GMAT数学:线条

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例子问题

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问题1:行

求与两点连接线垂直的直线的方程 $\dpi{100} \small (0，-4)\ and\ (-1，-7)$ 。

可能的答案:

$\dpi{100} \小y=3x-1$

$\dpi{100} \小y=-4x+8$

$\dpi{100} \小y=\frac{x}{3}+1$

点之间的线 $\dpi{100} \small (0,0)\ and\ (2,2)$

两点之间的直线 $\dpi{100} \small (3,0)\ and\ (-3,2)$

正确答案:

两点之间的直线 $\dpi{100} \small (3,0)\ and\ (-3,2)$

解释：

如果直线的斜率互为负倒数，那么直线就是垂直的。首先，我们需要找出题干中直线的斜率。

$上升斜率= \压裂{}{运行}= \压裂{y_ {2} - y_{1}}{间的{2}-间的{1}}= \压裂{7 + 4}{1 - 0}= \压裂{3}{1}= 3$

3的负倒数是 $\dpi{100} \small -\frac{1}{3}$ ，所以答案的斜率是 $\dpi{100} \small -\frac{1}{3}$ 。让我们看一遍答案选项。

$\dpi{100} \小y=3x-1$ 这一行是这种形式的 $\dpi{100} \小y=mx+b$ ,在那里 $\dpi{100} \小m$ 是斜率。斜率是3，所以这条线与题目中的直线平行，而不是垂直。

$\dpi{100} \小y=-4x+8$ 这里的斜率是 $\dpi{100} \small -4$ ，也是错的。

$\dpi{100} \小y=\frac{x}{3}+1$ 这条线的斜率是 $\dpi{100} \small \frac{1}{3}$ 。这是倒数，但不是倒数，所以这也是不正确的。

两点之间的直线 $\dpi{100} \small (3,0)\ and\ (-3,2)$ ： $\ dpi小斜率={100}\ \压裂{2}{(3 - 3)}= \压裂{2}{6}= - \压裂{1}{3}$ 。

这就是正确答案!我们再检查一下最后一个选项。

点之间的线 $\dpi{100} \small (0,0)\ and\ (2,2)$ ： $\dpi{100} \小斜率= \frac{2}{2}=1$ ，这是错误的。

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问题2:计算直线是否垂直

确定直线是否有方程 3y+x=2 和 4y-2x=3 是垂直的。

可能的答案:

它们不垂直

没有足够的信息来确定答案

它们垂直

正确答案:

它们不垂直

解释：

如果两个方程是垂直的，那么它们的斜率是负的。如果我们比较这两个方程的斜率，我们就能找到答案。对于第一个方程 $3y+x=2\Rightarrow y=\frac{-1}{3}x+\frac{2}{3}$

所以斜率是 $-\frac{1}{3}$ 。

为了使两个方程垂直，另一个方程的斜率必须是3。对于第二个方程，我们有

$4y-2x=3\Rightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$

所以斜率是 $\frac{1}{2}$ 。

由于第二个方程的斜率不等于3，所以这两条线不垂直。

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问题3:计算直线是否垂直

参考上图。 l || m 。真或假: $m \perp t$

声明1: $\angle 3 \cong \angle 5$

声明2: $\angle 2$ 和 $\angle 6$ 是互补的。

可能的答案:

两个表述一起不足以回答问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

正确答案:

任何一个表述单独都能充分解题。

解释：

如果横向穿过两条平行线和，那么同边内角互为补角，所以 $\angle 3$ 和 $\angle 5$ 是互补角。同位角也是相等的，所以 $\angle 2 \cong \angle 6$ 。

单独根据表述一，角 $\angle 3$ 和 $\angle 5$ 是同余的，也是互补的;仅凭表述二， $\angle 2$ 和 $\angle 6$ 它们既是互补的又是全等的。两个互补和相等的角都是直角，所以从任意一个表述，和相交成直角，因此， $m \perp t$ 。

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问题4:计算直线是否垂直

图未按比例绘制。

参考上图。

真或假: $m \perp t$

声明1: $\angle 4$ 是一个直角。

声明2: $\angle 3$ 和 $\angle 5$ 是互补的。

可能的答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

正确答案:

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

解释：

表述一单独通过定义建立了 $l\perp t$ ，但不建立任何关系和。

单独由表述二，由于同边内角互补， l || m 的关系，但无法得出结论，因为没有给出角度的实际测量值。

假设两个表述都为真。如果两条直线平行，那么在它们的平面上任何垂直于其中一条的直线都一定垂直于另一条。 l || m 和 $l\perp t$ ，所以可以确定 $m \perp t$ 。

