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想复习复杂分析，但又不想坐着参加整个考试?Varsity导师已经覆盖了数千种不同的复杂分析抽认卡!我们的复杂分析抽认卡可以让你用尽可能少或尽可能多的问题来练习。现在用我们众多的复杂分析抽认卡来学习。

抽认卡:残留的理论

柯西剩余定理如下:

让是简单的闭合轮廓，正面描述。如果一个函数是解析的除了有限数量的奇点 $z_{k}$ 内部,然后

$\displaystyle\int_{C} f(z) dz = 2 \pi i \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \text{Res}_{z=z_{k}} f(z)$

布朗，J. W. &丘吉尔，R. V.(2009)。复杂变量和应用．波士顿，马萨诸塞州:麦格劳-希尔高等教育。

用柯西剩余定理求积分

$f(z) = \frac{e^{-z}}{z^3}$

在该地区 |z|=4 ．

$- \frac{\pi i }{4}$

$- 2 \pi i$

$\pi i$

$- \frac{\pi i }{2}$

$3 \pi i$

抽认卡:残留的理论

用柯西剩余定理求积分

$f(z) = \frac{e^{-z}}{z^3}$

在该地区 |z|=4 ．

你的答案:

$- \frac{\pi i }{4}$

你的答案:

$- 2 \pi i$

你的答案:

$- \frac{\pi i }{2}$

你的答案:

$3 \pi i$

正确答案:

$\pi i$

解释：

请注意,

$f(z) = \frac{e^{-z}}{z^3}$

奇点存在于 z= 0 ．因此，既然在哪里 z=0 唯一的奇点是什么 f(z) 内部 |z|=3 ，我们寻求评估残余 z=0 ．

观察,

$f(z) \newline = \frac{e^{-z}}{z^3} \newline = \frac{1}{z^3} \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k z^k}{k!} \newline = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k z^{k-3}}{k!}$

的系数 $\frac{1}{z}$ 是 $\frac{(-1)^{2}}{2!} = \frac{1}{2}$ ．

因此,

$\text{Res}_{z=0} [f(z)] = \text{Res}_{z=0}[\frac{e^{-z}}{z^3}] = \frac{1}{2}$ ．

因此，根据柯西剩余定理，

$\displaystyle \int_{|z|=3} f(z) dz = \int_{|z|=3} \frac{e^{-z}}{z^2}dz = 2 \pi i \text{Res}_{z=0}[\frac{e^{-z}}{z^2}] = 2 \pi i (\frac{1}{2}) = \pi i$

因此,

$\int_{|z|=3} \frac{e^{-z}}{z^2} dz = \pi i$

抽认卡:残留的理论

柯西剩余定理如下:

让是简单的闭合轮廓，正面描述。如果一个函数是解析的除了有限数量的奇点 $z_{k}$ 内部,然后

$\displaystyle\int_{C} f(z) dz = 2 \pi i \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \text{Res}_{z=z_{k}} f(z)$

布朗，J. W. &丘吉尔，R. V.(2009)。复杂变量和应用．波士顿，马萨诸塞州:麦格劳-希尔高等教育。

利用柯西剩余定理，求的积分

$f(z) = \frac{e^{-z}}{(z-1)^3}$

在该地区 |z|=4

$\frac{ \pi i}{e}$

$- 2 \pi i$

$- 2 \pi i(1 + e)$

$-e^{2 \pi i}$

$2 \pi i$

抽认卡:残留的理论

利用柯西剩余定理，求的积分

$f(z) = \frac{e^{-z}}{(z-1)^3}$

在该地区 |z|=4

你的答案:

$- 2 \pi i$

你的答案:

$- 2 \pi i(1 + e)$

你的答案:

$-e^{2 \pi i}$

你的答案:

$2 \pi i$

正确答案:

$\frac{ \pi i}{e}$

解释：

请注意,

$f(z) = \frac{e^{-z}}{(z-1)^3}$

奇点存在于 z= 1 ．因此，既然在哪里 z=1 唯一的奇点是什么 f(z) 内部 |z|=4 ，我们寻求评估残余 z=1 ．

观察,

$f(z) \newline = \frac{e^{-z}}{(z-1)^3} \newline = \frac{e^{-u-1}}{u^3} \newline = \frac{ 1}{e} * \frac{1}{u^3} \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k u^k}{k!} \newline = \frac{1}{e}\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k u^{k-3}}{k!} \newline = \frac{1}{e}\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{-1^{k}(z-1)^{k-3}}{k!}$

的系数 $\frac{1}{z-1}$ 是 $\frac{1}{e} * \frac{(-1)^{2}}{2!} = \frac{1}{2e}$ ．

因此,

$\text{Res}_{z=0} [f(z)] = \text{Res}_{z=0}[\frac{e^{-z}}{(z-1)^2}] = \frac{1}{2e}$ ．

因此，根据柯西剩余定理，

$\displaystyle \int_{|z|=3} f(z) dz = \int_{|z|=3} \frac{e^{-z}}{(z-1)^2}dz = 2 \pi i \text{Res}_{z=1}[\frac{e^{-z}}{(z-1)^2}] = 2 \pi i (\frac{1}{2e}) = \frac{ \pi i}{e}$

因此,

$\int_{|z|=3} \frac{e^{-z}}{(z-1)^2} dz = \frac{ \pi i}{e}$

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认证导师

德克萨斯大学奥斯汀分校，机械工程学士学位。

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认证导师

纽约州立大学宾厄姆顿分校，理学学士，政治学和政治学。

受欢迎的科目

费城的物理导师，波士顿的统计学导师，西雅图的微积分导师，纽约市的ACT导师，芝加哥的数学导师，圣地亚哥的生物导师，ISEE导师在芝加哥，休斯顿英语家教，华盛顿特区的SSAT导师，圣地亚哥的SAT导师

常用备考

洛杉矶的LSAT考试准备，洛杉矶的ACT考试准备中心，在圣地亚哥准备GRE考试，在华盛顿特区准备SAT考试，LSAT考试准备在华盛顿特区，波士顿ISEE考试准备中心，在菲尼克斯准备GMAT考试，达拉斯沃斯堡MCAT考试准备，波士顿的SAT备考，在圣地亚哥的ACT考试准备

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