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GRE科目考试:数学:链式法则

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例子问题

例子问题1:链式法则

计算导数:

y=cos(sin(2x))

可能的答案:

-2cos^2(2x)

-2sin^2(2x)

-2cos(2x)sin^2(2x)

-2cos(2x)sin(sin(2x))

-2sec(2x)tan(2x)

正确答案:

-2cos(2x)sin(sin(2x))

解释：

这个问题需要运用多重链式法则。有2个内部函数 y=cos(sin(2x)) ，分别是 sin(2x) 而且．

括号用于标识函数中必须应用链式法则的函数。

求导数。

$\frac{dy}{dx}= -sin([sin(2x)]) \cdot (cos[2x]))\cdot 2=-2cos(2x)sin(sin(2x))$

一个角的sin不能组合成sin的平方。

因此，答案是:

-2cos(2x)sin(sin(2x))

例子问题1:链式法则

求下列函数的导数:

$h(x)=(3x^3-4x)^{33}$

可能的答案:

$h'(x)=(9x^2-4)(3x^2-4x)^{32}$

$h'(x)=(297x^2-132)(3x^2-4x)^{33}$

$h'(x)=(297x^2+132)(3x^2-4x)^{33}$

$h'(x)=(297x^2)(3x^2-4x)^{32}$

$h'(x)=(297x^2-132)(3x^2-4x)^{32}$

正确答案:

$h'(x)=(297x^2-132)(3x^2-4x)^{32}$

解释：

回忆一下这个问题的链式法则

(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)

如果已知如下，

$h(x)=(3x^3-4x)^{33}$

我们可以这样想

f(x)=3x^3-4x

f'(x)=9x^2-4

$g(x)=x^{33}$

$g'(x)=33x^{32}$

$(f(g(x)))'=(9x^2-4)(33)(3x^2-4x)^{32}$

清理一下，得到:

$(f(g(x)))'=(297x^2-132)(3x^2-4x)^{32}$

例子问题1:链式法则

它的导数是什么 3x^2*8y^3

可能的答案:

3x^2*24y^2

3x^2*24y^2+8y^3*6x

6x*24y

8y^3*6x

3x*8y^2

正确答案:

3x^2*24y^2+8y^3*6x

解释：

链式法则: Given: f(x)*g(y)

$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}=f(x)g'(y)+g(y)f'(x)$

对于这个问题

f(x)=3x^2

$f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}3x^2=3(2)x^{2-1}=6x$

g(y)=8y^3

$g'(y)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}8y^3=8(3)y^{3-1}=24y^2$

将这些值代入链式法则公式并简化如下:

$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}(3x^2*8y^3)=3x^2*24y^2+8y^3*6x$

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