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GED数学:圆心角和圆弧

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例子问题

问题1:圆心角和圆弧

注:图非按比例绘制。

参考上图。

弧长 $\widehat{MN}$ 是 $12 \pi$ ．

弧长 $\widehat{MYN}$ 是 $18 \pi$ ．

白色区域的面积是多少?

可能的答案:

$90 \pi$

$540 \pi$

$360 \pi$

$135 \pi$

正确答案:

$135 \pi$

解释：

圆的周长是这些弧的长度之和，也就是

$C = 12 \pi + 18 \pi = 30 \pi$ ．

白色扇形有度度

$\frac{ 18 \pi }{ 30 \pi} \times 360 ^{\circ} = 216 ^{\circ}$ ．

圆的半径可以使用周长公式，设置 $C = 30 \pi$ ：

$C = 2 \pi r$

$30 \pi = 2 \pi r$

$r = 30 \pi \div 2 \pi$

r = 15

因此白色区域的面积是

$A = \frac{216}{360 } \cdot \pi r^{2} = 0.60 \cdot \pi \cdot 15^{2} = 225 \cdot 0.60 \cdot \pi = 135 \pi$ ．

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问题1:圆心角和圆弧

注:图非按比例绘制。

参考上图。

阴影部分的面积是 $24 \pi$ ．白色区域的面积是 $40 \pi$ ．

弧的长度是多少 $\widehat{MN}$ ?

可能的答案:

$8 \pi$

$6 \pi$

$10 \pi$

$4 \pi$

正确答案:

$6 \pi$

解释：

圆的面积是扇形面积的和，也就是

$A = 24 \pi + 40 \pi = 64 \pi$ ．

阴影部分的弧度为

$\frac{24 \pi}{64 \pi} \times 360 ^{\circ } = 135 ^{\circ }$ ．

半径可以通过求解得到和替换 $A = 64 \pi$ 面积公式中:

$A = \pi r^{2}$

$64 \pi = \pi r^{2}$

$r^{2} = 64$

r = 8

弧长 $\widehat{MN}$ 是

$\frac{135}{360} \cdot 2 \pi r = \frac{135}{360} \cdot 2 \cdot 8 \pi = 6\pi$ ．

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问题3:圆心角和圆弧

上面的圆圈有百分之多少不阴影在吗?

可能的答案:

$75 \%$

$80 \%$

$87\frac{1}{2} \%$

$77\frac{7}{9 } \%$

正确答案:

$77\frac{7}{9 } \%$

解释：

总共有360度到一个完整的圆。阴影部分有度测度 $80^{\circ }$ ，因此非阴影部分有度测度

$360 ^{\circ }- 80^{\circ }= 2 80^{\circ }$

此外，一个部门 $N^{\circ }$ 是 $\frac{N}{360} \times 100 \%$ 圆的，所以，设置 N = 280 ，我们发现无阴影部分为

$\frac{280}{360} \times 100 \%$

$= \frac{28,000}{360} \%$

圆的。这减少了

$\frac{28,000\div 40 }{360 \div 40 } \%$

$=\frac{700 }{9 } \%$

$=77\frac{7}{9 } \%$ ，

正确的比例。

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问题1:圆心角和圆弧

上面圆圈的阴影比例是多少?

可能的答案:

$61\frac{1}{9} \%$

$69\frac{4}{9} \%$

$58\frac{1}{3} \%$

$66\frac{2}{3} \%$

正确答案:

$61\frac{1}{9} \%$

解释：

总共有 $360^{\circ }$ 围成一个圈。圆的无阴影部分表示 $140^{\circ }$ 扇形，阴影部分代表扇形

$360^{\circ } - 140^{\circ } = 220 ^{\circ }$ ．

这个部门的代表

$\frac{ 220 ^{\circ }}{360^{\circ } } \times 100 \%$

$= \frac{ 22000}{360 } \%$

$= \frac{ 22000 \div 40 }{360 \div 40 } \%$

$= \frac{ 550 }{9 } \%$

$= 61\frac{1}{9} \%$

圆的。

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问题5:圆心角和圆弧

圆心角为的扇形覆盖圆的百分比是多少 $240^{\circ}$ ?

可能的答案:

$87.5\%$

$66.67 \%$

$50 \%$

没有足够的信息来确定。

正确答案:

$66.67 \%$

解释：

圆心角为的扇形覆盖圆的百分比是多少 $240^{\circ}$ ?

为了求圆心角与圆的百分比，我们需要使用以下公式:

$\%=\frac{\theta}{360^{\circ}}*100$

是圆心角。

代入我们给定的度数，然后简化。

$\%=\frac{240^{\circ}}{360^{\circ}}*100=66.67 \%$

所以答案是66.67%

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问题6:圆心角和圆弧

求小弧的长度如果圆的周长是 $81\pi$ ．

可能的答案:

$72\pi$

$3\pi$

$9\pi$

$18\pi$

正确答案:

$9\pi$

解释：

回想一下，弧的长度是周长的比例，就像圆心角的大小是圆的总度数的比例一样。

因此，我们可以写出以下方程来求解弧长。

$\text{Arc length}=\frac{\text{central angle}}{360}(\text{circumference})$

代入给定的圆心角和周长，求出小弧的长度．

$\text{Arc length}=\frac{40}{360}(81\pi)=9\pi$

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问题7:圆心角和圆弧

圆有面积 $81 \pi$ ．给出a的长度 $90 ^{\circ }$ 圆的弧度。

可能的答案:

$\frac{81}{4} \pi$

$\frac{81}{16} \pi$

$\frac{9}{2} \pi$

$\frac{9}{4} \pi$

正确答案:

$\frac{9}{2} \pi$

解释：

半径给定一个圆的面积，可以通过公式找到

$A = \pi r^{2}$

集 $A= 81 \pi$ ：

$\pi r^{2} = 81 \pi$

找到两边除以 $\pi$ 然后两边同时开方

$\pi r^{2} \div \pi = 81 \pi \div \pi$

$r^{2} = 81$

$r = \sqrt{81} = 9$

这个圆的周长是用这个公式求出来的

$C = 2 \pi r$ ：

$C = 2 \pi (9)$

$C= 18 \pi$

一个 $90 ^{\circ }$ 圆的弧度是圆的四分之一，所以弧的长度是

$L = \frac{1}{4}C$

$= \frac{1}{4} \cdot 18 \pi$

$= \frac{9}{2} \pi$

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问题8:圆心角和圆弧

如果一个部门涵盖 $\frac{4}{5}$ 给定圆的面积，扇形的圆心角是多少?

可能的答案:

$144^{\circ}$

没有足够的信息。

$288^{\circ}$

$728^{\circ}$

正确答案:

$288^{\circ}$

解释：

如果一个部门涵盖 $\frac{4}{5}$ 给定圆的面积，扇形的圆心角是多少?

虽然这个问题似乎没有足够的信息来解决，但我们实际上已经拥有了所需的一切。

为了求圆心角的大小，我们不需要知道扇形或圆的实际面积。相反，我们只需要知道我们要处理的圆的比例。在这种情况下，我们被告知扇区代表圆的五分之四。

所有的圆都是360度，所以如果扇形是它的五分之四，我们可以通过下面的方法找到答案。

$\measuredangle =\frac{4}{5}(360^{\circ})=288^{\circ}$

所以我们的答案是:

$288^{\circ}$

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问题9:圆心角和圆弧

图不是按比例绘制的。

圆圈中没有被阴影覆盖的百分比是多少?

可能的答案:

$72 \%$

$60 \%$

$66\frac{2}{3} \%$

$75 \%$

正确答案:

$60 \%$

解释：

一个圆的总度数是 $360^{\circ }$ ，所以阴影部分表示 $\frac{144^{\circ }}{360^{\circ }}$ 圆的。就百分比而言，这是

$\frac{144^{\circ }}{360^{\circ }} \times 100 \% = \frac{14,400^{\circ }}{360^{\circ }} \%= 40\%$ ．

圆形的阴影部分是40%无阴影部分是 $100 \% - 40\% = 60\%$ 圆的。

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