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GRE科目考试:数学:矩阵

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例子问题

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例子问题1:线性代数

请执行以下操作。

$\begin{bmatrix} 2& 4& 1\\ 5& 3& -2\\ -3& -1&0 \end{bmatrix}$ $\cdot \begin{bmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{bmatrix}$ $+\begin{bmatrix} -7\\ 4\\ 11 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 14\\ 24 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 14& 24& 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 34\\ -25\\ 7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 7\\ 20\\ 7 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 14\\ 24 \\ 1 \end{bmatrix}$

解释：

解决这个运算的第一步是做乘法运算:

$\begin{bmatrix} 2& 4& 1\\ 5& 3& -2\\ -3& -1&0 \end{bmatrix}$ $\cdot \begin{bmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix} 2(2)& 4(4)& 1(1)\\ 5(2)& 3(4)& -2(1)\\ -3(2)& -1(4)&0(1) \end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix} 4+16+1\\ 10+12-2\\ -6-4+0 \end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix} 21\\ 20\\ -10 \end{bmatrix}$

一旦我们将矩阵相乘，我们可以执行加法部分:

$\begin{bmatrix} 21\\ 20\\ -10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -7\\ 4\\ 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14\\ 24\\ 1 \end{bmatrix}$

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例子问题1:线性代数

请执行以下操作。

$3\left(\begin{bmatrix} 7\\ -3\\ 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -1\\ 4\\ 6 \end{bmatrix}\right)$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 4\\ 9\\ 20 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 18\\ 3\\ 24 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 18& 3& 24 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 20\\ -5\\ 12 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 18\\ 3\\ 24 \end{bmatrix}$

解释：

第一步是解括号里的东西，在这种情况下是加法:

$\begin{bmatrix} 7\\ -3\\ 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -1\\ 4\\ 6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6\\ 1\\ 8 \end{bmatrix}$

然后将解代入括号:

$3\left(\begin{bmatrix} 6\\ 1\\ 8 \end{bmatrix}\right)$

这个问题的下一步，也是最后一步，是进行乘法运算:

$3\left(\begin{bmatrix} 6\\ 1\\ 8 \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 18\\ 3\\ 24 \end{bmatrix}$

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例子问题2:线性代数

如果可能的话，求下面矩阵的逆。

$A=\begin{bmatrix} 4&-4 \\ -4&-4 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} \frac{1}{4}&-\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4} \end{bmatrix}$

相反的情况并不存在。

$\begin{bmatrix} \frac{1}{8}&-\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8}& -\frac{1}{8} \end{bmatrix}$

$-\frac{1}{32}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} \frac{1}{8}&-\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8}& -\frac{1}{8} \end{bmatrix}$

解释：

写出求矩阵逆的公式。

$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}^-^1=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d& -b\\ -c& a \end{bmatrix}$

代入给定的矩阵，我们就能求出逆矩阵。

$\begin{bmatrix} 4&-4 \\ -4&-4 \end{bmatrix}^-^1=\frac{1}{(4)(-4)-(-4)(-4)}\begin{bmatrix} -4&4 \\ 4&4 \end{bmatrix}$

$\frac{1}{-32}\begin{bmatrix} -4&4 \\ 4&4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{8}&-\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8}& -\frac{1}{8} \end{bmatrix}$

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例子问题1:矩阵

如果可能的话，求下面矩阵的逆。

$A=\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 0&-1 \\-1&0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1& 0\\ 0&1 \end{bmatrix}$

相反的情况并不存在。

$\begin{bmatrix} 0& 1\\ 1&0 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 0& 1\\ 1&0 \end{bmatrix}$

解释：

写出求矩阵逆的公式。

$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}^-^1=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d& -b\\ -c& a \end{bmatrix}$

利用已知的信息，我们可以求出逆矩阵。

$\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}^-^1=\frac{1}{(0)(0)-(1)(1)}\begin{bmatrix} 0&-1 \\-1&0 \end{bmatrix}$

$-1\begin{bmatrix} 0&-1 \\ -1&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0& 1\\ 1&0 \end{bmatrix}$

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例5:线性代数

求函数的逆。

$g(x)= \frac{x+3}{2x-4}$

可能的答案:

$g^{-1}(x)= \frac{x+4}{2-x}$

$g^{-1}(x)= \frac{3x+4}{x-2}$

$g^{-1}(x)= \frac{x+3}{-4x+1}$

$g^{-1}(x)= \frac{4x+3}{2x-1}$

正确答案:

