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微分方程:齐次线性方程组

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例子问题

问题61:微分方程

求给定方程组的通解。

$\\\frac{dx}{dt}=x+2y \\\\\frac{dy}{dt}=2x+y$

可能的答案:

$X=c_1\binom{1}{3}e^{3t}+c_2\binom{1}{1}e^{-t}$

$X=c_1\binom{1}{1}e^{3t}+c_2\binom{1}{3}e^{-t}$

$X=c_1\binom{1}{-1}e^{3t}+c_2\binom{-1}{3}e^{-t}$

$X=c_1\binom{1}{1}e^{3t}+c_2\binom{-1}{3}e^{-t}$

$X=c_1\binom{-1}{1}e^{3t}+c_2\binom{1}{3}e^{-t}$

正确答案:

$X=c_1\binom{1}{1}e^{3t}+c_2\binom{-1}{3}e^{-t}$

解释：

求给定方程组的通解

$\\\frac{dx}{dt}=x+2y \\\\\frac{dy}{dt}=2x+y$

首先找到特征值和特征向量。

$det(A-\lambda I )=\begin{vmatrix} 1-\lambda&2 \\ 2&1-\lambda \end{vmatrix}$

$\\=(1-\lambda)(1-\lambda)-(2)(2) \\=1-2\lambda+\lambda^2-4 \\=\lambda^2-2\lambda-3 \\=(\lambda-3)(\lambda+1)$

因此特征值是

$\lambda_1=3, \lambda_2=-1$

现在计算特征向量

$(A-\lamda I)K=0$

为

$\lambda_1=3$

$\\(1-3)k_1+2k_2 \\2k_1+(1-3)k_2$

因此,

$k_1=k_2 \rightarrow K_1\binom{1}{1}$

为

$\lambda_1=-1$

$\\(2--1)k_1+1k_2 \\1k_1+(2--1)k_2$

因此

$k_1=-\frac{1}{3}k_2\rightarrow K_2\binom{-1}{3}$

因此,

$X_1=\binom{1}{1}e^{3t};\ X_2\binom{-1}{3}e^{-t}$

通解是，

$\\X=c_1X_1+c_2X_2 \\\\X=c_1\binom{1}{1}e^{3t}+c_2\binom{-1}{3}e^{-t}$

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问题62:微分方程

解初值问题 $\mathbf{x'} = \begin{bmatrix} 3&-2 \\ -1&2 \end{bmatrix}\mathbf{x}$ ．在哪里 $\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\mathbf{x} = e^t\begin{bmatrix} 1\\4 \end{bmatrix} +e^{4t}\begin{bmatrix} 5\\2 \end{bmatrix}$

$\mathbf{x} = e^{-t}\begin{bmatrix} 5\\2 \end{bmatrix} +e^{3t}\begin{bmatrix} -1\\3 \end{bmatrix}$

$\mathbf{x} = e^t\begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix} +e^{4t}\begin{bmatrix} 5\\6 \end{bmatrix}$

$\mathbf{x} = e^t\begin{bmatrix} -3\\-3 \end{bmatrix} +e^{4t}\begin{bmatrix} 4\\2 \end{bmatrix}$

$\mathbf{x} = e^{-t}\begin{bmatrix} -2\\1 \end{bmatrix} +e^{3t}\begin{bmatrix} 2\\2 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\mathbf{x} = e^t\begin{bmatrix} -3\\-3 \end{bmatrix} +e^{4t}\begin{bmatrix} 4\\2 \end{bmatrix}$

解释：

要解齐次方程组，我们需要一个基本矩阵。具体来说，它有助于得到矩阵指数。为了做到这一点，我们将矩阵对角化。首先，我们要找到特征值我们可以通过计算的行列式来做 $\lambda I - A$ ．

$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda - 3&2 \\ 1&\lambda - 2 \end{vmatrix} = (\lambda -3)(\lambda -2) - 2 = \lambda^2 - 5\lambda +4 = (\lambda -4)(\lambda -1)$

