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微分方程:线性恰当方程

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例子问题

问题1:微分方程

求所给微分方程的通解，并确定通解中是否有瞬态项。

$x\frac{dy}{dx}+3y=x^4-x$

可能的答案:

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x^2+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x^3+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^3-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

正确答案:

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

解释：

首先,除以等式两边都有。

$\\\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{x^4}{x}-\frac{x}{x} \\\\\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=x^3-1$

确定的因素 p(x) 术语。

$p(x)=\frac{3}{x}$

整合的因素。

$e^{\int p(x)}=e^{\frac{3}{x}}=e^{3\ln x}=e^{\ln x^3}=x^3$

把这个值代回去，对方程积分。

$\\\int \frac{d}{dx}[x^3y]=\int x^3(x^3-1)dx \\\\x^3y=\int x^6-x^3dx \\\\x^3y=\frac{x^7}{7}-\frac{x^4}{4}+c$

现在除以 x^3 得到通解。

$\\y=\frac{1}{7}\frac{x^7}{x^3}-\frac{1}{4}\frac{x^4}{x^3}+\frac{c}{x^3} \\\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3}$

暂态项是指当数值变大时，项本身会变小。因此这个函数的暂态项是 $cx^{-3}$ ．

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问题1:线性恰当方程

求以下微分方程的解:

y' = 3t^2y + t^2 在哪里 y(0) = 0 ．

可能的答案:

$y = \frac{e^{t^3}}{3}$

$y = \frac{e^{t^3} - 1}{3}$

$y = e^{t^3}-\frac{1}{3}$

y = -t^3

$y = -\frac{1}{3}$

正确答案:

$y = \frac{e^{t^3} - 1}{3}$

解释：

这个方程可以写成这样的形式 y' + p(t)y = q(t) 如下:

y' - 3t^2y = t^2 ．这种形式的微分方程可以用积分因子来求解。来解决, p(t) = -3t^2 和解决 $\mu = e^{\int p(t)dt} = e^{\int -3t^2dt} = e^{-t^3}$

注意，当使用积分因子时，+C常数是无关紧要的，因为我们只需要一个解，而不是无限多个。因此，我们将C设为0。

接下来,注意, $(\mu y)' = y'\mu + \mu'y = e^{-t^3}(y' - 3t^2y) = \mu q(t) = e^{-t^3}t^2$

或者更简单, $(\mu y)' = t^2e^{-t^3}$ ．两边积分用变量替换

$\mu y = \int t^2e^{-t^3}dt = -\frac{e^{-t^3}}{3} + C$

最后除以 $\mu = e^{-t^3}$ ,我们看到

$y = -\frac{1}{3} + Ce^{t^3}$ ．代入初始条件，

$0 = -\frac{1}{3} + C$

所以 $C = \frac{1}{3}$

和 $y = \frac{e^{t^3} - 1}{3}$ ．

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问题1:线性恰当方程

考虑微分方程

y'+y^2=t^4e^t

微分方程中的哪一项使方程变得非线性?

可能的答案:

的 y^2 项使得微分方程是非线性的。

的 t^4 项使得微分方程是非线性的

的项使得微分方程是非线性的

的 e^t 项使得微分方程是非线性的。

正确答案:

的 y^2 项使得微分方程是非线性的。

解释：

这个词 y^2 使得微分方程是非线性的因为线性方程有

y'+f(t)y=g(t)

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问题4:线性恰当方程

求所给微分方程的通解，并确定通解中是否有瞬态项。

$x\frac{dy}{dx}+3y=x^4-x$

可能的答案:

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x^3+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x^2+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^3-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

正确答案:

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

解释：

首先,除以等式两边都有。

$\\\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{x^4}{x}-\frac{x}{x} \\\\\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=x^3-1$

确定的因素 p(x) 术语。

$p(x)=\frac{3}{x}$

整合的因素。

$e^{\int p(x)}=e^{\frac{3}{x}}=e^{3\ln x}=e^{\ln x^3}=x^3$

把这个值代回去，对方程积分。

$\\\int \frac{d}{dx}[x^3y]=\int x^3(x^3-1)dx \\\\x^3y=\int x^6-x^3dx \\\\x^3y=\frac{x^7}{7}-\frac{x^4}{4}+c$

现在除以 x^3 得到通解。

$\\y=\frac{1}{7}\frac{x^7}{x^3}-\frac{1}{4}\frac{x^4}{x^3}+\frac{c}{x^3} \\\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3}$

暂态项是指当数值变大时，项本身会变小。因此这个函数的暂态项是 $cx^{-3}$

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问题1:线性恰当方程

下面的微分方程是精确的吗? $2xy^2 + y^2 + 1 + (2x^2y + 2xy + 3)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$

如果是，求通解。

可能的答案:

不。这个方程没有采用正确的形式。

不。方程中的偏导数没有正确的关系。

是的。 x^2y + xy^2 + 3x + y = c

是的。 x^2y^2 + xy^2 + x + 3y = c

是的。 2x^2y + 2xy^2 + y = c

正确答案:

