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微分方程:微分方程

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例子问题

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问题1:可分离变量

用分离变量法解给定的微分方程。

$x\frac{dy}{dx}=6y$

可能的答案:

y=6x

y=cx^6

y=x^6

y=6cx

y=cx-6

正确答案:

y=cx^6

解释：

用分离变量法来解这个微分方程。这意味着移动所有包含的术语等式的一边包含所有的项到另一边去。

$x\frac{dy}{dx}=6y$

首先，两边乘以．

xdy=6ydx

现在除以两边。

$\frac{xdy}{y}=6dx$

接下来,除以两边。

$\frac{dy}{y}=\frac{6dx}{x}$

从这里开始对两边积分。记住在这个问题中用到的对数函数的规则。

$\\\int\frac{dy}{y}=\int\frac{6dx}{x} \\\\\ln y=6\ln x \\\\e^{\ln y}=e^{6\ln x} \\\\y=e^{\ln x^6} \\\\y=cx^6$

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问题1:可分离变量

解下列微分方程

$\frac{dy}{dx}=3x^2y$

可能的答案:

ln(y)=x^3

$ln(y)=e^x^{^{3}}$

$y=Ce^x^{^{3}}$

$y=e^x^{^{3}+C}$

$y=e^x^{^{3}}$

正确答案:

$y=Ce^x^{^{3}}$

解释：

这是一个可分离变量微分方程。第一步是把所有的x项(包括dx)移到一边，所有的y项(包括dy)移到另一边。

我们给出的微分方程是 $\frac{dy}{dx}=3x^2y$

重新排列后的样子如下: $\frac{dy}{y}=3x^2dx$

此时，为了求出y，我们需要对两边求不定积分: $\int \frac{dy}{y}=\int 3x^2dx$

等于: ln(y)=x^3+C

因为这是一个无界的不定积分，我们需要包含一般的常数C

为了求出y，我们在等式两边同时取e的幂

$e^{ln(y)}=e^{x^3+C}$ 化简后得到了答案:

$y=Ce^{x^3}$

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问题1:一阶微分方程

解以下可分离变量微分方程: y' = 5yt^4 与 y(0) = 3 ．

可能的答案:

$y = 4e^{t^4}$

$y = 3e^{t^5}$

$y = 5e^{t^5}$

$y = 3e^{3t^5}$

$y = 3e^{t^4}$

正确答案:

$y = 3e^{t^5}$

解释：

解可分离变量微分方程最简单的方法就是重写作为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ 滥用符号，在等式两边同时乘以dt。这个收益率

dy = 5yt^5dt ．

接下来，我们得到所有y项和dy以及所有t项和dt的积分。因此,

$\int \frac{dy}{y} = \int 5t^4dt$

ln|y| +K = t^5 +C

结合积分和取指数的常数，我们得到

$|y| = e^{t^5 + C}$

$y = \pm e^Ce^{t^5}$

加减和 e^C 能合并成另一个任意常数吗 $y = Ce^{t^5}$ ．

代入初始条件，就得到

3 = C

而且

$y = 3e^{t^5}$

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问题1:可分离变量

求解ODE的通解:

$\frac{dy}{dx}=x^8y$

可能的答案:

$\ln(y) = \frac{x^9}{9}+C$

C是任意常数

$\ln(y) = e^\frac{x^9}{9}+C$

C是任意常数

$\ln(y) = x^8+C$

C是任意常数

$y = \frac{x^9}{9}+C$

C是任意常数

正确答案:

$\ln(y) = \frac{x^9}{9}+C$

C是任意常数

解释：

首先可以将微分方程分离为:

$\frac{dy}{y} = x^8dx$

然后简单地集成为:

$\ln(y) = \frac{x^9}{9}+C$

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问题1:可分离变量

下面的微分方程是可分离的吗?如果是，方程如何分离?

$\frac{dy}{dt}= e^{t+y}$

可能的答案:

微分方程为可分离变量，得到:

$\frac{dy}{e^y} = e^t dt$

微分方程为可分离变量，得到:

e^y dy =e^t dt

这个微分方程是自治的，因此不可分离。

微分方程为可分离变量，得到:

$e^y dy = \frac{e^t}{dt}$

正确答案:

微分方程为可分离变量，得到:

$\frac{dy}{e^y} = e^t dt$

解释：

使用指数法则，我们注意到这一点 $e^{t+y}$ 就变成了 e^t e^y ．这意味着

微分方程等价于:

$\frac{dy}{dt} = e^t e^y$

通过分离变量得到:

$\frac{dy}{e^y}= e^tdt$

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问题1:可分离变量

下面的微分方程是可分离的吗，如果是，方程如何分离?

y'= 3cos(ty)

可能的答案:

微分方程是可分离变量，得到:

cos(t)dt = cos(y)dy

微分方程是可分离变量，得到:

3cos(t)dt = 3cos(y)dy

微分方程是不可分离的。

微分方程是可分离变量，得到:

3cos(t)dt = sin(y)dy

正确答案:

微分方程是不可分离的。

解释：

微分方程 y'= 3cos(ty) 不能写成 y' = f(t)g(y) 因此不可分离。

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问题1:可分离变量

用分离变量法解给定的微分方程。

$x\frac{dy}{dx}=6y$

可能的答案:

y=cx-6

y=6x

y=cx^6

y=x^6

y=6cx

正确答案:

y=cx^6

解释：

用分离变量法来解这个微分方程。这意味着移动所有包含的术语等式的一边包含所有的项到另一边去。

$x\frac{dy}{dx}=6y$

首先，两边乘以．

xdy=6ydx

现在除以两边。

$\frac{xdy}{y}=6dx$

接下来,除以两边。

$\frac{dy}{y}=\frac{6dx}{x}$

从这里开始对两边积分。记住在这个问题中用到的对数函数的规则。

$\\\int\frac{dy}{y}=\int\frac{6dx}{x} \\\\\ln y=6\ln x \\\\e^{\ln y}=e^{6\ln x} \\\\y=e^{\ln x^6} \\\\y=cx^6$

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问题1:可分离变量

求解以下初值问题: $6y' = y^4\sin(t)$ ， y(0) = 1 ．

可能的答案:

$\left(\frac{1 - 2\sin(t)}{2}\right)^{-2/3}$

$\left(\frac{1 + 2\cos(t)}{2}\right)^{-2/3}$

$\left(\frac{\sin(t) - 1}{2}\right)^{1/3}$

$\left(\frac{1 + \cos(t)}{2}\right)^{-1/3}$

$\left(\frac{1 - \sin(t)}{2}\right)^{-1/3}$

正确答案:

$\left(\frac{1 + \cos(t)}{2}\right)^{-1/3}$

解释：

这是一个可分离变量微分方程。解决这个问题最简单的方法是首先重写作为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ 然后滥用符号，两边同时乘以dt这个收益率 $6dy = y^4\sin(t)dt$ ．然后把y项和dy组合起来，积分，得到 $\int \frac{6}{y^{4}}dy = \int \sin(t)dt = -\frac{2}{y^3} = -\cos(t) + C$ ．解出y $y = \left(\frac{\cos(t)}{2} + C\right)^{-1/3}$ ．代入条件，我们发现 $1 = \left( \frac{1}{2} + C\right )^{-1/3}$ ．两边同时取-1/3次方 $1 = \frac{1}{2} + C; C = \frac{1}{2}$ ．因此，我们的最终解是 $y = \left(\frac{1 + \cos(t)}{2}\right)^{-1/3}$

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问题1:可分离变量

解下列方程

$\frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = \sqrt{y+1}\cos(x) \ \ \ y(\pi) = 0$

可能的答案:

$y = (\cos{x} + 1)^2$

$y = (\sin{x} + 1)^2 - 1$

$y = (\cos{x} + 1)^2 - 1$

$y = (\sin{x} + 1)^2$

$y = (\sin{x} - 1)^2 - 1\textup{}$

正确答案:

$y = (\sin{x} + 1)^2 - 1$

解释：

这是一个可分离的ODE，重新排列

$\frac{1}{\sqrt{y+1}} \ dy = 2\cos{x} \ dx$

集成

$2(y+1)^{1/2} = 2\sin{x} + C$

代入初始条件，求解得到

C=2

解给了我们

$2(y+1)^{1/2} = 2\sin{x} + 2$

$(y+1) = (\sin{x} + 1)^2$

$y = (\sin{x} + 1)^2 - 1$

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问题1:微分方程

求所给微分方程的通解，并确定通解中是否有瞬态项。

$x\frac{dy}{dx}+3y=x^4-x$

可能的答案:

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x^2+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x^3+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^3-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{3}$

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

正确答案:

$\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3} \\\\\text{Transient Term}=cx^{-3}$

解释：

首先,除以等式两边都有。

$\\\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{x^4}{x}-\frac{x}{x} \\\\\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=x^3-1$

确定的因素 p(x) 术语。

$p(x)=\frac{3}{x}$

整合的因素。

$e^{\int p(x)}=e^{\frac{3}{x}}=e^{3\ln x}=e^{\ln x^3}=x^3$

把这个值代回去，对方程积分。

$\\\int \frac{d}{dx}[x^3y]=\int x^3(x^3-1)dx \\\\x^3y=\int x^6-x^3dx \\\\x^3y=\frac{x^7}{7}-\frac{x^4}{4}+c$

现在除以 x^3 得到通解。

$\\y=\frac{1}{7}\frac{x^7}{x^3}-\frac{1}{4}\frac{x^4}{x^3}+\frac{c}{x^3} \\\\y=\frac{1}{7}x^4-\frac{1}{4}x+cx^{-3}$

暂态项是指当数值变大时，项本身会变小。因此这个函数的暂态项是 $cx^{-3}$ ．

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