求特征空间，对于= 1，我们有

$\begin{bmatrix} -2&2 &\vline &0 \\ 1&-1 &\vline & 0 \end{bmatrix}$

第一行加-1/2到第二行再除以-1/2，得到 $\begin{bmatrix} 1&-1 &\vline &0 \\ 0&0 &\vline & 0 \end{bmatrix}$ 这意味着 x_1 + x_2 = 0

因此，我们有一个特征向量 $\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}$ ．

对于= 4

$\begin{bmatrix} 1&-2 &\vline &0 \\ -1&2 &\vline & 0 \end{bmatrix}$

把第一行加到第二行，我们有

$\begin{bmatrix} 1&-2 &\vline &0 \\ 0&0 &\vline & 0 \end{bmatrix}$

所以 x_1 - 2x_2 = 0 用一个特征向量 $\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}$ ．

因此，我们有 $P = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 1&1 \end{bmatrix}$ 而且 $D = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&4 \end{bmatrix}$ ．用2x2矩阵的逆公式，我们得到了这个 $P^{-1} = \begin{bmatrix} -1&2 \\ 1&-1 \end{bmatrix}$ ．正如我们所知 $e^{tA} = Pe^{tD}P^{-1}$ ，我们有 $e^{tA} = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^t&0 \\ 0&e^{4t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1&2 \\ 1&-1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -e^t + 2e^{4t}&2e^{t} -2e^{4t} \\ -e^t + e^{4t}&2e^t-e^{4t} \end{bmatrix}$

齐次线性方程组的解是简单地将矩阵指数乘以初始条件。对于其他基本矩阵，也需要矩阵逆。

因此，我们最终的答案是 $\begin{bmatrix} -e^t + 2e^{4t}&2e^{t} -2e^{4t} \\ -e^t + e^{4t}&2e^t-e^{4t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3e^t + 4e^{4t}\\-3e^t + 2e^{4t} \end{bmatrix}= e^t\begin{bmatrix} -3\\-3 \end{bmatrix} +e^{4t}\begin{bmatrix} 4\\2 \end{bmatrix}$

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例子问题1:一阶线性微分方程组

求解齐次方程:

y''-6y'+8y=0

在初始条件下:

y(0)=2

y'(0)=5

可能的答案:

$y(t)=C_{1}e^{4t}+C_{2}e^{2t}$

$y(t)=\frac{e^{-4t}}{2}+\frac{3e^{-2t}}{2}$

$y(t)=\frac{e^{4t}}{2}+\frac{3e^{2t}}{2}$

这些答案都不是

$y(t)=C_{1}e^{-4t}+C_{2}e^{-2t}$

正确答案:

$y(t)=\frac{e^{4t}}{2}+\frac{3e^{2t}}{2}$

解释：

这是一个齐次二阶微分方程。为了解出这个方程我们需要解出方程的根。这个方程可以写成:

r^2-6r+8=0 用二次公式或者因式分解可以得到根 $r_{1}=4$ 而且 $r_{2}=2$

齐次方程的解为:

$y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}$ 所以我们不知道常数，但可以用我们解出的值代入根:

$y(t)=C_{1}e^{4t}+C_{2}e^{2t}$

我们有两个初值，一个是y(t)，一个是y'(t)，都是t=0\

所以:

$y(0)=2=C_{1}+C_{2}$

$y'(t)=4C_{1}e^{4t}+2C_{2}e^{2t}$ 所以: $y'(0)=5=4C_{1}+2C_{2}$

我们可以解出 $C_{2}$ ： $2-C_{1}=C_{2}$ 然后代入另一个方程来解 $C_{1}$

$5=4C_{1}+2(2-C_{1})=4C_{1}+4-2C_{1}=2C_{1}+4$

求解，我们得到: $C_{1}=\frac{1}{2}$ 然后 $C_2=\frac{3}{2}$

这给出了一个最终的答案:

