GMAT数学:代数

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例子问题

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问题1:代数

哪个量更大， $3^{x}$ 或 $9^{y}$ -或者它们相等吗?

声明1: x = 2y + 2

声明2: x = 3y

可能的答案:

任何一个表述单独都能充分解题。

两个表述一起不足以回答问题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

从表述一单独来看，

$3^{x} = 3^{2y+2} = 3^{2y} \cdot 3^{2} =\left ( 3^{2} \right ) ^{y}\cdot 9 = 9^{y} \cdot 9>9^{y}$

现在假设表述二单独存在。我们用两种情况证明这是不够的:

案例1: x = 3,y= 1

$3^{3} = 27$ ; $9^{1} = 9$ ;因此, $3^{x} >9^{y}$

案例1: x = -3,y=- 1

$3^{-3} = \frac{1}{27}$ ; $9^{-1} = \frac{1}{9}$ ;因此, $3^{x}<9^{y}$

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问题2:代数

做 $\log_{2} \left ( MN \right )$ 存在吗?

声明1:和都是负的。

声明2:除以2得到一个整数。

可能的答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答问题。

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

当且仅当一个数为正数时，可以对该数取对数。如果表述一单独为真，那么，作为两个负数的乘积，必须是正的，并且 $\log_{2} \left ( MN \right )$ 的存在。

表述二是不相关的;4和除以2都是整数，但是 $\log_{2} 4 = 2$ 和 $\log_{2}\left ( -4 \right )$ 不存在。

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问题3:代数

约翰尼被要求用科学记数法写一个数字，在下图的圆圈和正方形中填上两个数字。

$\bigcirc \times 10 ^{\square }$

约翰尼在两个形状上都填上了数字。他成功了吗?

表述一:他用数字“10”填满了圆圈。

表述二，他用负整数填入平方。

可能的答案:

两个表述一起不足以回答问题。

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

数量 $a \times 10 ^{n}$ 当且仅当两个条件为真时，用科学记数法表示的数字:

1） $1 \leq \left | a \right | < 10$

2）是一个整数

根据表述一，约翰尼填错了圆圈，因为它使 a = 10 ．

根据表述二，约翰尼正确地填满了正方形，但表述二没有提到他是如何填满圆圈的;表述二留下了问题。

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问题4:代数

是 $x^{2} < x$ ？

(1) 0 < x < 1

（2） x > 0

可能的答案:

C:两个表述一起是充分的，但是两个表述单独都不是充分的

D:每个表述单独都是充分的

A:表述(1)单独是充分的，但表述(2)单独是不充分的

B:表述(2)单独是充分的，但表述(1)单独是不充分的

E:表述(1)和(2)一起是不充分的

正确答案:

A:表述(1)单独是充分的，但表述(2)单独是不充分的

解释：

$x^{2} < x \Leftrightarrow x^{2}-x<0 \Leftrightarrow x(x-1)<0$

从表述一我们得到 x > 0 和 -1 < x - 1 < 0 ．

所以第一项是正的，第二项是负的，这意味着 x (x-1) 是负的;因此，表述一单独允许我们回答这个问题。

表述二告诉我们 x > 0 ．如果 x = 0.5 ，我们有 $x^{2}=0.25$ 也就是小于 0.5 ．因此在这种情况下 $x^{2}<x$ ．

为 x = 2 ，我们有 $x^{2} = 4$ 它大于．在这种情况下 $x^{2} > x$ ．

因此表述二是不充分的。

因此正确答案是A。

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问题5:代数

解以下有理表达式:

$\frac{x^{m-n}10^{n-1}}{10^{(\frac{m}{2}-2)}x^{n}}$

(1) m=5

（2） m=2n

可能的答案:

两个表述一起是充分的，但是两个表述单独都不是充分的

每个表述单独都能充分解题

两个表述一起是不充分的。

表述(2)ALONE是充分的，但表述(1)ALONE是不充分的

表述(1)ALONE是充分的，但表述(2)ALONE是不充分的

正确答案:

表述(2)ALONE是充分的，但表述(1)ALONE是不充分的

解释：

当替换表达式中的m=5时，我们得到:

$\frac{x^{5-n}10^{n-1}}{10^{\frac{1}{2}}x^{n}}$

因此表述(1)ALONE是不充分的。

将m=2n代入表达式，得到:

$\frac{x^{2n-n}10^{n-1}}{10^{(\frac{2n}{2}-2)}x^{n}}=\frac{x^{n}10^{n-1}}{10^{n-2}x^{n}}=\frac{10^{n-1}}{10^{n-2}}=10$

因此表述(2)ALONE是充分的。

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问题6:代数

在下图中，Myoshi被要求分别在圆形和方形中写下一个数字，以便生成一个科学符号中的数字。

$\bigcirc \times 10^{\square }$ ．

Myoshi成功了吗?

