GMAT数学:计算四面体边的长度

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例子问题

例子问题1:矩形固体和圆柱体

假设四面体的体积是 $\frac{1}{3}$ 。四面体的边是多少?

可能的答案:

$\frac{\sqrt3}{3}$

$\sqrt2$

$\frac{\sqrt2}{3}$

$\sqrt3$

正确答案:

$\sqrt2$

解释：

写出求四面体边的公式。

$e=\sqrt2 \sqrt[3]{3V}$

代入体积并求解。

$e=\sqrt2 \sqrt[3]{3(\frac{1}{3})}= \sqrt2 \sqrt[3]{1}=\sqrt2$

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例子问题2:矩形固体和圆柱体

四面体上一个等边三角形面的高度为 $6\sqrt{3}$ 。四面体的边长是多少?

可能的答案:

$6\sqrt{6}$

$12\sqrt{3}$

$18\sqrt{5}$

正确答案:

解释：

因为一个四面体有四个相等的等边三角形作为它的面，我们知道每个面有三个相等的角，就像所有的等边三角形一样 $60^{\circ}$ 。我们已知一个面的高度，即平分其中一个面的直线的长度 $60^{\circ}$ 直角，形成一个直角三角形，其边长为斜边。这意味着高和边长之间的夹角是 $30^{\circ}$ ，它的余弦等于邻边，即高，除以斜边，即边长。这给了我们:

$\cos 30^{\circ}=\frac{h}{a}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{a}$

$a=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=12$

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例子问题3:矩形固体和圆柱体

四面体的体积是。四面体的边是多少?

可能的答案:

$\frac{3\sqrt3}{2}$

$9\sqrt3$

$3\sqrt2$

$3\sqrt3$

$9\sqrt2$

正确答案:

$3\sqrt2$

解释：

写出求四面体边的公式。

$e=\sqrt2 \sqrt[3]{3V}$

把给定的体积代入方程并求解。

$e=\sqrt2 \sqrt[3]{3(9)}= \sqrt2 \sqrt[3]{27}=3\sqrt2$

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问题4:矩形固体和圆柱体

如果体积为，求出四面体的准确边长。

可能的答案:

$\sqrt{11}$

$\sqrt[3]{18}$

$3\sqrt2$

$\sqrt2 \sqrt[3]{9}$

$\sqrt[4]{18}$

正确答案:

$\sqrt2 \sqrt[3]{9}$

解释：

写出求边的四面体公式。

$e=\sqrt2 \sqrt[3]{3V}$

代入体积，化简。

$e=\sqrt2 \sqrt[3]{3(3)}= \sqrt2 \sqrt[3]{9}$

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例5:矩形固体和圆柱体

一个四面体的表面积是 $16\sqrt{3}$ 。四面体边的长度是多少?

可能的答案:

$\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

正确答案:

解释：

一个四面体有四个等边三角形面，所以它的表面积是其中一个等边三角形面积的四倍。这给了我们:

$SA=4\left(\frac{1}{2}bh\right)=2bh$

在哪里三角形的底，或者四面体的边长，和是每个三角形面的高度。我们要解的是，但我们只给出了表面积，而没有给出高度，所以我们需要用底来表示这个值。这样做的一种方法是通过认识到每个等边三角形面的高度平分一个角，并形成两个相等的直角三角形，它是底边和边长，或，是斜边。等边三角形的每个角都是 $60^{\circ}$ ，所以如果一条被高度等分，那么它与斜边的夹角为 $30^{\circ}$ 。这个角的余弦等于高比斜边，这就得到:

$\cos30^{\circ}=\frac{h}{b}\rightarrow h=b\cos30^{\circ}\rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}b$

现在我们有了用底表示高度的表达式，我们可以把这个值代入表面积方程，只剩下一个未知数，即等于我们想求解的边长的底:

$SA=2bh=2b\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b\right)=\sqrt{3}b^2$

$16\sqrt{3}=\sqrt{3}b^2$

$b^2=16\rightarrow b=4$

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