$y(t)=\frac{e^{4t}}{2}+\frac{3e^{2t}}{2}$

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例子问题1:一阶线性微分方程组

求解二阶微分方程:

3y''-3y'-6y=0

以初始值为准:

y(0)=4

y'(0)=2

可能的答案:

$y(t)=2e^{2t}-2e^{-t}$

$y(t)=3e^{2t}-e^{-t}$

$y(t)=2e^{2t}+2e^{-t}$

这些答案都不是

$y(t)=3e^{2t}+e^{-t}$

正确答案:

$y(t)=2e^{2t}+2e^{-t}$

解释：

这是一个齐次二阶微分方程。为了解出这个方程我们需要解出方程的根。这个方程可以写成:

3r^2-3r-6=0 用二次公式或者因式分解可以得到根 $r_{1}=2$ 而且 $r_{2}=-1$

齐次方程的解为:

$y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}$ 所以我们不知道常数，但可以用我们解出的值代入根:

$y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}$

我们有两个初值，一个是y(t)另一个是y'(t)，都是t=0

所以:

$y(0)=4=C_{1}+C_{2}$

$y'(t)=2C_{1}e^{2t}-C_{2}e^{-t}$ 所以: $y'(0)=2=2C_{1}-C_{2}$

我们可以解 $4-C_{1}=C_{2}$ 然后代入另一个方程来解 $C_{1}$

$2=2C_{1}-(4-C_{1})=2C_{1}+C_{1}-4=3C_{1}-4$

求解，我们得到: $C_{1}=2$ 然后 C_2=2

这给出了一个最终的答案:

$y(t)=2e^{2t}+2e^{-t}$

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例子问题1:一阶线性微分方程组

求y的微分方程:

y'-6y=0

在初始条件下:

y(0)=10

可能的答案:

$y(t)=10e^{-6t}$

$y(t)=6e^{10t}$

$y(t)=10e^{6t}$

$y(t)=-6e^{10t}$

$y(t)=-10e^{6t}$

正确答案:

$y(t)=10e^{6t}$

解释：

这是一个齐次的一阶微分方程。为了解出这个方程我们需要解出方程的根。这个方程可以写成:

r-6=0 给我们一个根 $r_{1}=6$

齐次方程的解为:

$y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}$ 所以我们不知道这个常数，但可以用我们解出的值代入根:

$y(t)=C_{1}e^{6t}$

对于t=0时的y(t)我们有一个初值

所以:

$y(0)=10=C_{1}$

这给出了一个最终的答案:

$y(t)=10e^{6t}$

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例子问题1:一阶线性微分方程组

求解三阶微分方程:

y'''+y''-12y'=0

y(0)=1

y'(0)=2

y''(0)=3

可能的答案:

$y(t)=\frac{7e^t}{12}+\frac{11e^{3t}}{21}-\frac{3e^{-4t}}{28}$

$y(t)=7e^t+11e^{3t}-3e^{-4t}}$

$y(t)=\frac{7e^t}{12}+\frac{11e^{3t}}{21}+\frac{3e^{-4t}}{28}$

这些答案都不是

$y(t)=\frac{7}{12}+\frac{11e^{3t}}{21}-\frac{3e^{-4t}}{28}$

正确答案:

$y(t)=\frac{7}{12}+\frac{11e^{3t}}{21}-\frac{3e^{-4t}}{28}$

解释：

这是一个齐次的三阶微分方程。为了解出这个方程我们需要解出方程的根。这个方程可以写成:

r^3+r^2-12r=0 用三次式或者因式分解得到根 $r_{1}=0$ ， $r_{2}=3$ 而且 $r_{3}=-4$

齐次方程的解为:

$y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}+C_3e^{r_3t}$ 所以我们不知道常数，但可以用我们解出的值代入根:

$y(t)=C_{1}+C_{2}e^{3t}+C_3e^{-4t}$

我们有三个初值，一个是y(t)一个是y'(t)一个是y'(t)一个是y'(t)都是t=0

所以:

$y(0)=1=C_{1}+C_{2}+C_3$

$y'(t)=3C_{2}e^{3t}-4C_{3}e^{-4t}$ 所以: $y'(0)=2=3C_{2}-4C_{3}$

y''(0)=3=9C_2+16C_3

所以这个可以通过代换来解或者通过建立一个3X3矩阵来化简。一旦你使用了这些方法中的任何一个，常量的值将是: $C_{1}=\frac{7}{12}$ 然后 $C_2=\frac{11}{21}$ 而且 $C_3=\frac{-3}{28}$

这给出了一个最终的答案:

$y(t)=\frac{7}{12}+\frac{11e^{3t}}{21}-\frac{3e^{-4t}}{28}$

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例子问题1:一阶线性微分方程组

求解微分方程:

y'''-4y''-4y'+16y=0

根据初始条件:

y(0)=2

y'(0)=2

y''(0)=3

可能的答案:

$y(t)=\frac{17e^{2t}}{8}+\frac{7e^{-2t}}{24}-\frac{5e^{4t}}{12}$

$y(t)=\frac{17e^{2t}}{8}-\frac{7e^{-2t}}{24}+\frac{5e^{4t}}{12}$

$y(t)=\frac{17e^{2t}}{8}+\frac{7e^{-2t}}{24}+\frac{5e^{4t}}{12}$

$y(t)=-\frac{17e^{2t}}{8}+\frac{7e^{-2t}}{24}-\frac{5e^{4t}}{12}$

$y(t)=-\frac{17e^{2t}}{8}-\frac{7e^{-2t}}{24}-\frac{5e^{4t}}{12}$

正确答案:

$y(t)=\frac{17e^{2t}}{8}+\frac{7e^{-2t}}{24}-\frac{5e^{4t}}{12}$

解释：

这是一个齐次的三阶微分方程。为了解出这个方程我们需要解出方程的根。这个方程可以写成:

r^3-4r^2-4r+16=0 用三次式或者因式分解得到根 $r_{1}=2$ ， $r_{2}=-2$ 而且 $r_{3}=4$

齐次方程的解为:

$y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}+C_3e^{r_3t}$ 所以我们不知道常数，但可以用我们解出的值代入根:

$y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-2t}+C_3e^{4t}$

我们有三个初值，一个是y(t)一个是y'(t)一个是y'(t)一个是y'(t)都是t=0

所以:

$y(0)=2=C_{1}+C_{2}+C_3$

$y'(t)=2C_{1}e^{2t}-2C_{2}e^{-2t}+4C_3e^{4t}$ $y'(0)=2=2C_{1}-2C_{2}+4C_3$

y''(0)=3=4C_1+4C_2+16C_3

所以这个可以通过代换来解或者通过建立一个3X3矩阵来化简。一旦你使用了这些方法中的任何一个，常量的值将是: $C_{1}=\frac{17}{8}$ 然后 $C_2=\frac{7}{24}$ 而且 $C_3=\frac{-5}{12}$

这给出了一个最终的答案:

$y(t)=\frac{17e^{2t}}{8}+\frac{7e^{-2t}}{24}-\frac{5e^{4t}}{12}$

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例8:一阶线性微分方程组

求给定方程组的通解。

$\\\frac{dx}{dt}=x+2y \\\\\frac{dy}{dt}=2x+y$

可能的答案:

$X=c_1\binom{1}{1}e^{3t}+c_2\binom{1}{3}e^{-t}$

$X=c_1\binom{-1}{1}e^{3t}+c_2\binom{1}{3}e^{-t}$

$X=c_1\binom{1}{-1}e^{3t}+c_2\binom{-1}{3}e^{-t}$

$X=c_1\binom{1}{1}e^{3t}+c_2\binom{-1}{3}e^{-t}$

$X=c_1\binom{1}{3}e^{3t}+c_2\binom{1}{1}e^{-t}$

正确答案:

$X=c_1\binom{1}{1}e^{3t}+c_2\binom{-1}{3}e^{-t}$

解释：

求给定方程组的通解

$\\\frac{dx}{dt}=x+2y \\\\\frac{dy}{dt}=2x+y$

首先找到特征值和特征向量。

$det(A-\lambda I )=\begin{vmatrix} 1-\lambda&2 \\ 2&1-\lambda \end{vmatrix}$

$\\=(1-\lambda)(1-\lambda)-(2)(2) \\=1-2\lambda+\lambda^2-4 \\=\lambda^2-2\lambda-3 \\=(\lambda-3)(\lambda+1)$

因此特征值是

$\lambda_1=3, \lambda_2=-1$

现在计算特征向量

$(A-\lamda I)K=0$

为

$\lambda_1=3$

$\\(1-3)k_1+2k_2 \\2k_1+(1-3)k_2$

因此,

$k_1=k_2 \rightarrow K_1\binom{1}{1}$

为

$\lambda_1=-1$

$\\(2--1)k_1+1k_2 \\1k_1+(2--1)k_2$

因此

$k_1=-\frac{1}{3}k_2\rightarrow K_2\binom{-1}{3}$

因此,

$X_1=\binom{1}{1}e^{3t};\ X_2\binom{-1}{3}e^{-t}$

通解是，

$\\X=c_1X_1+c_2X_2 \\\\X=c_1\binom{1}{1}e^{3t}+c_2\binom{-1}{3}e^{-t}$

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例子问题1:齐次线性系统

代入齐次线性方程组 $\mathbf{x'} = A\mathbf{x}$ 为，下列哪个矩阵在相平面上有鞍点平衡?

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 3 & 5\\ 0& 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -4 & 2\\ -7& 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 7& -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & 0\\ 9& 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 3& -3 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} -4 & 2\\ -7& 5 \end{bmatrix}$

解释：

鞍点相平面由两个不同符号的实数特征值构成。其中三个矩阵是三角形的，这意味着它们的特征值在对角线上。对于这三个，特征值是实数，但都是相同的符号，这意味着它们没有鞍座。对于剩下的两个，我们需要用特征方程找到特征值。

为 $\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 3& -3 \end{bmatrix}$ ，我们有

$\begin{vmatrix} \lambda + 1 & 1 \\ - 3& \lambda + 3 \end{vmatrix} = (\lambda + 1)(\lambda + 3) + 3 = \lambda^2 + 4\lambda + 6=0$

这个的区别是 $4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = -8$ ，所以解是非实的。因此，这个矩阵不产生鞍点。

为 $\begin{bmatrix} -4 & 2\\ -7& 5 \end{bmatrix}$ 我们有,

$\begin{vmatrix} \lambda + 4 & -2 \\ 7& \lambda - 5 \end{vmatrix} = (\lambda +4)(\lambda - 5) + 14 = \lambda^2 -\lambda - 6=(\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$

我们看到这个矩阵产生了两个具有不同符号的实数特征值。因此，这是正确的选择。

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问题71:微分方程

求常微分方程组的通解

$\widehat{x}^{'}(t) = A \widehat{x}(t)$

在哪里

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 12 & 1 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\widehat{x}(t) = C_1e^{-5t}\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} + C_2e^{7t}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}$

$\widehat{x}(t) = C_1e^{-5t}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} + C_2e^{7t}\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}$

其他答案都没有。

$\widehat{x}(t) = C_1e^{-5t}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} + C_2e^{7t}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}$

$\widehat{x}(t) = C_1e^{5t}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} + C_2e^{-7t}\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\widehat{x}(t) = C_1e^{-5t}\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} + C_2e^{7t}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}$

解释：

求的特征值和特征向量用矩阵的特征方程

$(1-\lambda)^2 - 36 = 0 \implies \lambda = -5, 7$

对应的特征值分别是

$\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}$ 而且 $\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}$

我们得到通解是

$\widehat{x}(t) = C_1e^{-5t}\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} + C_2e^{7t}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}$

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