陈述一:Myoshi写道在圆圈里。

声明二:Myoshi写道在广场上。

可能的答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

两个表述一起不足以回答问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

科学记数法中的数字为

$a \times 10 ^{n}$

在哪里 $1 \le |a| < 10$ 和是任意符号的整数。

单独假设表述1,Myoshi没有成功，因为她在圆圈中输入了一个错误的数字 $|-24| = 24 \ge 10$ ．

表述二单独是不确定的。Myoshi在方块里输入了正确的数字，因为是一个整数。但问题是开放的，因为不知道她是否在圆圈里输入了正确的数字。

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问题7:代数

是一个非零数。它是消极的还是积极的?

声明1: $N \ge N^{2}$

声明2: $N >N^{3}$

可能的答案:

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

两个表述一起不足以回答问题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

所有的负数都小于它们的(正)平方，所有大于1的正数也是如此。因此，如果假设表述1， $N \in (0,1]$ ．

可以确定是积极的。

表述二单独是不确定的。例如，如果 $N = \frac{1}{2}$ ,然后 $N^{3} = \frac{1}{8}$ ，如果 N = -2 ， $N^{3} = -8$ ．在这两种情况下， $N >N^{3}$ ,但在两种情况下有不同的符号。

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问题8:代数

是一个非零数。它是消极的还是积极的?

声明1: $N < N^{2}$

声明2: $N < N^{3}$

可能的答案:

任何一个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答问题。

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

两个表述一起不足以回答问题。

解释：

两个表述一起不足以得出答案。例如,

如果 N = 2 ,然后 $N^{2} = 4$ 和 $N^{3} = 8$ ．

如果 $N = -\frac{1}{2}$ ,然后 $N^{2} = \frac{1}{4}$ 和 $N^{3} = -\frac{1}{8}$ ．

在这两种情况下， $N < N^{2}$ 和 $N < N^{3}$ 的迹象情况不同。

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问题9:代数

一个数字不在集合中吗 $\left\{-1, 0, 1 \right\}$ ．

元素的 $\left \{ x^{4}, x^{5}, x^{6}\right \}$ 哪个是最伟大的?

声明1:是一个负数。

声明2: $\left | x\right | > 1$

可能的答案:

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

两个表述一起不足以回答问题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

表述一单独是不确定的，这可以通过检验的两个负值来证明除了．

案例1: x = -2 ．

然后

$x^{4} = (-2)^{4} = 16$

$x^{5} = (-2)^{5} = -32$

$x^{6} = (-2)^{6} = 64$

$x^{6}$ 是这些值中最大的。

案例2: $x = -\frac{1}{2}$

然后

$x ^{4}=\left ( -\frac{1}{2} \right )^{4} = \frac{1}{16}$

$x ^{5}=\left ( -\frac{1}{2} \right )^{5} = -\frac{1}{32}$

$x ^{6}=\left ( -\frac{1}{2} \right )^{6} = \frac{1}{64}$

$x^{4}$ 是这些值中最大的。

现在假设表述二单独存在。要么 x > 1 或 x < -1 ．

案例1: x > 1 ．

然后 $x \cdot x^{4} > 1\cdot x^{4}$ ,所以 $x^{5} > x^{4}$ ;同样的, $x^{6} > x^{5}$ ．

$x^{6}$ 是三者中最伟大的。

案例2: x < -1 ．

奇怪的力量 $x^{5}$ 是负的，偶数次幂 $x^{4}$ 和 $x^{6}$ 都是正的，所以后两者中有一个是最大的。自 x < -1 ，那么 $x^{2} > 1$ ．接下来就是 $x^{2} \cdot x^{4} > 1 \cdot x^{4}$ ,或 $x^{6} > x^{4}$ ．

再一次。 $x^{6}$ 是三者中最伟大的。

表述二单独是充分的，但表述一不充分。

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问题10:代数

注:图不是按比例绘制的。

检查上面的图表。真或假: $\overline{AB} \cong \overline{YZ}$ ．

声明1: $\Delta ACB \sim \Delta ZXY$

声明2: $\Delta ACB$ 和 $\Delta ZXY$ 有相同的周长。

可能的答案:

两个表述一起能充分解题，但是两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答问题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

单独从表述一，可以得出三角形的相似度 $\angle C \cong \angle X$ ．这些是圆的等角，它们与等角的弧相交，所以 $\widehat{AXB} \cong \widehat{YCZ}$ ．因为相等的弧有相等的和弦， $\overline{AB} \cong \overline{YZ}$ ．

表述二单独只告诉我们三角形的相对周长。我们没有办法确定单独的边长或相对于彼此的角度，所以表述二单独是不确定的。

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