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问题5:计算直线是否垂直

求与下式垂直并经过该点的直线的方程 (4,7) 。

$y=-\frac{x}{2}+14$

可能的答案:

y=2x-1

$y=\frac{1}{2}x-1$

y=4x-8

y=2x+1

y=2x-14

正确答案:

y=2x-1

解释：

为了解这个方程，我们想先回顾一下如何求一条垂线的斜率。在这种情况下，我们的原始线被建模如下:

$y=-\frac{x}{2}+14$

为了求出任何垂直于上述方程的直线的斜率，我们只需要取第一个斜率的倒数，然后改变它的符号。原来的斜率是 $-\frac{1}{2}$ ,所以

$m=-\frac{1}{2}$

就变成了

{m}'=2 。

如果我们翻转 $\frac{1}{2}$ ，我们得到负号的反义词是正号;因此斜率是正的。

我们知道垂线应该是这样的

y=2x+b

然而，我们需要找出是什么(我们的-截距)是为了完成我们的方程。要做到这一点，我们需要代入在问题中得到的有序对， (4,7) ，解出：

7=2*4+b

7=8+b

7-8=b

b=-1

所以，把所有的东西放在一起，我们得到了最终的方程:

y=2x-1

这个方程满足垂直于初始方程并穿过的条件 (4,7) 。

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问题6:计算直线是否垂直

下面哪条线垂直于 $y=-\frac{3}{4}x+7$ ？

可能的答案:

其中两个方程垂直于给定的直线。

$y=\frac{4}{3}x+7$

$y=-\frac{4}{3}x+7$

$y=\frac{3}{4}x+7$

$y=-\frac{3}{4}x-7$

正确答案:

$y=\frac{4}{3}x+7$

解释：

为了一条线与另一条线垂直由方程定义 y=mx+b ，直线的斜率一定是直线斜率的负倒数吗。因为线的斜率为在上面的斜截方程中，直线的斜率为 $-\frac{1}{m}$ 。

在这种情况下， $m=-\frac{3}{4}$ ,所以 $-\frac{1}{m}=-\frac{1}{-\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$ 。因此，正确的解决方案是 $y=\frac{4}{3}x+7$ 。

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问题7:计算直线是否垂直

给定一行斜率为 m=6 。任何与之垂直的直线的斜率是多少？

可能的答案:

提供的信息不够

$-\frac{1}{6}$

正确答案:

$-\frac{1}{6}$

解释：

假设我们有一条直线有一个斜率 m=6 ，因此我们可以得出结论，任何垂线都有斜率 $-\frac{1}{m}=-\frac{1}{6}$ 。

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问题8:计算直线是否垂直

下面哪条线是垂直的 $y=\frac{5}{6}x+10$ ？

可能的答案:

$y=-\frac{6}{5}x-7$

$y=-\frac{6}{5}x+10$

$y=-\frac{5}{6}x-2$

有两个答案垂直于给定的直线。

$y=\frac{5}{6}x-7$

正确答案:

有两个答案垂直于给定的直线。

解释：

因为在这个例子中，斜率 $m=\frac{5}{6}$ ， $-\frac{1}{m}=-\frac{1}{\frac{5}{6}}=-\frac{6}{5}$ 。上面两个答案的斜率都是这个，所以这就是问题的答案。

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问题9:计算直线是否垂直

执行函数 f(x) 和 g(x) 相交成90度角，你怎么知道?

$\small f(x)=3x+7$

$\small g(x)=-\frac{1}{3}x+7$

可能的答案:

是的，因为的斜率 g(x) 斜率的倒数是 f(x) 它的符号是相反的。

不,因为 f(x) 和 g(x) 永远不会相交。

从所提供的信息无法确定。

是的,因为 f(x) 和 g(x) y轴截距相同。

不,因为 f(x) 和 g(x) 有不同的斜率。

正确答案:

是的，因为的斜率 g(x) 斜率的倒数是 f(x) 它的符号是相反的。

解释：

如果两条线相交成90度角，我们就说它们垂直。如果两条直线的斜率是相反的倒数，那么它们就是垂直的。在这种情况下:

$f(x)\:slope=\frac{3}{1}$

$g(x)\:slope=-\frac{1}{3}$

这两条直线的斜率是符号相反的倒数，所以答案是肯定的。在我们的两个肯定答案中，只有一个有正确的解释。消除选项处理拦截。

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问题10:计算直线是否垂直

求一条垂直于穿过这两点的直线的斜率 (7,4) 和 (5,8) 。

可能的答案:

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

提供的信息不够。

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

求斜率穿过的那条线 (7,4) 和 (5,8) ，我们使用以下公式:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{8-4}{5-7}=\frac{4}{-2}=-2$

任何垂直于给定直线的直线的斜率都等于负倒数,或 $-\frac{1}{m}$ 。因此, $-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$

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