GRE数学:分解公因数的平方和平方根

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例子问题

例子问题2:如何求平方根的公因数

下列哪项等于:

$\sqrt{210}+\sqrt{55}$ ?

可能的答案:

$7\sqrt{30}+5\sqrt{11}$

$5\sqrt{462}$

$\sqrt{265}$

$\sqrt{5}(\sqrt{42}+\sqrt{11})$

$5\sqrt{7}+\sqrt{11}$

正确答案:

$\sqrt{5}(\sqrt{42}+\sqrt{11})$

解释：

首先，把自由基的含量提出来。这样回答起来就容易多了:

$\sqrt{210}+\sqrt{55}=\sqrt{2*3*5*7}+\sqrt{5*11}$

它们都有一个公因数．这意味着你可以像这样重写你的方程:

$\sqrt{5}\sqrt{2*3*7}+\sqrt{5}\sqrt{11}$

这相当于:

$\sqrt{5}\sqrt{42}+\sqrt{5}\sqrt{11}$

它们有一个共同的 $\sqrt{5}$ ．因此，把它提出来:

$\sqrt{5}\sqrt{42}+\sqrt{5}\sqrt{11}=\sqrt{5}(\sqrt{42}+\sqrt{11})$

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例子问题1:如何求平方根的公因数

简化:

$\sqrt{15}-\sqrt{20}+\sqrt{35}$

可能的答案:

$\sqrt{5}(\sqrt{10}-2)$

$\sqrt{2}(\sqrt{5}+2\sqrt{7})$

$\sqrt{7}-3\sqrt{5}$

$\sqrt{5}(\sqrt{3}+\sqrt{7}-2)$

$2\sqrt{15}+\sqrt{2}$

正确答案:

$\sqrt{5}(\sqrt{3}+\sqrt{7}-2)$

解释：

这三个根都有a共同点;因此，你可以重写它们:

$\sqrt{15}-\sqrt{20}+\sqrt{35}=\sqrt{3*5}-\sqrt{4*5}+\sqrt{7*5}$

现在，这可以改写为:

$\sqrt{3*5}-\sqrt{4*5}+\sqrt{7*5}=\sqrt{5}\sqrt{3}-\sqrt{5}\sqrt{4}+\sqrt{5}\sqrt{7}$

现在,请注意, $\sqrt{4}=2$

因此，你可以再次简化:

$\sqrt{5}\sqrt{3}-\sqrt{5}\sqrt{4}+\sqrt{5}\sqrt{7}=\sqrt{5}\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{5}\sqrt{7}$

现在，这看起来很乱!但是，如果你仔细观察，你会发现所有的因子 $\sqrt{5}$ ；因此，把它提出来:

$\sqrt{5}\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{5}\sqrt{7}=\sqrt{5}(\sqrt{3}-2+\sqrt{7})$

这相当于:

$\sqrt{5}(\sqrt{3}+\sqrt{7}-2)$

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问题31:算术

简化如下:

$\sqrt{125}+\sqrt{245}+\sqrt{80}$

可能的答案:

它不能再进一步简化了

$90\sqrt{5}$

$3\sqrt{5}+21\sqrt{2}$

$16\sqrt{5}$

$\sqrt{450}$

正确答案:

$16\sqrt{5}$

解释：

首先将每一个根因式分解，看看每一个根能被分解出什么:

$\sqrt{5^3}+\sqrt{7^2*5}+\sqrt{4^2*5}$

这些可以改写为:

$5\sqrt{5}+7\sqrt{5}+4\sqrt{5}$

注意每一个都有一个公因数 $\sqrt{5}$ ．因此，我们知道我们可以将它改写为:

$5\sqrt{5}+7\sqrt{5}+4\sqrt{5} = \sqrt{5}(5+7+4) = 16\sqrt{5}$

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例子问题1:如何求平方根的公因数

简化如下:

$\sqrt{40}+\sqrt{20}+\sqrt{160}$

可能的答案:

$\sqrt{10}(6+\sqrt{2})$

$8\sqrt{10}$

这个表达式不能再简化了。

$\sqrt{5}(5 + 2\sqrt{2})$

$4\sqrt{20}$

正确答案:

$\sqrt{10}(6+\sqrt{2})$

解释：

显然，这三个根都有一个共同的因子在自由基内部。我们可以从简化开始。因此，将根式改写成这样:

$\sqrt{4}\sqrt{10}+\sqrt{2}\sqrt{10}+\sqrt{16}\sqrt{10}$

我们可以进一步简化一下:

$2\sqrt{10}+\sqrt{2}\sqrt{10}+4\sqrt{10} = 6\sqrt{10} + \sqrt{2}\sqrt{10}$

由此，我们可以提出公约数 $\sqrt{10}$ ：

$6\sqrt{10} + \sqrt{2}\sqrt{10} = \sqrt{10}(6+\sqrt{2})$

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例子问题1:如何求平方根的公因数

$\frac{\sqrt{243}}{\sqrt{48}}=$

可能的答案:

$\frac{9}{4}$

$9\sqrt{3}$

$\frac{3}{2}$

$4\sqrt{3}$

$\frac{81}{16}$

正确答案:

$\frac{9}{4}$

解释：

尝试这个问题，试着简化分子和分母的根:

$\frac{\sqrt{243}}{\sqrt{48}}=\frac{\sqrt{3*81}}{\sqrt{3*16}}$

注意分子和分母都是完全平方的

$\frac{\sqrt{243}}{\sqrt{48}}=\frac{\sqrt{3*81}}{\sqrt{3*16}}=\frac{9\sqrt3}{4\sqrt3}$

的 $\sqrt3$ 一项可以从分子和分母消去，剩下

$\frac{9}{4}$

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问题31:基础平方和平方根

$\frac{\sqrt{343}}{\sqrt{63}}=$

可能的答案:

$\frac{7}{3}$

$\frac{3}{7}$

$7\sqrt{7}$

$\frac{49}{9}$

$3\sqrt{3}$

正确答案:

$\frac{7}{3}$

解释：

对于这个问题，从简化根开始。按照目前的情况，分子和分母有公因数在激进的:

$\frac{\sqrt{343}}{\sqrt{63}}=\frac{\sqrt{7*49}}{\sqrt{7*9}}$

现在的情况是分子和分母乘以完全平方

$\frac{\sqrt{343}}{\sqrt{63}}=\frac{\sqrt{7*49}}{\sqrt{7*9}}=\frac{7\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}$

的 $\sqrt{7}$ 可以从上到下剔除Term，留下

$\frac{7}{3}$

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问题35:算术

$\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{48}}=$

可能的答案:

$\frac{5\sqrt{3}}{4}$

$\frac{5\sqrt{2}}{4}$

$5\sqrt{2}$

$\frac{5\sqrt{2}}{3}$

$\frac{25\sqrt{2}}{16}$

正确答案:

$\frac{5\sqrt{2}}{4}$

解释：

为了解决这个问题，试着通过因式分解来简化根;从观察可以看出，分子和分母都有因子在激进的:

$\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{48}}=\frac{\sqrt{3*50}}{\sqrt{3*16}}$

我们可以看到分母有一个完全平方;现在尝试因式分解分子:

$\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{48}}=\frac{\sqrt{3*50}}{\sqrt{3*16}}=\frac{\sqrt{3*2*25}}{4\sqrt{3}}$

我们可以看到分子上有一个完全平方

$\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{48}}=\frac{\sqrt{3*50}}{\sqrt{3*16}}=\frac{\sqrt{3*2*25}}{4\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3*2}}{4\sqrt{3}}$

既然有一个分子和分母的根号，都可以消去

$\frac{5\sqrt{2}}{4}$

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