GMAT数学:理解因子分解

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例子问题

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例子问题1:因式分解

因素 $4 y ^ {2} + 4 y-15$ ．

可能的答案:

$\dpi{100} \small (2y-5)(2y+5)$

$\dpi{100} \small (y-3)(y+5)$

$\dpi{100} \small (2y+3)(2y-5)$

$\dpi{100} \small (2y-3)(2y+3)$

$\dpi{100} \small (2y-3)(2y+5)$

正确答案:

$\dpi{100} \small (2y-3)(2y+5)$

解释：

要分解这个，我们需要两个数相乘 $\dpi{100} \small 4\乘以-15=60$ 求和为 $\dpi{100} \小4$ ．这些数字 $\dpi{100} \small -6$ 而且 $\dpi{100} \small 10$ 工作。

$4 y ^ {2} + 4 y-15 = 4 y ^ {2} - 6 y + 10 - 15 = 2 y (2 y-3) + 5 (2 y-3) = (2 y-3) (2 y + 5)$

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例子问题1:因式分解

因素 $\压裂{x} {x ^ {2} - y ^ {2}}$ ．

可能的答案:

$\压裂{1}{x ^ {2} - y ^ {2}}$

$\压裂{x} {x - y}$

$\压裂{1}{x + y}$

$\压裂{x} {x + y}$

$\压裂{1}{x + y}$

正确答案:

$\压裂{1}{x + y}$

解释：

${x ^ {2} - y ^ {2}}$ 是平方之差。平方之差公式为

${a^{2}-b^{2}} = (a-b)(a+b)$

所以 ${x^{2}-y^{2}} = (x-y)(x+y)$ ．

然后, $\压裂{x} {x ^ {2} - y ^{2}} = \压裂{x} {(x + y) (x - y)} = \压裂{- (x - y)} {(x + y) (x - y)} = \压裂{1}{x + y}$ ．

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例子问题3:因式分解

解决 $x ^ {2} 6 x + 5 > 0$ ．

可能的答案:

x>1

x<-1

1<x<5

$x>5\ or\ x<1$

x>5

正确答案:

$x>5\ or\ x<1$

解释：

我们把表达式因式分解: $X ^{2}-6x+5 = (X -1)(X -5)$ ．

我们需要看看1和5左右的函数的行为。在的左边 x=1 ，

$x ^ {2} 6 x + 5 > 0$

您可以通过插入任何小于1的值来检查这一点。例如，如果 x=0 ，

(x-1)(x-5)=5 ，

它大于0。

当取值在1到5之间， $x ^ {2} 6 x + 5 < 0$ ．同样，我们可以通过代入1到5之间的数字来验证。

x=2,(x-1)(x-5)=-3 ，小于0，所以1到5之间的数都不满足不等式。

当取大于5的值， $x ^ {2} 6 x + 5 > 0$ ．

让我们试试 x=6 ．然后:

(x-1)(x-5)=5

大于5的数也满足不等式。

因此 $x>5\ or\ x<1$ ．

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例子问题1:了解保理

解决 $x ^ {2} + 7 x 8 < 0$ ．

可能的答案:

x>-8

x<1

$x<-1\ or\ x>8$

-8<x<1

$x<-8\ or\ x>1$

正确答案:

-8<x<1

解释：

首先让我们分解: $x ^ {2} + 7 x 8 = (x + 8) (x - 1)$

x < -8:我们试试-10。(-10 + 8)(-10 -1) = 22，因此小于-8的值不满足不等式。

-8 < x < 1: Let's try 0。(0 + 8)(0 - 1) = -8，所以在-8和1之间的值满足不等式。

1: Let's try 2。(2 + 8)(2 - 1) = 10，因此大于1的值不满足不等式。

因此答案是-8 < x < 1。

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例5:因式分解

完全分解表达式:

$6,561x^{8}-256$

可能的答案:

$(81x^{4}+ 16)\left (9x^{2} + 4)(3x + 2)(3x - 2)$

$(9x^{2} + 4) ^{2}(9x^{2} - 4)^{2}$

$(81x^{4}+ 16)^{2}$

$(3x + 2)^{4}(3x - 2)^{4}$

$(81x^{4}+ 16)\left (9x^{2} + 4)(3x + 2)^{2}$

正确答案:

$(81x^{4}+ 16)\left (9x^{2} + 4)(3x + 2)(3x - 2)$

解释：

这个表达式可以改写为:

$6,561x^{8}-256$

$(81x^{4})^{2}- 16^{2}$

作为平方差，可以因式分解为:

$(81x^{4}+ 16)(81x^{4}- 16)$

作为相对素数项的平方和，第一个因子是素数多项式。第二个因子可以改写为两个平方和因式之差:

$(81x^{4}+ 16)\left [(\left (9x^{2} \right )^{2}- 4^{2}) \right ]$

$(81x^{4}+ 16)\left (9x^{2} + 4) (9x^{2} - 4)$

类似地，中间的多项式是质数;第三个因子可以改写为两个平方和因式之差:

$(81x^{4}+ 16)\left (9x^{2} + 4) \left [(3x^{2} )^{2}- 2^{2} \right ]$

$(81x^{4}+ 16)\left (9x^{2} + 4)(3x + 2)(3x - 2)$

这是我们能分解的，所以这是完全因式分解。

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例子问题6:因式分解

$x^{2} - 9 x + 18$

这个函数在哪里叉乘设在吗?