$g^{-1}(x)= \frac{4x+3}{2x-1}$

解释：

要找到逆函数，首先替换 g(x) 与：

$y= \frac{x+3}{2x-4}$

现在替换每个与一个和每个与一个：

$x= \frac{y+3}{2y-4}$

求解上式：

x(2y-4)=y+3

2xy-4x=y+3

2xy-y=4x+3

(2x-1)y=4x+3

$y= \frac{4x+3}{2x-1}$

取代与 $g^{-1}(x)$ ．这是逆函数:

$g^{-1}(x)= \frac{4x+3}{2x-1}$

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例子问题1:求关系式的倒数

求函数的逆 y=2x^2+1 ．

可能的答案:

$f^-^1(x)=\pm \sqrt{x-1}$

f^-^1(x)=-x+1

$f^-^1(x)=\pm \sqrt{\frac{x-1}{2}}$

$f^-^1(x)=\pm \sqrt{\frac{x+1}{2}}$

f^-^1(x)=x+1

正确答案:

$f^-^1(x)=\pm \sqrt{\frac{x-1}{2}}$

解释：

求的逆 y=2x^2+1 ，交换而且术语和求解．

y=2x^2+1

x=2y^2+1

x-1=2y^2

$\frac{x-1}{2}=y^2$

$f^-^1(x)=\pm \sqrt{\frac{x-1}{2}}$

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示例问题7:线性代数

求下式的倒数。

$y=\sqrt{\ln(x)+2}$ ．

可能的答案:

$y=\pm x^2 -2$

y=e^x+2

y=x-2

$y=e^x^{^{2}-2}$

$y=e^\pm ^{^{x^2}-2}$

正确答案:

$y=e^x^{^{2}-2}$

解释：

在这种情况下，为了求逆，我们需要交换x和y变量，然后解出y。

因此,

$y=\sqrt{\ln(x)+2}$ 就变成了,

$x=\sqrt{\ln(y)+2}$

为了解出y，两边平方，消去平方根。

$x^2=\ln(y)+2$

然后两边同时减去2，对两边取指数，就得到了最终答案。

$x^2-2=\ln(y)$

$e^{x^2-2}=e^{\ln(y)}$

$e^x^{^{2}-2}=y$

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例8:线性代数

求下列函数的逆。

y=x^3+e^0

可能的答案:

$y^{-1}=\sqrt[{3}]{x-1}$

$y^{-1}=1-x^{3}}$

$y^{-1}=e^{0}}$

$y^{-1}=\sqrt[3]{x+e}$

正确答案:

$y^{-1}=\sqrt[{3}]{x-1}$

解释：

求y的倒数，或者

$y^{-1}$

首先交换方程中的变量x和y。

$x_{i}=y_i^3+e^0$

第二步，解出变量 y_i 在得到的方程中。

x_i-e^0=y_i^3

$(x_i-e^0)^\frac{1}{3}=(y_i^{3})^\frac{1}{3}$

$y_i=\sqrt[3]{x_i-e^0}$

以0为幂的数化简，其倒数为

$y^{-1}=\sqrt[{3}]{x-1}$

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例子问题1:逆

求下列函数的逆。

$y=\ln\, x\: +\: \pi$

可能的答案:

$y^{-1}=\pi-\ln(x)$

$y^{-1}=e^{x-\pi}$

不存在

$y^{-1}=\ln(y)-\pi$

正确答案:

$y^{-1}=e^{x-\pi}$

解释：

求y的倒数，或者

$y^{-1}$

首先交换方程中的变量x和y。

$x_i=\ln(y_i)+\pi$

第二步，解出变量 y_i 在得到的方程中。

$x_i-\pi=\ln\,y_i$

通过将方程两边分别设为以e为底的幂，

$y^{-1}=e^{x-\pi}$

报告错误

例子问题1:求函数的逆

求函数的逆。

y=x+5

可能的答案:

$y^{-1}=5-x$

$y^{-1}=-x-5$

$y^{-1}=5+x$

$y^{-1}=x-5$

正确答案:

$y^{-1}=x-5$

解释：

为了求逆，我们需要交换变量，然后解出y。

y=x+5

交换变量我们得到下面的方程，

x=y+5 ．

现在解出y。

$y^{-1}=x-5$

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