是的。 x^2y^2 + xy^2 + x + 3y = c

解释：

一个微分方程要精确，必须满足两件事。首先，它必须采用这种形式 $M(x,y) + N(x,y)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$ ．在我们的例子中，这是真的 M = 2xy^2 + y^2 + 1 而且 N = 2x^2y + 2xy + 3 ．第二个条件是 M_y = N_x ．求偏导，我们会得到 M_y =4xy + 2y 而且 N_x = 4xy + 2y ．当它们相等时，我们得到恰当方程。

接下来我们找到一个 $\Psi$ 这样 $\Psi_x = M$ 而且 $\Psi_y = N$ ．为了做到这一点，我们可以积分关于或者我们可以积分关于这里，我们任意选择积分．

$\Psi = \int \Psi_x dx = \int Mdx = \int(2xy^2 + y^2 + 1)dx =x^2y^2 + xy^2 + x + h(y)$

我们还没有完全完成，因为当求多元积分时，积分的常数现在可以是y的函数而不是常数。然而，我们知道这一点 $\Psi_y = N$ 求偏导，就能得到 2x^2y + 2xy + h'(y) = 2x^2y + 2xy + 3 因此, h'(y) = 3 而且 h(y)=3y ．

我们现在知道 $\Psi = x^2y^2 + xy^2 + x + 3y$ ，求的意义在于，我们可以重写 $M(x,y) + N(x,y)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \Psi_x + \Psi_y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} x} = 0$ 因为的导数是0，我们知道它一定是个常数。因此，我们的最终答案是

$\Psi = x^2y^2 + xy^2 + x + 3y = c$ ．

如果你有一个初值，你可以解出c并得到隐式解。

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问题1:线性恰当方程

下面的微分方程是精确的吗? $2x^2y + y + (x^2y + xy)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$ 如果是，求通解。

可能的答案:

不。这个方程的形式不对。

不。方程中的偏导数没有正确的关系。

是的。 4x^2y + 2xy^2 + y = c

是的。 x^2y + xy^2 + x = c

是的。 4x^2y + 2xy = c

正确答案:

不。方程中的偏导数没有正确的关系。

解释：

一个微分方程要精确，必须满足两件事。首先，它必须采用这种形式 $M(x,y) + N(x,y)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$ ．在我们的例子中，这是真的 M = 2xy^2 + y 而且 N = x^2y + xy ．第二个条件是 M_y = N_x ．求偏导，我们会得到 M_y =4xy + 1 而且 N_x = 2xy + y ．由于它们是不等的，我们没有恰当的方程。

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问题1:线性恰当方程

解下列方程

$y' - \frac{y}{x} = xe^x \ \ \ y(1) = e-1$

可能的答案:

y = xe^x + x

y = e^x + x

y = e^x - x

y = xe^x - 1

y = xe^x - x

正确答案:

y = xe^x - x

解释：

因为这是线性方程的形式

y' + P(x)y = Q(x)

我们计算积分因子

$I(x) = e^{\int P(x)} = e^{\int-\frac{1}{x} \ dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$

乘以 I(x) 我们得到了

$(y \times \frac{1}{x})' = e^x$

集成

$\frac{y}{x} = e^x + C$

y = xe^x + Cx

代入初始条件来解出常数

$e - 1 = e + C \implies C = -1$

我们的解决方案是

y = xe^x - x

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问题1:线性恰当方程

求微分方程的通解

$\frac{dy}{dx} - 5y = -\frac{5}{2}xy^3$

可能的答案:

$y = \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{20} + Ce^{-10x} \right)$

没有其他答案

$y = \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{20} + Ce^{-10x} \right)^{-1/2}$

$y = \left( \frac{x}{2} + Ce^{-10x} \right)^{-1/2}$

$y = \left( x - \frac{1}{10} + Ce^{-10x} \right)^{-1/2}$

正确答案:

$y = \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{20} + Ce^{-10x} \right)^{-1/2}$

解释：

这就是伯努利方程的形式

$\frac{dy}{dx} + P(x) = Q(x)y^n$

这就需要一个替换

$v = y^{1-n}$

把它转化成线性方程

重新整理方程得到

$y^{-3} \frac{dy}{dx} - 5y^{-2} = -\frac{5}{2}x$

替换 $v = y^{-2}$

$-\frac{1}{2} \frac{dv}{dx} - 5v = -\frac{5}{2}x$

$\frac{dv}{dx} + 10v = 5x$

解线性ODE得到

$v = \frac{x}{2} - \frac{1}{20} + Ce^{-10x}$

用在 $v = y^{-2}$ 和解决

$y = \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{20} + Ce^{-10x} \right)^{-1/2}$

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问题1:线性恰当方程

解微分方程

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy^2+1}{2x^2y}$

可能的答案:

xy+x = C

x^2y^2+x = C

x^2y+x = C

没有其他答案

xy^2+x = C

正确答案:

x^2y^2+x = C

解释：

重新排列下面的方程

$(2xy^2 + 1)\ dx +2x^2y \ dy = 0$

它满足了准确性检验，所以我们有积分

x^2y^2+x = C

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