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有限数学:条件概率

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例子问题

例子问题1:概率

从52张标准牌中随机抽取一张牌(不包括小丑牌)，并记录其等级和花色。

以下哪项变化这两个抽到黑牌和抽到a的概率?

1)把黑桃a换成小丑

2)加入小丑

3)去掉黑桃a

可能的答案:

(1)、(2)、(3)

(2)及(3)

(1)及(3)

仅限(1)及(2)项

(1)只

正确答案:

(1)、(2)、(3)

解释：

如果从52张标准牌中随机抽取一张牌，抽到26张黑牌中的一张的概率为 $\frac{1}{2}$ ；抽到a的概率是 $\frac{1}{13}$ ．现在，检查这三个场景。

(1)如果黑桃a被小丑取代，那么总共52张牌中就剩下25张黑牌和3张a。25张黑牌中抽到一张的概率是 $\frac{25}{52}$ ；抽到a的概率是 $\frac{3}{52}$ ．

(2)如果加上小丑，仍然有26张黑牌和4张a，但现在有53张牌。25张黑牌中抽到一张的概率是 $\frac{26}{53}$ ；抽到a的概率是 $\frac{4}{53}$ ．

如果黑桃a被拿走，那么总共51张牌中就剩下25张黑牌和3张a。25张黑牌中抽到一张的概率是 $\frac{25}{51}$ ；抽到a的概率是 $\frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ ．

在这三种情况下，概率都发生了变化。

例子问题2:概率

一件事发生的几率是17比4。到最近的百分之一，事件发生的概率是多少?

可能的答案:

0.81

0.71

0.76

0.86

0.91

正确答案:

0.81

解释：

如果某件事发生的几率是来，该事件发生的概率为 $\frac{a}{a+b}$ ．设置 a= 17 而且 b = 4 ，事件发生的概率为

$\frac{17}{17+4} = \frac{17}{21} \approx 0.81$ ．

例子问题3:概率

事件的概率是 $\frac{17}{25}$ ．这个事件发生的几率有多大?

可能的答案:

25至8

42至25岁

42比17

17到8

25至17岁

正确答案:

17到8

解释：

某一事件发生的概率等于该事件发生的概率与相反事件发生的概率之比。因此，我们要确定 $\frac{P(E)}{P(E')}$ ：

$P(E)= \frac{17}{25}$

$P(E')=1- \frac{17}{25}= \frac{8}{25}$

$\frac{P(E)}{P(E')} = \frac{\frac{17}{25}}{\frac{8}{25}}= \frac{17}{8}$ ，

17比8赞成。

问题4:概率

杰克和吉尔同意玩一个游戏。从52张标准牌中随机抽取一张牌(不是开玩笑)。如果这张牌是一张面牌(k, j, q)或10，杰克和吉尔出50美元。如果这张卡是别的，吉尔付给杰克25美元。

关于这个游戏，下列哪个选项是正确的?

可能的答案:

这款游戏对Jill有利，价值1.92美元。

这个游戏的价值是1.92美元，对杰克有利。

游戏是公平的。

对吉尔有利的游戏价值是7.69美元。

这场游戏的价值是7.69美元，对杰克有利。

正确答案:

这个游戏的价值是1.92美元，对杰克有利。

解释：

游戏的公平或不公平是期望值的函数，期望值可以通过将每个结果的概率乘以其值，然后加上产品来计算。

我们将检查游戏对杰克的价值;一个正值表示杰克获益，一个负值表示吉尔获益。

因为在这个游戏中只有排名重要，所以有13种等概率结果。四个对吉尔有利，另外九个对杰克有利。有两种情况，吉尔赢了，杰克赢了，我们称之为而且,分别。它们的概率和它们对Jack的值是:

:抽到k、q、j或10，吉尔赢。

概率: $P(W) = \frac{4}{13}$

杰克的价值: $A(W)= -\$50$

从其他九档中抽出一张牌，杰克赢。

概率: $P(W') = \frac{9}{13}$

杰克的价值: $A(W')= \$25$

杰克每次博弈的期望值是

E(X)= P(W)A(W)+ P(W')A(W')

$=\frac{4}{13} (-\$50)+ \frac{9}{13}(\$25)$

$\approx \$1.92$ 对杰克有利。

例5:概率

12张面牌(k, q, j)从一副52张的标准牌中分离出来。从12张卡片中随机抽取两张，不需要替换。两张牌都是k的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{9}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{22}$

$\frac{1}{11}$

正确答案:

$\frac{1}{11}$

解释：

从牌组中抽取两张牌，不考虑顺序，因此样本空间是一套十二张牌中两张牌的所有组合。这个样本空间的大小是

n (S) = C(12, 2) =66

事件是四张k中两张牌的所有组合的集合。此事件空间的大小为

n(E) = C(4, 2) = 6

事件的概率是

$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{66}= \frac{1}{11}$

例子问题6:概率

杰克和吉尔同意玩一个游戏。从52张标准牌中随机抽取一张牌。如果是黑桃，杰克和吉尔出75美元。如果这张卡是别的，吉尔付给杰克25美元。

判断题:这是一个公平游戏的例子。

可能的答案:

真正的

Fallse

正确答案:

真正的

解释：

游戏的公平或不公平是期望值的函数，期望值可以通过将每个结果的概率乘以其值，然后加上产品来计算。

我们将检查游戏对杰克的价值;一个正值表示杰克获益，一个负值表示吉尔获益。

因为在这个游戏中只有花色起作用，所以有四种等概率结果。一个对吉尔有利，另外三个对杰克有利。有两种情况，吉尔赢了，杰克赢了，我们称之为而且,分别。它们的概率和它们对Jack的值是:

:黑桃抽了，吉尔赢了。

概率: $P(W) = \frac{1}{4}$

杰克的价值: $A(W)= -\$75$

:抽到其他三种花色中的任意一种，杰克赢。

概率: $P(W') = \frac{3}{4}$

杰克的价值: $A(W')= \$25$

杰克每次博弈的期望值是

E(X)= P(W)A(W)+ P(W')A(W')

$=\frac{1}{4} (-\$75)+ \frac{3}{4}(\$25)$

$= \$0$

游戏是公平的。

例子问题1:概率

杰克和吉尔同意玩一个游戏，游戏规则如下:

一张牌将从标准的53张牌中抽取(包括小丑)。如果抽到梅花，杰克将付给吉尔100美元。如果抽到其他花色的牌，吉尔将付给杰克20美元。

为了使游戏公平，如果小丑被抽中，必须发生什么?

(注:小丑不被认为是四种西装中的任何一种。)

可能的答案:

杰克必须同意付给吉尔780美元。

杰克必须同意支付吉尔520美元。

吉尔必须同意付给杰克780美元。

吉尔必须同意支付杰克520美元。

无论如何都不应该有报酬。

正确答案:

吉尔必须同意支付杰克520美元。

解释：

我们会考虑每件事对吉尔的价值;正值指的是杰克付钱给吉尔，负值指的是吉尔付钱给杰克。

有53个等概率结果。连同它们的概率和对吉尔来说的值，它们是:

:小丑被吸引住了。53个结果中有1个对这个事件有利，所以

$P(J) = \frac{1}{53}$

对吉尔的价值， A(J) 这是有待决定的。

:抽了一根梅花。53个结果中有13个对这个事件有利，所以

$P(C)= \frac{13}{53}$

因为吉尔在这次活动中赢得了100美元，对她的价值是

$A(C) =\$ 100$

:抽到一张梅花或小丑以外的牌。53个结果中有39个对这个事件有利，所以

$P(O)= \frac{39}{53}$

吉尔损失了20美元，对她的价值是

$A(C) =- \$ 20$ ．

期望值 E(X) 任何游戏都可以通过将每个事件的概率乘以其值，然后加上产品来计算。也就是说,

E(X) = P(J)A(J)+ P(C)A(C)+ P(O)A(O)

游戏是公平的，也就是说 E(X) = 0 ．做这个和其他的替换，我们得到

$\$ 0= \frac{1}{53} A(J)+ \frac{13}{53} (\$ 100)+ \frac{39}{53} (-\$20)$

解出 A(J)

$\$ 53(0)=53 \left [\frac{1}{53} A(J)+ \frac{13}{53} (\$ 100)+ \frac{39}{53} (-\$20) \right ]$

$\$ 0= A(J)+13(\$ 100)+ 39(-\$20)$

$\$ 0= A(J)+ \$ 1300- \$780$

$\$ 0= A(J)+ \$ 520$

$A(J) = -\$520$

吉尔必须同意在小丑抽到的情况下付给杰克520美元。

例子问题1:条件概率

从一副标准的52张牌(不包括小丑)中抽出一张牌。抽到这张牌的人只知道这张牌是黑色的。

抽取第二张牌，不进行替换。这张牌是黑桃的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{13}{51}$

$\frac{25 }{102}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{47 }{204}$

$\frac{4}{17}$

正确答案:

$\frac{25 }{102}$

解释：

这是一个条件概率问题。

黑桃十三张，梅花十三张;因为已知第一张牌是黑，第一张牌是黑桃(或梅花)的概率为

$P (S_{1}) = P (C_{1}) = \frac{1}{2}$ ，

的概率第二个一张黑桃取决于第一张牌的花色。假设第一张牌也是黑桃，那么第二张牌是黑桃的概率是

$P (S_{2}| S_{1}) = \frac{12}{51}$

假设第一张是梅花，第二张是黑桃的概率是

$P (S_{2}| C_{1}) = \frac{13}{51}$

第二张牌是黑桃的总概率是

$P (S_{2}| S_{1}) P (S_{1}) +P (S_{2}| C_{1})P(C_{1})$

$= \frac{12}{51} \cdot \frac{1}{2}+ \frac{13}{51} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{25 }{102}$

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