GMAT数学:计算四面体体积

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例子问题

问题1:计算四面体的体积

直角三角形金字塔的底是一个边长为10的等边三角形。它的高度是15。

给出它的音量。

可能的答案:

$375\sqrt{3}$

$125\sqrt{3}$

375

250

125

正确答案:

$125\sqrt{3}$

解释：

三角形底的面积可以用等边三角形的面积公式求出，代入 s=10 ：

$B = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$

$B = \frac{10^{2}\sqrt{3}}{4}$

$B= \frac{100\sqrt{3}}{4}$

$B= 25\sqrt{3}$

现在，在金字塔体积的公式中，代入 $B = 25\sqrt{3}, h = 15$ ：

$V = \frac{1}{3} Bh$

$V = \frac{1}{3}\cdot 25\sqrt{3} \cdot 15$

$V = 125\sqrt{3}$

问题1:计算四面体的体积

直角金字塔的高度与其正方形底部的边长是相等的。基地的周长是一码。用立方英寸表示它的体积。

可能的答案:

$72 \textrm{ in}^{3}$

$243 \textrm{ in}^{3}$

$729 \textrm{ in}^{3}$

$216 \textrm{ in}^{3}$

$108 \textrm{ in}^{3}$

正确答案:

$243 \textrm{ in}^{3}$

解释：

底座的周长是1码，或36英寸;它的边长是它的四分之一，也就是9英寸，而底座的面积是 $9 ^{2} = 81$ 平方英寸。金字塔的体积是它的高和底面积之积的三分之一，所以代入 B = 81, h = 9 在以下方面:

$V = \frac{1}{3} Bh = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 9 = 243$ 立方英寸。

问题1:计算四面体的体积

在三维空间中，四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标 (0,0,0), (60,0,0), (30, 40, 0), (40,30,20) 。

给出它的音量。

可能的答案:

24,000

8,000

32,000

12,000

16,000

正确答案:

8,000

解释：

四面体是一个三角形的金字塔，可以这样看。

其中三个顶点 (0,0,0), (60,0,0), (30, 40, 0) -在…-平面，可以看作三角形基底的顶点。如下图所示，这个三角形是等腰的:

它的底是60高是40，所以它的面积是

$B = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 40 = 1,200$

第四个顶点不在飞机;它与前面提到的面垂直的距离是坐标20，这是金字塔的高度。金字塔的体积是

$V = \frac{1}{3} \cdot 1,200 \cdot 20 = 8,000$ 。

问题4:计算四面体的体积

在三维空间中，四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标

(0,0,0), (n ,0,0), (0,4n,0), (0,0, 9n) ，

在哪里 n > 1

给出它的体积。

可能的答案:

$6 n^{3}$

$3 n^{3}$

$\small 4 n^{3}$

$9n^{3}$

$n^{3}$

正确答案:

$6 n^{3}$

解释：

四面体是这样的:

四面体

是原点和 A,B,C 是其他三个点，它们离原点的距离分别在三个(垂直)轴上显示。

这是一个三角形的金字塔，我们可以考虑 $\Delta OCB$ (直角三角形)底;它的面积是腿积的一半，或者

$B = \frac{1}{2} \cdot n \cdot 4n= 2n^{2}$ 。

四面体的体积是它的底与高之积的三分之一，后者是。因此,

$V = \frac{1}{3} \cdot 9n \cdot 2n^{2} = 6 n^{3}$ 。

问题5:计算四面体的体积

在三维空间中，四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标 (0,0,0), (60,0,0), (0,60,0), (0,0,60) 。

这个四面体的体积是多少?

可能的答案:

72,000

36,000

108,000

54,000

18,000

正确答案:

36,000

解释：

四面体是这样的:

四面体

是原点和 A,B,C 是其他三个点，它们在三个(相互垂直的)轴上分别距离原点60个单位。

这是一个三角形的金字塔，我们可以考虑 $\Delta OAB$ (直角三角形)底;它的面积是腿积的一半，或者

$B = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 60 = 1,800$ 。

这个四面体的体积是它的底与高之积的三分之一，后者是60。因此,

$V = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot 1,800 = 36,000$ 。

问题6:计算四面体的体积

一个高为20，底边为等边三角形，边长为10的直角金字塔的体积是多少?

可能的答案:

$\frac{500 \sqrt{3}}{3}$

2,000

1,000

$500 \sqrt{3}$

$\frac{1.000 \sqrt{3}}{3}$

正确答案:

$\frac{500 \sqrt{3}}{3}$

解释：

金字塔的体积可以用这个公式计算

$V = \frac{1}{3}Bh$

在哪里是高度和是底的面积。

因为底边是等边三角形，所以它的面积可以用公式来计算

$B = \frac{s^{2} \sqrt{3}}{4}$

因此，卷可以重写为

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{s^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot h$

替代 s = 10 , h = 20 ：

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{10^{2}\cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 20$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{100\cdot \sqrt{3}}{4} \cdot\frac{ 20}{1}$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{25\cdot \sqrt{3}}{1} \cdot\frac{ 20}{1}$

$=\frac{500 \sqrt{3}}{3}$

问题11:矩形实体和圆柱体

右金字塔有高度 $3^{x}$ ;它的底是一个有四条边的正方形 $3^{y}$ 每一个。这个金字塔的体积是多少?

可能的答案:

$3 ^{x+4y-1 }$

$3 ^{x+2y+1 }$

$3 ^{2x+y-1 }$

$3 ^{x+2y-1 }$

$3 ^{2x+y+1 }$

正确答案:

$3 ^{x+2y-1 }$

解释：

金字塔的体积可以用这个公式计算

$V = \frac{1}{3} Bh$ ，

在哪里底的面积是是高度。这个金字塔的底部是方形的;如果我们让它的边长不变这个底等于 $s^{2}$ 体积公式是

$V = \frac{1}{3} s ^{2}h$

设置 $s = 3^{y}$ 和 $h = 3^{x}$ ：

$V =3 ^{-1} \cdot ( 3^{y}) ^{2} \cdot 3^{x}$

$V =3 ^{-1} \cdot 3^{2 y} \cdot 3^{x}$

$V =3 ^{-1+2 y+x}$

或

$V =3 ^{x+2y-1 }$ 。

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