GMAT数学:理解指数

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例子问题

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例子问题1:理解指数

$\frac{6^{3}}{36} + \frac{3^{68}}{3^{67}}=$

可能的答案:

无法确定

$\dpi{100} \小$

$\dpi{100} \小18$

$\dpi{100} \small 9$

$\dpi{100} \小36$

正确答案:

$\dpi{100} \small 9$

解释：

$\frac{6^{3}}{36} = \frac{6^{3}}{6^{2}} = 6$

$\frac{3^{68}}{3^{67}} = 3^{68-67} = 3$

把这些放在一起，

$6 ^ \压裂{{3}}{36}+ \压裂3 ^ {{68}}{3 ^ {67}}= 6 + 3 = 9$

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例子问题2:指数

$\dpi{100} \small 3x^{4}\乘以x^{2}+x^{2}-x =$

可能的答案:

$3 x ^ {7}$

$(3 x ^ {5} + x - 1)$

$(3 x ^ {5} - x + 1)$

$3 x ^ {9}$

$3 x ^ {5} + x - 1$

正确答案:

$(3 x ^ {5} + x - 1)$

解释：

$\dpi{100} \small 3x^{4}\乘以x^{2} =3x^{6}$

然后, $小3 x ^ \ dpi{100} \{4} \乘以x ^ {2} + x ^ {2} - x = 3 x ^ {6} + x ^ {2} - x = x (3 x ^ {5} + x - 1)$

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例子问题1:指数

$4^{\frac{3}{2}} + 27^{\frac{2}{3}} =$

可能的答案:

$\dpi{100} \小17$

$\dpi{100} \small 8$

$\dpi{100} \small 16$

$\dpi{100} \small 9$

$\dpi{100} \小27$

正确答案:

$\dpi{100} \小17$

解释：

$4^{\frac{3}{2}}=(4^{\frac{1}{2}})^{3} = 2^{3} = 8$

$27 ^{\压裂{2}{3}}=(27 ^{\压裂{1}{3}})^ 3 ^ {2}= {2}= 9$

然后把它们放在一起， $4^{\frac{3}{2}} + 27^{\frac{2}{3}} = 8 + 9 = 17$

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例子问题2:理解指数

下面哪个表达式等价于这个表达式?

$\small \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

你可以假设 $\small x > 0$ ．

可能的答案:

$\small \small \small \frac{\sqrt[5]{x^{6}}}{x}$

$\small \frac{\sqrt[6]{x}}{x}$

$\small \small \frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{x}$

$\small \sqrt[3]{x^{2}}$

$\small x\sqrt{x}$

正确答案:

$\small \frac{\sqrt[6]{x}}{x}$

解释：

$\small \small \small \small \small \small \small \small \small \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{-\frac{1}{2} -{\frac{1}{3}} } = x^{-\frac{2}{6} -{\frac{3}{6}} }= x^{-\frac{5}{6} }= \frac{1}{ x^{\frac{5}{6}}}$

$\small \small \small = \frac{1}{\sqrt[6]{x^{5}}}= \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x^{5}}\cdot \sqrt[6]{x}}= \frac{\sqrt[6]{x}}{x}$

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问题23:代数

不用计算器简化下面的表达式:

$(\frac{9x^\frac{-5}{2}y^\frac{7}{4}}{x^\frac{3}{2}y^\frac{-1}{4}})^\frac{3}{2}$

可能的答案:

$\frac{27y^3}{x^3}$

$27x^\frac{-3}{2}y^\frac{9}{4}$

$\frac{9y^3}{x^6}$

$9x^\frac{-3}{2}y^\frac{9}{4}$

$\frac{27y^3}{x^6}$

正确答案:

$\frac{27y^3}{x^6}$

解释：

最简单的简化方法是由内而外的计算。我们首先应该去掉指数中的负号。记住，带负指数的变量等于带相反符号的表达式的倒数。例如, $a^\frac{-5}{2} = \frac{1}{a^\frac{5}{2}}$ 用这个，我们化简: $(\frac{9x^\frac{-5}{2}y^\frac{7}{4}}{x^\frac{3}{2}y^\frac{-1}{4}})^\frac{3}{2} = (\frac{9(y^\frac{7}{4})(y^\frac{1}{4})}{(x^\frac{5}{2})(x^\frac{3}{2})})^\frac{3}{2}$

