解释：

这是一个最初看起来需要更多信息来解决的问题，需要您利用资产以“向上移动”数据充分性阶梯。对于这个问题，要注意“表述(1)和(2)同时足以回答问题;但这两种说法单独都不充分。”倍数往往遵循固定的模式，所以如果你能找到其中的一个模式，你应该能够使用较小的数字的小集合来证明一个规则，这意味着你需要的信息比你认为的要少。

根据所给的信息，你知道T只包含14的倍数。根据您对因数和倍数的了解，您应该认识到可以将数字分解为因数，使它们更易于管理。如果你在寻找21的倍数，你应该认识到21的每一个倍数也必须是3和7的倍数，因为它们是21的质因数。类似地，每一个14的倍数也是2和7的倍数。利用这里的知识:因为14的每一个倍数都是7的倍数，这意味着您正在寻找有多少个14的倍数也是3的倍数，以便您可以满足21(3和7)的因数。

表述(1)起初似乎不充分，因为给出的信息太少。如果集合中有30个整数，您应该问自己:3的倍数的数量更多地取决于集合的起始位置还是取决于集合中有多少项?你可以用你的印刷机来得出结论。14的倍数从0开始，然后继续:

0、14、28、42、56、70、84、98……

注意，每第三个数字(0、42、84等)都是3的倍数。基于此，您应该认识到，只要集合中的项数能被3整除，从哪里开始并不重要。如果你需要证明这一点，你可以选3组:

Set 1: 0,14,28 Set 2: 14,28,42 Set 3: 28,42,56

您可以看到，尽管您从模式的不同点开始，因为每个集合有三个连续的项，您可以保证在每个集合中有3的单个倍数(记住，0是所有数字的倍数)。如果您从这里推断，您应该会看到一组30个数字将有10倍的3的倍数，或10倍的3的倍数(因此是21)。

因此，表述(1)是充分的;删除“表述(2)单独充分，但表述(1)单独不充分回答所提问题”，“表述(1)和表述(2)同时充分回答所提问题;但任何表述单独都是不充分的”，以及“表述(1)和(2)合在一起都不足以回答所问的问题，需要针对该问题的额外数据”。表述2只给出了Set的起点，而没有给出终点。因此，集合可以是21的1倍，也可以是21的无穷多个倍数。没有办法判断。因此(2)是不充分的，剔除了“EACH statement ALONE is enough to answer the question”的答案选项。

请注意，如果你没有利用表述(1)，你可能会得出结论，你需要知道集合的起点，以便得出结论，可能会选择“表述(1)和(2)一起足以回答所问的问题;但这两种说法单独都不充分。”记住，尤其是像这类比较难的问题，要谨慎选择任何“简单”的答案——通常正确的答案需要你付出一些努力来使你的答案选择有效。

选择“表述(1)单独充分，但表述(2)单独不充分回答所问问题”是正确的。

解释：

这个问题严重地奖励了那些有效地“玩数据充分性游戏”的人。虽然这两种说法看起来应该是一样的，但那些唱反调或问“你为什么在这里?”的人可以发现其中非常重要的区别，并避免陷阱式的回答。

你对这两个表述的倾向应该是使用代数镜像来分解系数，并在左边得到表达式j + k。对于表述一，它是:

M (j + k) = 2m

对于表述二，它是

5(j + k) = 10

注意，在表述二中，可以简单地两边除以5，得到j + k = 2，使表述二充分。

大多数人都尝试在表述一中做同样的事情，两边除以m，但你不能这样做!为什么?因为m可以等于0，不能除以0。你可以通过设置m等于0来证明，在这种情况下，表述1将是:

0j + 0k = 0(2)此时j和k可以是任意值。

因此，表述一不充分，正确答案是"表述二单独充分，但表述一单独不能充分解题"教训是:你可以通过以下方法避免这个陷阱(注意，大多数考生会选择“每个陈述单独都足以回答问题”):

唱反调——当一个命题看起来有点太简单的时候，问问自己负数、分数、零或任何其他“边缘情况”是否可能给出不同的答案。

问“你为什么在这里?”-当一个陈述非常简单(如表述二)，这是一个信号，表明更细致的陈述可能有一些困难，而简单的陈述可能提供了一个线索。这两个表述的区别在于，表述一使用了变量，而表述二使用了系数5。为什么这种区分很重要?因为如果你不能排除0是变量的值，你就不能除以它。

解释：

这个数据充分性问题要求您仔细挑选数字，并扮演魔鬼代言人的角色。注意，题干告诉你x是一个小于20的正数。然而，这个问题没有说明问题中的任何其他数字—您可能需要利用这个区别。

