GRE数学:如何除平方根

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例子问题

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问题1:如何除平方根

下面哪个等于 $\sqrt{81}/\sqrt{6}$

可能的答案:

$\sqrt{3}/2$

$3\sqrt{3}$

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{6}$

$3\sqrt{6}/2$

正确答案:

$3\sqrt{6}/2$

解释：

$\sqrt{81}/\sqrt{6}=9/\sqrt{6}$ 然后把分数乘以 $\sqrt{6}/\sqrt{6}$ 因为分母上不能留下根号。这给了我们 $9\sqrt{6}/6$ ．最后，我们可以化简分数，除以3，得到 $3\sqrt{6}/2$

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问题2:如何除平方根

简化:

$\frac{\sqrt{343x^5}}{\sqrt{49x^3}}$

可能的答案:

$\frac{x}{7}$

$7\sqrt{x}$

$x\sqrt{7}$

$\frac{7}{x}$

正确答案:

$x\sqrt{7}$

解释：

我们把两个自由基合并成一个自由基，然后化简。

$\frac{\sqrt{343x^5}}{\sqrt{49x^3}}=\sqrt{\frac{343x^5}{49x^3}}=\sqrt{7x^2}$

记住，同底数的指数相除时，只要减去幂。

最后的答案是 $x\sqrt{7}$ ．

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问题1:如何除平方根

解出：

$\frac{1}{\sqrt{x}}=4$

可能的答案:

$\pm \frac{1}{16}$

$\frac{1}{16}$

$\frac{1}{4}$

正确答案:

$\frac{1}{16}$

解释：

如果上下同时乘以 $\sqrt{x}$ ，我们将一事无成，因为这将导致: $\frac{1}{\sqrt{x}}*\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x}$ ．我们来交叉相乘。

$\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{4}{1}$

$4\cdot \sqrt{x}=1\cdot 1$

$4\sqrt{x}=1$

然后，两边平方，消去根式。

$(4\sqrt{x})^2=1^2$

16x=1

两边同时除以．

$x=\frac{1}{16}$

负数不是答案的原因是，根号中的负数是虚数。

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问题1:平方根和运算

使分母合理化:

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

可能的答案:

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\frac{5}{2}$

$\frac{2}{5}$

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\frac{5}{2\sqrt{5}}$

正确答案:

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

解释：

分母上不要有根号。为了消去自由基，只要上下同时乘以这个自由基。

$\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

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问题5:如何除平方根

简化:

$\frac{\sqrt{250}}{\sqrt{10}}$

可能的答案:

$\sqrt{10}$

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

正确答案:

解释：

我们可以用两种方法化简这个分数:

方法1:

分子因式分解:

$\frac{\sqrt{250}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{25}\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\sqrt{25}=5$

记住，我们需要提出完全平方。

方法2:

你可以把分数化成一个大的平方根。

$\frac{\sqrt{250}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{250}{10}}$

然后，你可以化简分数。

$\sqrt{\frac{250}{10}}=\sqrt{25}=5$

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问题6:如何除平方根

简化:

$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{20}}$

可能的答案:

$\frac{\sqrt{105}}{50}$

$\frac{105}{10}$

$\frac{\sqrt{105}}{10}$

$\frac{21}{20}$

$\frac{\sqrt{21}}{10}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{105}}{10}$

解释：

把根号分解。

$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}}{2\cdot \sqrt{5}}$

然后分子分母同时乘以 $\sqrt{5}$ 去掉分母上的根号。

$\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{5}}{2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{105}}{10}$

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问题11:平方根和运算

下面哪个是等价的 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ？

可能的答案:

$\frac{1}{3}$

$\frac{3}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{3}$

正确答案:

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

解释：

我们可以排除一些选项。和 $\frac{1}{3}$ 没有意义，因为这是无理数。接下来，把分子和分母相乘 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 通过 $\sqrt{3}$ ．当我们化简根式分数时，我们试图消除根式，但在这里，我们要往回走。

$\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{3}}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ,所以 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 就是答案。

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问题8:如何除平方根

使分母合理化并简化:

$\frac{\sqrt{8}+\sqrt{12}}{\sqrt{6}}$

可能的答案:

$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3}$

$\frac{5}{3}$

$\frac{\sqrt{48}+\sqrt{72}}{6}$

$\frac{\sqrt{15}}{3}$

$\frac{\sqrt{30}}{3}$

正确答案:

$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3}$

解释：

分母上不要有根号。为了消去自由基，分子分母同时乘以这个自由基。

$\frac{\sqrt{8}+\sqrt{12}}{\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=$ $\frac{\sqrt{48}+\sqrt{72}}{6}$

记住在相乘时要把根号放在分子上。

这可能是答案;然而，分子可以化简。把平方提出来。

$\frac{\sqrt{48}+\sqrt{72}}{6}=\frac{\sqrt{16}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}}{6}=\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{6}$

最后，如果我们提出a，我们得到:

$\frac{2}{2}\cdot \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3}$

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问题9:如何除平方根

简化:

$\sqrt{\frac{5}{6}}-\sqrt{\frac{7}{8}}$

可能的答案:

$\frac{2\sqrt{30}-3\sqrt{14}}{12}$

$\sqrt{\frac{35}{48}}\cdot -\frac{1}{24}$

$\frac{\sqrt{105}}{12}$

$\frac{4\sqrt{30}}{24}-\frac{3\sqrt{56}}{24}$

$\frac{2\sqrt{14}-3\sqrt{30}}{12}$

正确答案:

$\frac{2\sqrt{30}-3\sqrt{14}}{12}$

解释：

我们把每个分数的分母上的根号去掉。

$\sqrt{\frac{5}{6}}-\sqrt{\frac{7}{8}}=\sqrt{\frac{5\cdot 6}{6\cdot 6}}-\sqrt{\frac{7\cdot 8}{8\cdot 8}}=\frac{\sqrt{30}}{6}-\frac{\sqrt{56}}{8}$

然后求分数的最小公分母，也就是将它们相乘，这样它们的分母就都是．

$\frac{4\sqrt{30}}{24}-\frac{3\sqrt{56}}{24}$

我们肯定可以化简右边分数的分子通过提出一个完全平方．

$\frac{4\sqrt{30}}{24}-\frac{3\sqrt{56}}{24}=\frac{4\sqrt{30}}{24}-\frac{3\sqrt{4}*\sqrt{14}}{24}=\frac{4\sqrt{30}}{24}-\frac{6\sqrt{14}}{24}$

最后，我们可以提出a：

$\frac{2}{2}\cdot \frac{2\sqrt{30}-3\sqrt{14}}{12}=\frac{2\sqrt{30}-3\sqrt{14}}{12}$

这就是最终答案。

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问题10:如何除平方根

简化:

$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$

可能的答案:

$3+2\sqrt{2}$

$-\sqrt{2}$

$-3-2\sqrt{2}$

$-3+2\sqrt{2}$

$-5\sqrt{2}$

正确答案:

$-3-2\sqrt{2}$

解释：

为了消去自由基，我们需要乘以共轭。共轭用的是相反的符号乘以它我们就能理顺这个问题的分母。目标是得到一个表达式 a^2-b^2 我们取两个平方的差。

$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{{1+\sqrt{2}}}{{1+\sqrt{2}}}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{2}+2}{1-2}=\frac{3+2\sqrt{2}}{-1}$

这个答案和 $-3-2\sqrt{2}$ ．记住要分配负号。

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