现在当我们把变量和指数相乘时，把它们结合起来，我们把指数加在一起。例如, $(a^2)(a^2)=a^{2+2} = a^4$

对表达式做这样的处理，就可以化简为 $(\frac{9y^2}{x^4})^\frac{3}{2}$ ．

下一步是取内部表达式并对其求幂。当一个变量的指数与一个指数相乘时，实际上是指数相乘。例如, $(a^2)^4 = a^{(2*4)}= a^8$ ．我们必须知道的另一个规则是1 / 2的指数和开平方根是一样的。所以对于 $9^{3/2}=(\sqrt9)^3$ 用这些规则， $(\frac{9y^2}{x^4})^\frac{3}{2} = \frac{9^{3/2}(y^2)^{3/2}}{(x^4)^{3/2}} = \frac{(\sqrt9)^3y^{(2*3/2)}}{x^{(4*3/2)}} = \frac{3^3y^3}{x^6}= \frac{27y^3}{x^6}$

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例子问题6:指数

重写为一个对数表达式:

$3 + \log_{3} x - 2\log_{3} y$

可能的答案:

$\log_{3} \frac{3x}{2y}$

$\log_{3} \frac{27x}{2y}$

$\log_{3} \frac{3x}{y^{2}}$

$\log_{3} \frac{27x}{y^{2}}$

$\log_{3} (3 + x -2y )$

正确答案:

$\log_{3} \frac{27x}{y^{2}}$

解释：

首先，把每个表达式写成以3为底的对数:

$3 = \log_{3}27$ 自 $3^{3} = 27$

$2 \log_{3}y = \log_{3} y^{2}$

据此重写表达式，并应用对数和和和差规则:

$3 + \log_{3} x - 2\log_{3} y$

$=\log_{3}27 + \log_{3} x - \log_{3} y^{2}$

$=\log_{3}\left (27 \cdot x \right )- \log_{3} y^{2}$

$=\log_{3}\left (27 \cdot x \right \div y^{2} ) = \log_{3}\left (\frac{27 x }{y^{2}}\right )$

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问题4:指数

如果 3^p+3^p+3^p=3^q ，什么是在这方面?

可能的答案:

$\frac{q}{6}$

$\frac{q}{3}$

q+1

q-1

正确答案:

q-1

解释：

我们有 $3^p+3^p+3^p=3*3^p=3^{p+1}=3^q$ ．

所以 p+1=q , p=q-1 ．

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问题4:指数

的最后两位数字是多少 $6 ^{789}$ ?

可能的答案:

正确答案:

解释：

检查6的前几次幂;一种模式出现了。

$6^{1} = 6$

$6^{2} = 36$

$6^{3} = 216$

$6^{4} = 1,296$

$6^{5} = 7,776$

$6^{6} = 46,656$

$6^{7} = 279,936$

$6^{8} = 1,679,616$

$6^ { 9 } =10,077,696$

$6^ { 10} =60,466,176$

如您所见，最后两位数字以5为循环重复。

789除以5余数是4;在上面的列表中，显而易见的模式是，如果指数除以5得到余数为4，那么幂的末尾是数字96。

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问题9:指数

下面哪个表达式等于这个表达式

$\left ( x^{3}\right ) ^{4} \cdot \left ( x^{3}\right ) ^{5}$ ?

可能的答案:

$x^{27}$

$x^{180}$

$x^{12}$

$x^{15}$

$x^{60}$

正确答案:

$x^{27}$

解释：

使用指数的属性如下:

$\left ( x^{3}\right ) ^{4} \cdot \left ( x^{3}\right ) ^{5}$

$=x^{3\; \cdot \; 4} \cdot x^{3\; \cdot \; 5}$

$=x^{12} \cdot x^{15}$

$=x^{12+15}$

$=x^{27}$

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例子问题1:指数

简化:

$\left [ \left ( x ^{5} \right )^{4} \right ]^{3}$

可能的答案:

12x

60x

$x ^{60}$

$x ^{12}$

$60x ^{12}$

正确答案:

$x ^{60}$

解释：

通过指数相乘，将幂原理的幂应用两次:

$\left [ \left ( x ^{5} \right )^{4} \right ]^{3} = \left ( x ^{5 \cdot 4} \right ) ^{3} = \left ( x ^{20} \right ) ^{3} = x ^{20 \cdot 3} = x ^{60 }$

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