表述(1)给出x是两个连续整数的和。很快就会清楚，您可以选择一些数字来证明语句(1)是不充分的。

如果数字是1和2,x就是3，但是如果连续的数字是2和3,x就是5。因为使用相同的信息可以得到x的两个不同值，所以可以得出结论，表述1不充分，消去了(A)和(D)。

表述(2)给出x是五个连续数的和。直观上，这可能会让你认为x是前5个数的和，或者

X = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15。

因为2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20，这不是x的有效值，因此表述(2)似乎是充分的。然而，扮演魔鬼代言人!没有人说连续的数一定是正的。如果集合从0开始，则得到

X = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10。因此，你可以得出结论，表述(2)是不充分的，消去了(B)。

取表述(1)和(2)对x的取值进行了限制。因为两个连续数的和总是偶数+奇数，x必须总是奇数。你可能会自动得出结论，x一定等于15(因为这是1 + 2 + 3 + 4 + 5和7 + 8)，但记得再次扮演魔鬼的支持者。如果你能得到另一个奇数的答案，那么就有可能得到另一个答案。你可以从一个负数开始。记住，只有x必须是正的-组成它的数字不一定是正的!

那么x = -1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 x = 2 + 3 = 5呢?既然你可以为x构造另一个值，你必须得出结论(1)和(2)一起是不充分的。因此，答案是(E)。

解释：

这道题要求已知圆弧XYZ是半圆的情况下，弧XYZ的长度。因为你知道要求出弧的长度，你需要知道直径的长度，你应该认识到，你要么直接得到这个值，要么利用你的资产来求出直径。

在您开始解决这个问题之前，请认识到，对于一个更难的问题，C是一个太简单的答案。如果你知道一个半圆的直径(表述一和表述二一起给了你一个银盘)，你可以很容易地找到这个半圆的圆弧。不要轻信C -或者至少要认识到，在断定任何一种说法都是不充分的之前，你应该尽量利用你的资产。

还要认识到，表述1和表述2都给出了相同的信息——直径的一段和大直角三角形中的小直角三角形的边。如果一个表述是充分的，那么另一个也是充分的。

表述一给出了这个．因为你知道小直角三角形的第二条边是4，你可以用勾股定理求出长度XY。由于这些数字相对较小，易于处理，所以继续下去并求解也无妨。然而，如果数字处理起来很混乱，您应该记住，您可以将其作为一个“已知数字”，然后从那里开始。

如果你算一下，

现在，人们很容易说，没有关于r的信息，就不可能继续下去。然而，看看仍然存在的两种可能的毕达哥拉斯设置。你能利用你的资产来解出r和弧长吗?

,这就

．
注意，因为你用了"在两个方程中，你都可以代入得到:

．

这是一个单变量线性方程，所以r只有一个值，因为你知道你需要解出弧长的唯一信息是

将注意力转到表述(2)，注意所给出的信息与表述(1)中所给出的信息的值是相同的。如果你自动识别出，你可以解出

你可以找到使用这个公式

．

和表述(1)一样，可以建立两个方程:

而且

可以改写为

与表述(1)类似，可以代入得到:

和表述(1)一样，可以通过两边减去平方值来消去二次方程，得到一个线性的单变量方程:

正如表述(1)，你应该认识到，因为你可以找到r和q，你将能够找到弧长，表述(2)是充分的。正确的答案是“每个陈述单独都足以回答所问的问题”。

注意，这是一个把答案放在银盘上的问题，表述(1)和(2)两个一起都足以回答问题;但是两个表述单独都不是充分的”，是不正确的。对于比较难的问题，如果你想选择“表述(1)和表述(2)一起足以回答问题;但这两个表述单独都是不够的”，通过少量的工作，尝试通过利用您的资产，特别是在几何方面，“向上移动”数据充分性阶梯。

解释：

这个问题是“你为什么在这里”策略的一个经典例子。显然表述二单独是不充分的，为什么要写它呢?

在表述一中，x的“明显”答案是x = 2013并且(x + 1)将等于2014。这看起来已经足够了。但还有一个不那么明显的可能性:x = -2014和(x + 1) = -2013。因为负号乘以负号是正的，结果是一样的。因此，表述一看起来很充分，但它不是。表述二通过强调x是奇数提供了这个小线索。这应该会让你思考" x怎么可能不是奇数呢"当然，如果x是-2014 x + 1是-2013。如果两个表述放在一起，那么否定-否定的可能性就不存在了，所以正确的答案是“表述(1)和(2)一起足以回答所问的问题;但这两种说法单独都不充分。”

解释：

在这个问题中，你应该注意到问题主干中的两个关键元素:1)给你一个完整的方程(A = 2B)， 2)这个问题是关于一个组合(B - C)，而不是一个单独的变量。在这种情况下，你应该看看是否可以直接求解组合，这通常需要更少的信息(所以你可以得到一个“更充分的”答案)，而不是单独求解每个变量。

