一个州的彩票正在举行一次百万美元的抽奖,每张彩票都有以下中奖的几率:
下面哪个选项最能代表票价,在这个价格下,门票会开始变得太贵,并期望从长远来看能赚钱?
你的答案:
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正确答案:
解释:
这个不标准具体涉及到计算一个机会游戏的预期收益(例如,从国家彩票或在快餐店游戏的预期中奖)。在这个标准中,你将被要求计算游戏收益的期望值,以确定它是否值得玩。通过这种方式,学生将学习概率如何告知他们的决策,以提高赢率或避免在机会游戏中损失。这一标准依赖于对概率和预期均值公式的理解。首先,我们将讨论一般意义上的概率。
概率通常被定义为事件发生的机会或可能性。它是通过识别两个组件来计算的:事件和样本空间。事件被定义为我们希望看到的有利结果或成功。另一方面,样本空间被定义为事件所有可能结果的集合。在数学上,我们通过将事件除以样本空间来计算概率:
让我们举一个简单的例子:掷骰子。我们想知道摇到1点的概率。我们知道样本空间是6因为骰子有6条边或结果。而且,我们知道只有一条边的值为1;因此,
现在,让我们把它转换成百分比:
以分数形式表示的概率值将在0到1之间。1表示事件一定会发生,而0表示事件不会发生。同样,用百分比表示的概率值在0到100%之间,其中接近0的概率不太可能发生,接近100%的概率更有可能发生。
根据这个逻辑,我们期望在骰子上每掷六次就掷一次特定的数字;然而,我们可以摇相同的数字多次,也可以在六次摇中完全不摇。这种差异造成了预期平均值和实际平均值之间的差异。预期平均值是一种假设计算,假设样本容量非常大,并且没有中间变量(例如辊上的不同力和辊间滚动模具表面摩擦的变化)。在这些条件下,我们可以计算出,在“完美世界”中,骰子上的任何数字都应该是六分之一。另一方面,真实或实际的平均值是用“真实”日期计算出来的。在这些计算中,我们会将骰子掷到特定的次数,并用它来计算掷到特定数字的概率。值得注意的是,从理论上讲,在大量或接近无限次的试验中,实际均值最终将等于预期均值。换句话说,经过多次抛掷,我们最终会发现骰子上的每个数字都有六分之一的机会被抛掷。
现在,让我们讨论一下期望均值是如何确定的。期望平均值用以下公式计算:
在这个方程中,变量被确定如下:
我们可以用一个例子来说明这一点。个人的名单和各自的大小,他们的摩托车在立方英寸提供。如果你从列表中随机选择一个人,那么你希望他们的摩托车是多大的?
让我们用这个信息来解决这个问题。为了解决摩托车问题,我们需要使用期望均值公式。我们将每个摩托车车主的发动机尺寸替换为其各自的概率并求解。
每个值都有相同的被选中的概率——十一分之一。因此,我们可以简化这个方程:
绕到最近的位置。
请注意,我们可以用这种简化的方式来解决这个问题,因为所有人被选中的概率都是相等的。如果他或她的概率不同,那么我们就需要代入每个人各自被选中的概率。
现在,让我们用这个信息来解决这个问题。我们被告知抽奖的奖金是100万美元,我们知道每张彩票有以下中奖的机会:
我们将使用期望平均数公式并代入变量表示彩票的给定收益。把所给的信息代入公式。
简化。
解决。
长期来看,预期收益是8元。换句话说,如果我们把所有的票都买下来,如果每张票只要8美元,我们就能以100万美元的价格收支平衡。如果票价高于这个数字,那么当我们把它与预期收益联系起来时,就不值得买票了。我们需要选择直接大于8美元的答案;因此,以下选择是正确的: