GMAT数学:解二次方程

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例子问题

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例子问题1:求解二次方程

解出．

x^2+4x+9=15

可能的答案:

$x=-4\pm2\sqrt{10}$

$x=\pm 3$

$x=-2\pm \sqrt{10}$

$x=4\pm4\sqrt{10}$

正确答案:

$x=-2\pm \sqrt{10}$

解释：

用二次公式求解:

$ax^2+bx+c=0;\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

x^2+4x+9=15

$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-(4)(1)(-6)}}{(2)(1)}$

$x=\frac{-4\pm\sqrt{16+24}}{2}$

$x=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{2}$

$x=\frac{-4\pm2\sqrt10}{2}$

$x=-2\pm\sqrt{10}$

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例子问题1:求解二次方程

繁殖: $(x^{2} - 5x + 3) (x - 2)$

可能的答案:

$x^{3} +7 x^{2}+10x - 6$

$x^{3} +3 x^{2}+13x - 6$

$x^{3} +3 x^{2}+7x - 6$

$x^{3} - 7 x^{2}+13x - 6$

$x^{3} - 7 x^{2}+7x - 6$

正确答案:

$x^{3} - 7 x^{2}+13x - 6$

解释：

分发:

$(x^{2} - 5x + 3) (x - 2)$

$=x^{2}(x - 2) - 5x(x - 2) + 3(x - 2)$

$=x^{2}\cdot x - x^{2}\cdot 2- 5x \cdot x +5x \cdot 2 + 3 \cdot x - 3 \cdot 2$

$=x^{3} - 2 x^{2}- 5 x^{2} +10x + 3 x - 6$

$=x^{3} - 7 x^{2}+13x - 6$

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示例问题3:求解二次方程

考虑这个等式 $x^{2} -Bx + B = 0$ ．的价值方程有两个实解吗?

可能的答案:

B< 0 或 B >4

B >4

B< -4 或 B >0

B< -4 或 B >4

B< -4

正确答案:

B< 0 或 B >4

解释：

表达式的判别式 $x^{2} -Bx + B$ 是 $\left (-B \right )^{2} - 4 \cdot1\cdot B = B^{2} -4B$ ．对于这个方程 $x^{2} -Bx + B = 0$ 要有两个实解，这个判别式必须是正的，所以:

$B^{2} -4B > 0$

$B \left (B -4 \right ) > 0$

会发生两种情况之一:

案例1:

B> 0 而且 B -4 >0

B> 0 而且 B >4

但这和简单地说是一样的 B >4

案例2:

B< 0 而且 B -4 <0

B< 0 而且 B <4

但这和简单地说是一样的 B< 0

因此，当且仅当其中之一时，方程有两个实解 B< 0 或 B >4

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示例问题4:求解二次方程

找到所有的实解：

$x^{4} + 9x ^{2}- 10 = 0$

可能的答案:

$x \in \left \{-\sqrt{10},-1,1, \sqrt{10} \right \}$

$x \in \left \{1, \sqrt{10} \right \}$

$x \in \left \{ -1,1 \right \}$

$x \in \left \{-\sqrt{10}, \sqrt{10} \right \}$

这个方程没有实解。

正确答案:

$x \in \left \{ -1,1 \right \}$

解释：

替代 $u = x^{2}$ ，然后， $u^{2} =\left ( x^{2} \right )^{2} = x^{4}$ ，求解得到的二次方程。

$x^{4} + 9x ^{2}- 10 = 0$

$u^{2} + 9u- 10 = 0$

我们可以把二次表达式改写为 (x + ?) (x + ?) ，其中问号被替换为其乘积为的整数和是9;这些整数是 -1,10 ：

(u-1)(u+10)= 0

将每个因数设为零，然后求解；然后代回并解出：

u - 1 = 0

u = 1

$x^{2}= 1$

$x = -1 \textrm{ or } x = 1$

或

u + 10 = 0

u = -10

$x^{2}= -10$ ，它没有真正的解。

因此，解集为 $\left \{ -1,1\right \}$

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例子问题1:求解二次方程

函数的最小值是多少 $f(x) = x^{2} - 7x + 7$ 对于所有的实值?

可能的答案:

$-3\frac{1}{2}$

$-19 \frac{1}{4}$

$-5 \frac{1}{4}$

f(x) 没有最小值。

正确答案:

$-5 \frac{1}{4}$

解释：

我们发现抛物线顶点的-坐标 f(x) ．首先，我们找到它-坐标使用公式

$x = -\frac{b}{2a}$ ,设置 a = 1, b = -7 ．

$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2}$

$f \left ( \frac{7}{2} \right)$ 是的最小值 f(x) ：

$f(x) = x^{2} - 7x + 7$

$f\left (\frac{7}{2} \right ) = \left (\frac{7}{2} \right ) ^{2} - 7\cdot \left (\frac{7}{2} \right )+ 7$

$f\left (\frac{7}{2} \right ) = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 7$

$f\left (\frac{7}{2} \right ) = \frac{49}{4} - \frac{98}{4} + \frac{28}{4}$

$f\left (\frac{7}{2} \right ) = -\frac{21}{4} = -5 \frac{1}{4}$

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示例问题6:求解二次方程

定义一个操作如下:

对于所有实数 a,b ，

$a \; \bigstar \; b = a^{2} - ab$

解出： $x\; \bigstar\; 4 = 21$

可能的答案:

$x = -1\frac{1}{4}$

$x = -1\frac{1}{4} \textrm{ or }x = 1\frac{1}{4}$

$x = -3 \textrm{ or }x = 7$

x = 7

x = -3

正确答案:

$x = -3 \textrm{ or }x = 7$

解释：

Subsitute a = x, b = 4 在定义中，并设它等于21:

$a \; \bigstar \; b = a^{2} - ab$

$x \; \bigstar \; 4 = 21$

$x^{2} - x \cdot 4 = 21$

$x^{2} - 4x = 21$

这就建立了一个二次方程，将所有项向左移动，将表达式因式分解，将每个因式设为0，然后分别求解。

$x^{2} - 4x - 21 = 0$

(x-7)(x+3) = 0

$x-7 = 0 \Rightarrow x = 7$

或

$x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$

解集是 $\left \{ -3, 7\right \}$

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例子问题1:求解二次方程

解出；

(x+9)(x+4)= 28x

可能的答案:

$x=-12\textrm{ or } x=-3$

$x=3 \textrm{ or } x=12$

$x=-9\textrm{ or } x=-4$

$x=2\textrm{ or } x=18$

$x=-18\textrm{ or } x=-2$

正确答案:

$x=3 \textrm{ or } x=12$

解释：

首先，将二次方程改写为标准形式，将左边的乘积进行FOILing，然后将左边的所有项集合起来:

(x+9)(x+4)= 28x

$x^{2} + 4x + 9x + 9\cdot 4= 28x$

$x^{2} + 13x + 36= 28x$

$x^{2} + 13x + 36- 28x = 28x - 28 x$

$x^{2} -15x + 36 =0$

现在分解二次表达式 $x^{2} -15x + 36$ 两个二项式因子 (x + ?)(x + ?) ，将问号替换为两个整数，它们的乘积为36，和为．这些数字是 -12,-3 ,所以:

(x -12)(x -3) = 0

$x-12 =0 \Rightarrow x= 12$

或

$x-3 =0 \Rightarrow x= 3$

解集是 $\left \{ 3,12 \right \}$

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示例问题8:求解二次方程

解出：

$x ^{2} + 16 = 10x$

可能的答案:

$x= 2 \textrm{ or }x=8$

x= 4

$x= -2 \textrm{ or }x=-8$

$x= 6 \textrm{ or }x=10$

$x= -6 \textrm{ or }x=-10$

正确答案:

$x= 2 \textrm{ or }x=8$

解释：

首先，将所有非零项向左移动，将二次方程改写为标准形式:

$x ^{2} + 16 = 10x$

$x ^{2} + 16- 10x = 10x - 10x$

$x ^{2} - 10x+ 16 = 0$

现在分解二次表达式 $x ^{2}- 10x + 16$ 化成两个二项式因子 (x + ?)(x + ?) ，将问号替换为两个整数，它们的乘积为16，和为．这些数字是 -8,-2 ,所以:

$x ^{2}- 10x + 16 = 0$

(x -2)(x -8) = 0

$x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$

或

$x-8 = 0 \Rightarrow x=8$

解集是 $\left \{ 2,8\right \}$ ．

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例子问题1:求解二次方程

找到根源 x^2+x-2=0. 答案之间用逗号隔开。

可能的答案:

-2,1

2,-1

-2,-1

2,1

正确答案:

-2,1

解释：

这可以通过因式分解得到。这样做我们得到

x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0

我们可以解出这个方程 x+2=0 或 x-1=0. 所以根是 -2,1 ．

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示例问题10:求解二次方程

下面这个二次方程有多少实解和多少虚解?

$2x ^{2} + 4x = 17$

可能的答案:

只有一个实解，没有虚解。

没有实解，有两个虚解。

一个实解和一个虚解。

两个实解，没有虚解。

没有实解，只有一个虚解。

正确答案:

两个实解，没有虚解。

解释：

把方程写成标准形式:

$2x ^{2} + 4x = 17$

$2x ^{2} + 4x - 17= 17 - 17$

$2x ^{2} + 4x - 17=0$

评估判别式 $b^{2} - 4ac$ ,使用 a = 2, b = 4, c = -17 ．

$b^{2} - 4ac = 4 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-17 ) = 16- (-136 ) = 16 + 136 = 152 > 0$

判别式是正的，所以方程有两个不同的实解。

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