当你计算表述(1)时，你可以建立等式A - 4 = 2C。如果你把这两个已知方程结合起来，你会得到:

A = 2

A - 4 = 2c

如果你把2B代入第二个方程，就得到:

2b - 4 = 2c

然后你可以在两边各加4，再减去2C，把B和C两项放在一起(来匹配问题“什么是B - C?”)，你就得到:

2B - 2C = 4等式两边同时除以2，你就得到了题目要求的结果:

B - c = 2

因此，表述一是充分的。

然而，表述二是不充分的。当你把初始方程(A = 2B)和表述二告诉你的方程(A = 8 + C)结合起来时，注意你不能用相同的系数得到B和C。用2B替换A，得到:

2b = 8 + c

但这不能直接得到B - C，所以这个表述是不充分的。因此，正确答案是“表述(1)单独是充分的，但表述(2)单独不能充分回答所问的问题”。

解释：

当你开始做这个问题的时候，记住，对于要求两个未知数之间的比值的问题，你需要的信息通常比要求精确值的问题要少得多。在这道题上做得好的学生会利用这些信息，操纵语句，以便尽可能多地从中获取信息。

表述(1)给出了所售商品的加权平均值。虽然这似乎没有提供足够的信息，但请记住，加权平均数本质上是表示两个类别在平均数中“权重”之比的另一种方式——因为这个“权重”是由每个类别的项目数量之比决定的，你可以用它来解出饼干和布朗尼的销量之比。如果您认识到这一点，您可以继续并确定语句(1)是充分的。但是，如果你不能马上看出这个，你可以继续解这个比值。

一个简单的方法是使用映射策略来说明这一点，它可以如下所示设置，其中类别1和2分别是销售的cookie和销售的布朗尼。

类别1 --------- 距离1 ----------- 平均距离2——类别2

插入你所知道的并找出两者之间的距离

饼干——0.12——1.42——0.08——1.5

因此，距离的比例是12:8，简化为3:2。距离之比总是与数量之比的倒数，所以饼干的销量与布朗尼的销量之比是2:3。表述(1)是充分的-删除“表述(2)单独充分，但表述(1)单独不充分回答所问问题”，“表述(1)和表述(2)同时充分回答所问问题;但任何表述单独都是不充分的”，以及“表述(1)和(2)合在一起都不足以回答所问的问题，需要针对该问题的额外数据”。

表述(2)表示所售物品的总价值为14.20美元。这立刻让许多学生感到不充分，导致他们选择“表述(1)单独是充分的，但表述(2)单独不能充分回答所问的问题”。然而，不要忘记利用你的资产!因为你只能得到整数，所以卖给你14.20美元的布朗尼和饼干的组合是有限的，所以你需要进行实验，看看是否只有一个解。虽然你永远不应该从前面的语句中“带下来”信息，但你可以从另一个语句中“借用”，给自己一个开始试验的地方。注意，总金额14.20美元是表述(1)中给出的平均价格的10倍。这意味着您可以得出结论，总共可以卖出10件商品。利用这些信息，你可以建立两个方程:

1.3c + 1.5b = 14.20

和

C + b = 10

注意，你有一个方程组。记住，如果你解一个(非相关的)线性系统，你将只得到C和B的一个值，这意味着你将有一个一致的比率。所以有可能求出一个比例。你不需要求解，因为根据表述(1)，你已经知道有一个比例与这个数字相符——2:3。问题是是否可能有其他的。

例如，如果有11个项目呢?“测试极限”的一种方法是询问是否有可能拥有11个任何项目的组合。例如，如果卖了11块巧克力曲奇(较便宜的那种)，你会得到:

(11)(1.3) = 15.40美元。

因为它大于给定的价格，14.20美元，你应该认识到，卖了11件商品，总共14.20美元是不可能的。

同样地，你可以测试9个或更少的物品，看看用9个更贵的布朗尼是否可能得到14.20美元。这会给你:

(9)(1.5美元)= 13.50美元

这意味着玩家不可能通过出售9个道具而获得14.20美元的收益。因此，你可以得出结论，10种商品的比例是唯一可能的比例，因为你不可能卖出巧克力蛋糕或饼干的一小部分。因此，表述(2)是充分的。排除“表述(1)单独充分，但表述(2)单独不充分回答所问问题”，选择答案选项“每个表述(1)单独都充分回答所问问题”。

解释：

这个问题要求的具体值给它，,是不同的正整数吗．问题还说明．

由于平方根在数据充分性问题中很难概念化，因此首先对两边平方可以帮助简化问题，得到:

既然你知道是正的(因此不是0)，可以两边除以得到:

．

虽然这可能已经很明显了，因为平方和平方根的定义(for代数运算证实了你最初的假设。

表述(1)给出了．你的已知信息就变成了

自而且是不同的正整数和，唯一的组合是,．(1和8，记住所以两者不能相等)因为这意味着你只能得到一个可能的值，状态(1)是充分的。去掉“表述(2)单独充分，但表述(1)单独不充分回答所问问题”，“表述(1)和表述(2)同时充分回答所问问题;表述(1)和(2)合在一起也不能充分回答所问的问题，需要针对该问题的额外数据。

表述2给出了。的平均值，,是．因为

这意味着，,必须是14，或者:

这种说法很微妙。看起来你无法分配14，,只有一种方式。因此，许多学生很快就认为表述(2)不充分，并选择“表述(1)单独充分，但表述(2)单独不能充分回答所问的问题”。然而，利用你的资产，你很快就会发现只有一个地方是为，,只是需要仔细考虑你知道什么。

为了得到14这个偶数的和，你必须有:

奇数+奇数+偶数
或
偶+偶+偶

如果你有奇数+奇数+偶，这是不可能的因为如果而且如果是奇数，那就不可能了是偶数，因为两个奇数的乘积总是奇数。同样地，它也不可能而且如果是奇数是偶数，因为偶数和奇数的乘积一定是偶数。因此，你知道这三个数都是偶数。

因为只有2 4 8这三个没有重复的正偶数加起来等于14，你们知道的

表述(2)也是充分的，所以答案是“EACH表述ALONE能充分回答所问问题”。

解释：

这是一个是/否数据充分性问题，问M线是否经过点(6,6)">（6，6）

已知直线M与圆心圆相切（3.，4）

然而，你没有得到任何关于圆的大小或M与圆的切线的信息。

表述(1)告诉我们直线M经过点

它并没有说这是切点，这是一个重要的区别。正因为如此，你无法得知圆的大小。此外，因为需要两个点来构成一条直线，所以也没有关于直线方向的指示。因为这意味着你没有证据证明直线M是否经过点

表述(2)说明直线M与圆在点(3,6)相切

如果您试图快速解决这个问题，您可能会自动假设，就像语句(1)一样，这个语句没有提供关于行的足够信息，必须与语句(1)和pick (C)配对。然而，在跳到这个阶段之前，请记住，只有当两个语句都不是充分的时候，您才可以使用两个语句。因此，仔细看看表述(2)，在抛弃它之前，把精力放在利用你的资产上。

tan的定义非常重要。与圆相切的直线只在一点上与圆相交，并且在这一点上与圆的半径垂直。已知圆心在(3,4)处，已知切点在(3,6)处意味着切线垂直的半径是垂直线的一部分x＝3.

如果切线与垂直线垂直，则切线必须是水平的。这意味着M沿直线y=6

因为这包含了x的所有值，只要y=6，这意味着直线M确实经过(6,6)。

表述(2)单独是充分的。

记住，特别是对于几何问题，在数据充分性问题中可以有多种充分性方法，所以仅仅因为一个语句不起作用并不意味着一个非常相似的语句也不起作用。通过利用你的资产来证明这些陈述是否充分!

答案是“表述(2)单独是充分的，但表述(1)单独不能充分回答所问的问题”。

解释：

这个问题要求对商的其余部分给出一个一致的、具体的答案．

记住，这里最重要的是一致性。如果你能证明某个命题可以得到多个答案，你就知道这个命题是不充分的。

表述(1)给出了可以改写为

因为你唯一的限制而且它们必须都是正整数，你可以选择数字吗试图强迫其余的人得到不同的结果

除以．因为或，必须是一个整数(因为余数总是整数)，您应该认识到这一点必须是5的倍数才能得到整数。

如果，

这意味着

相反,如果然后，这将导致

由于不同的起始值有不同的余数，所以可以得出结论，表述(1)是不充分的，排除了“表述(1)ALONE是充分的，但表述(2)单独不充分回答所问的问题”和“每个表述ALONE都充分回答所问的问题”。

表述(2)显然不充分。如果你不知道别的而且，仍然有大量的可能数。然而，这种明显的不足应该让你问自己:为什么会有这种说法?

如果把这两个表述放在一起，它的用处就更明显了:它限制了组合的数量而且．为，．因为中间总共有3位数字而且这是一组可能的数。为，

但是，由于两个数字之间总共有5位数字，您应该认识到这个集合(以及更大值的任何集合)是无效的。因为只有一个集合起作用，所以您可以得出结论，综合起来，这两个表述是充分的。

表述(1)和(2)合起来都足以回答问题;但是这两个表述单独都不充分”是正确的。