}{g(x)} \right )=\frac{cos(x)(\frac{1}{x})-ln(x)(-sin(x))}{cos(x)^2}$

$\frac{d}{dx}\left (\frac{f(x)}{g(x)} \right )=\frac{\frac{cos(x)}{x}+ln(x)sin(x)}{cos(x)^2}$

化简第一项。

$y'=\frac{1}{xcos(x)}+\frac{ln(x)sin(x)}{cos(x)^2}$

报告错误

例子问题1:发现衍生品

求如下导数:

$\left(\frac{f}{g}\right)'$

鉴于

f(x)=-13x^3+7x^2

g(x)=x^9

可能的答案:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{-78}{x^{8}}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{78x-49}{x^{8}}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{-78x+49}{x^{8}}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{-78x-343}{x^{18}}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{-78x-49}{x^{16}}$

正确答案:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{78x-49}{x^{8}}$

解释：

这个问题要求我们求商的导数。使用除法法则:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

首先找到而且．

f(x)=-13x^3+7x^2

f'(x)=-39x^2+14x

g(x)=x^9

g'(x)=9x^8

所以我们得到:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{(-39x^2+14x)(x^9)-(-13x^3+7x^2)(9x^8)}{(x^9)^2}$

让我们化简一下

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{(-39x^{11}+14x^{10})-(-117x^{11}+63x^{10})}{x^{18}}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{-39x^{11}+14x^{10}+117x^{11}-63x^{10}}{x^{18}}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{78x^{11}-49x^{10}}{x^{18}}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{78x-49}{x^{8}}$

报告错误

例子问题1:导数与积分

找到导数 $\left(\frac{f}{g}\right)'$ ．

f(x)=5x^3

g(x)=e^x

可能的答案:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2+5x^3}{e^x}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{3x^2-x^3}{e^x}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2+5x^3}{e^{2x}}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2-5x^3}{e^x}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2-5x^3}{e^{2x}}$

正确答案:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2-5x^3}{e^x}$

解释：

这个问题涉及到除法法则的应用:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

所以找到而且开始:

f(x)=5x^3

f'(x)=15x^2

g(x)=e^x

g'(x)=e^x

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2\cdot e^x-5x^3\cdot e^x}{(e^x)^2}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{e^x(15x^2-5x^3)}{(e^x)(e^x)}=\frac{15x^2-5x^3}{e^x}$

所以我们的答案是:

$\frac{15x^2-5x^3}{e^x}$

报告错误

问题11:导数与积分

求导数: $\frac{2x^2+2x+1}{x+1}$ ．

可能的答案:

以上都不是

$\frac{2x^2+4x+1}{(x+1)^2}$

$\frac{2x^2+4x-1}{(x+1)^2}$

$\frac{2x^2-4x+1}{(x+1)^2}$

正确答案:

$\frac{2x^2+4x+1}{(x+1)^2}$

解释：

步骤1:我们需要定义除法法则。除法法则说: $\frac {f'g-g'f}{g^2}$ ,在那里是的导数 f(x) 而且是的导数 g(x)

第二步:我们需要复习如何对不同种类的项求导。当我们对多项式中的项求导时，我们需要遵循以下规则:

规则1:对于任何带有指数的项，该项的导数是:去掉指数，然后乘以该项的系数。导数的新指数是比前一个指数低。

例子: $6x^2->6(2)x^{2-1}=12x^1=12x$

规则2:对于表格中的任何项 $ax, x\neq0$ ，这一项的导数是，这一项的系数。

Ecample: 2x->2

规则3:任何常数的导数总是

3 .寻找而且：

f'=4x+2
g'=1

第四步:将所有方程代入除法法则:

$\frac{f'g-g'f}{g^2}=\frac{(4x+2)(x+1)-1(2x^2+2x+1)}{(x+1)^2}$

步骤5:化简步骤4中的分数:

$\frac{4x^2+2x+4x+2-2x^2-2x-1}{(x+1)^2}$

步骤6:将步骤5中分子中的项组合起来:

$\frac{2x^2+4x+1}{(x+1)^2}$ ．

的导数 $\frac{2x^2+2x+1}{x+1}$ 是 $\frac{2x^2+4x+1}{(x+1)^2}$

报告错误

例子问题121:Gre科目考试:数学

求导数: $f(x)=\frac {2+x}{x}$

可能的答案:

$\frac {2}{x}$

$\frac {2}{x^2}$

$-\frac {2}{x^2}$

正确答案:

$-\frac {2}{x^2}$

解释：

第一步:定义 f(x),g(x) ．

f(x)=x+2, g(x)=x

2 .寻找 f'(x),g'(x) ．

f'(x)=1,g'(x)=1

第三步:将函数/值代入除法法则公式: $\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$

$\frac {1(x)-(x+2)(1)}{x^2}=\frac {x-x-2}{x^2}=-\frac {2}{x^2}$

表达式的导数是 $-\frac {2}{x^2}$

报告错误

例子问题3:除法法则

找到导数 $\left(\frac{f}{g}\right)'$ ．

f(x)=5x^3

g(x)=e^x

可能的答案:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2-5x^3}{e^x}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2+5x^3}{e^{2x}}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2+5x^3}{e^x}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2-5x^3}{e^{2x}}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{3x^2-x^3}{e^x}$

正确答案:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2-5x^3}{e^x}$

解释：

这个问题涉及到除法法则的应用:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

所以找到而且开始:

f(x)=5x^3

f'(x)=15x^2

g(x)=e^x

g'(x)=e^x

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{15x^2\cdot e^x-5x^3\cdot e^x}{(e^x)^2}$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{e^x(15x^2-5x^3)}{(e^x)(e^x)}=\frac{15x^2-5x^3}{e^x}$

所以我们的答案是:

$\frac{15x^2-5x^3}{e^x}$

报告错误

例子问题121:Gre科目考试:数学

找到第二个的导数: $h(x)=\frac {x^3-2x}{x^5+4x^2}$

可能的答案:

$\frac {6x^{11}+40x^9-47x^8-88x^6-140x^5-88x^3+256}{x^{15}+16x^{12}+96x^9+256x^6+256x^3}$

$\frac {2x^5+8x^3+4x^2+8}{x^8+8x^5+16x^2}$

以上都不是

$\frac {-6x^{11}-40x^9+47x^8+88x^6+140x^5+88x^3-256}{x^{15}+16x^{12}+96x^9+256x^6+256x^3}$

正确答案:

以上都不是

解释：

求一阶导数：

第一步:定义 f(x),g(x)

f(x)=x^3-2x, g(x)=x^5+4x^2

2 .寻找 f'(x), g'(x)

f'(x)=3x^2-2, g'(x)=5x^4+8x

第三步:将所有方程代入商法则公式: $\frac {f'g-g'f}{g^2}$

$\frac {(3x^2-2)(x^5+4x^2)-[(5x^4+8x)(x^3-2x)]}{[(x^5+4x^2)]^2}$

步骤4:化简步骤3中的分数:

$\frac {3x^7+12x^4-2x^5-8x^2-[5x^7-10x^5+8x^4-16x^2]}{x^{10}+8x^7+16x^4}$

$=\frac {3x^7+12x^4-2x^5-8x^2-5x^7+10x^5-8x^4+16x^2}{x^{10}+8x^7+16x^4}$
$=\frac {-2x^7+8x^5+4x^4+8x^2}{x^{10}+8x^7+16x^4}$

第五步:因式分解 x^2 从分子分母出来。化简分数..

$\frac {x^2(-2x^5+8x^3+4x^2+8)}{x^2(x^8+8x^5+16x^2)}=\frac {-2x^5+8x^3+4x^2+8}{x^8+8x^5+16x^2}$
我们已经求出了一阶导数。

求二阶导数：

第六步:寻找 f(x),g(x) 从一阶导数函数

f(x)=-2x^5+8x^3+4x^2+8, g(x)=x^8+8x^6+16x^2

第七步:寻找 f'(x), g'(x)

f'(x)=-10x^4+24x^2+8x, g'(x)=8x^7+40x^4+32x

步骤8:将表达式代入除法规则公式中: $\frac {f'g-g'f}{g^2}$

$\frac {(-10x^4+24x^2+8x)(x^8+8x^5+16x^2)-[(8x^7+40x^4+32x)(-2x^5+8x^3+4x^2+8)]}{[(x^8+8x^6+16x^2)]^2}$

第九步:简化:

$\frac {-10x^{12}-80x^9-160x^6+24x^{10}+192x^7+384x^4-...-64x^6-64x^{10}-...-256x}{[(x^8+8x^6+16x^2)]^2}$

我写“…”是因为分子很长。我不想把所有项都写出来。

第10步:合并类似的术语:

$\frac {-26x^{12}-88x^{10}-130x^9-296x^7-308x^6-680x^4-256x}{x^{16}+16x^{13}+96x^{10}+256x^7+256x^4}$

步骤11:提出因子和简化:

最后的答案: $\frac {-26x^{11}-88x^9-130x^8-296x^6-308x^5-680x^3-256}{x^{15}+16x^{12}+96x^9+256x^6+256x^3}$ ．

这是二阶导数。

答案是以上都不是。二阶导数不在答案中…

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波士顿大学，物理学学士。麻省大学阿默斯特分校，哲学博士，物理学。

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密歇根大学迪尔伯恩分校，应用数学理学学士。

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