可能的答案:

x=3, 6

它从不穿过x轴。

x=9, 18

x=5, 10

x=0

正确答案:

x=3, 6

解释：

把方程因式分解，使它等于零。 (x-6)*(x-3)=0 ．所以函数会穿过设在当

$x=3\ or\ x=6$

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示例问题7:因式分解

如果 $a^{2}-b^{2}=15$ , a+b=5 的价值是什么 a-b ?

可能的答案:

正确答案:

解释：

这个问题检验的是公式: a^2-b^2=(a+b)*(a-b) ．

因此，我们有 15=5(a-b) ．所以

$a-b=\frac{15}{5}=3$

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例8:因式分解

因素:

$64 - 4x^{2} + 20xy - 25y^{2}$

可能的答案:

(8- 2x-5y) (8- 2x+5y)

(8+ 2x-5y) (8- 2x-5y)

(8+ 2x-5y) (8- 2x+5y)

$(8- 2x+5y)^{2}$

$(8+ 2x-5y) ^{2}$

正确答案:

(8+ 2x-5y) (8- 2x+5y)

解释：

$64 - 4x^{2} + 20xy - 25y^{2}$ 可分组如下:

$64 - \left ( 4x^{2} - 20xy + 25y^{2} \right )$

$4x^{2} - 20xy + 25y^{2}$ 是完全平方三项式吗

$2\cdot \sqrt{4x^{2}} \cdot \sqrt{25y^{2}} = 2 \cdot 2x \cdot 5y = 20xy$

$64 - \left ( 4x^{2} - 20xy + 25y^{2} \right )$

$= 8^{2} - \left ( 2x-5y \right )^{2}$

现在使用方块的差异模式:

$= 8^{2} - \left ( 2x-5y \right )^{2}$

$=\left [ 8+ \left ( 2x-5y \right ) \right ]\left [ 8- \left ( 2x-5y \right ) \right ]$

= (8+ 2x-5y) (8- 2x+5y)

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例子问题1:了解保理

完全的因素:

$x^{5} + 3x^{4} + 2x^{3}+ 5x ^{2} + 15x + 10$

可能的答案:

$\left (x^{3}+5x ^{2}+ 5 \right ) \left ( x+1\right ) \left ( x+2\right )$

$\left (x^{3}+5x+ 5 \right ) \left ( x+1\right ) \left ( x+2\right )$

$\left (x^{3}+5 \right ) \left ( x+1\right ) \left ( x+2\right )$

$\left (x^{3}-5 \right ) \left ( x-2\right ) \left ( x+1\right )$

$\left (x^{3}-5 \right ) \left ( x-1\right ) \left ( x+2\right )$

正确答案:

$\left (x^{3}+5 \right ) \left ( x+1\right ) \left ( x+2\right )$

解释：

将前三项和后三项进行分组，然后从每一组中提取一个GCF:

$x^{5} + 3x^{4} + 2x^{3}+ 5x ^{2} + 15x + 10$

$=\left ( x^{5} + 3x^{4} + 2x^{3} \right )+\left ( 5x ^{2} + 15x + 10 \right )$

$=x^{3} \left ( x^{2} + 3x + 2 \right )+5 \left ( x^{2} + 3x + 2 \right )$

$=\left (x^{3}+5 \right )\left ( x^{2} + 3x + 2 \right )$

我们尝试因式分解 $x^{3}+5$ 立方体的和;然而，5不是一个完美的立方，所以二项式是质数。

提出因式 $x^{2} + 3x + 2$ ，我们试着把它考虑进去 (x + ?)(x + ?) ，将问号替换为两个乘积为2和为3的整数。这两个整数是1和2

$x^{2} + 3x + 2 = \left ( x+1\right ) \left ( x+2\right )$

原始多项式有 $\left (x^{3}+5 \right ) \left ( x+1\right ) \left ( x+2\right )$ 因式分解。

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例子问题10:因式分解

完全的因素: $x^{5} - 3x^{4} + x^{3}+ 8x ^{2} - 24x + 8$

可能的答案:

$\left ( x - 2 \right )^{3}( x^{2} - 3x -1)$

$\left ( x + 2 \right )^{3}( x^{2} - 3x +1)$

$\left ( x+2\right ) \left ( x^{2} - 2 x + 4 \right )( x^{2} - 3x +1)$

$\left ( x+2\right ) \left ( x - 2 \right )^{2}( x^{2} - 3x +1)$

$\left ( x+2\right ) ^{2} \left ( x - 2 \right )( x^{2} - 3x -1)$

正确答案:

$\left ( x+2\right ) \left ( x^{2} - 2 x + 4 \right )( x^{2} - 3x +1)$

解释：

将前三项和后三项进行分组，然后从每一组中提取一个GCF:

$x^{5} - 3x^{4} + x^{3}+ 8x ^{2} - 24x + 8$

$=( x^{5} - 3x^{4} + x^{3} ) +( 8x ^{2} - 24x + 8 )$

$=x^{3} ( x^{2} - 3x + 1 ) +8 ( x^{2} - 3x + 1 )$

$= \left ( x^{3} +8 \right )( x^{2} - 3x +1)$

$x^{3} +8$ 是立方体的和，可以使用以下模式分解:

$x^{3} +8$

$= x^{3} +2^{3}$

$= \left ( x+2\right ) \left ( x^{2} - 2 \cdot x + 2^{2} \right )$

$= \left ( x+2\right ) \left ( x^{2} - 2 x + 4 \right )$

我们试着提出二次三项式as (x + ?)(x + ?) ，将问号替换为乘积为1且和为的整数．这些整数不存在，所以三叉是素数。

因式分解就是

$= \left ( x+2\right ) \left ( x^{2} - 2 x + 4 \right )( x^{2} - 3x +1)$

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