假设有三个建筑工人——鲍勃、蒂姆和阿尔——正在为一座新房子的三面内墙搭建框架。每面墙的大小都一样,需要六块2英寸乘4英寸的木板来完成。一堆十七块板子,新的要到午饭后才能送到。鲍勃首先选择木材,然后是蒂姆,而阿尔是当天开始时最后一个拿到木材的人。假设所有的板子都是一样的,没有一个比另一个更受欢迎。
假设每个工人使用至少五块板,鲍勃在午饭前完成他的墙工程的概率是多少?
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解释:
为了解决这个问题,我们需要讨论概率和更具体的条件概率。我们将从讨论一般意义上的概率开始。概率通常被定义为一个事件发生的机会或可能性。它通过识别两个组成部分来计算:事件和样本空间。事件被定义为我们希望观察到的有利结果或成功。另一方面,样本空间被定义为事件的所有可能结果的集合。数学上,我们通过将事件除以样本空间来计算概率:
让我们举一个简单的例子:滚动骰子。我们想知道摇到1的概率。我们知道样本空间是6因为骰子有6条边或结果。而且,我们知道只有一条边的值为1;因此,
现在,让我们把它转换成百分比:
用分数形式表示的概率的值在0到1之间。1表示事件一定会发生,0表示事件不会发生。同样,以百分比表示的概率的值在0到100%之间,接近于0的概率不太可能发生,接近于100%的概率更可能发生。
既然我们已经理解了概率最一般意义上的定义,我们就可以研究条件概率了。条件概率被定义为在已知事件A已经发生的情况下,事件B将发生的概率。
用下式表示:
在这个等式中,在事件A已经发生的情况下,事件B发生的概率等于事件A和事件B交集的概率除以事件A发生的概率。需要注意的是,如果事件是独立的,那么在事件A发生的情况下,事件B发生的概率就是事件B发生的概率,因为事件A不会影响事件B。
现在,我们已经了解了条件概率让我们研究一下问题中的情形。为了解决这个问题,我们应该首先列出所有可能的组合,如果每个人都选择了至少一个板。我们可以假设每个建筑工人都会选择至少一块板子,因为他们在一天结束前都有工作要完成。在你将这些组合制成表格后,你应该构建一个类似于下面的表格:
接下来,让我们用问题中的信息创建一个条件概率公式。我们想知道在每个工人至少用了5块板子的情况下,Bob在午饭前把墙建好的概率是多少:
现在,我们求一下Bob在午餐前完成工作并且每个工人至少使用5块板子的概率。首先,我们将分离Bob获得6块木板的所有组合(即他在午饭前完成墙所需的木板数量)。
其次,我们将强调在这个系列中每个人都有至少5个板的组合。
我们可以看到有两种情况,Bob有6块板,每个工人至少有5块板;因此,我们可以计算出以下概率:
我们计算了Bob在午餐前完成交点的概率每个工人得到5块板子的概率之后,我们可以计算每个工人得到5块板子的概率。我们将通过梳理数据,找出每个工人获得超过5块木材的每个实例来做到这一点。如果你做得正确,那么你应该构造一个类似于下面的表:
现在,我们可以计算每个工人获得至少5块2英寸乘4英寸的木材的概率。
最后,我们可以将这些值代入条件概率方程并求解。
转换成百分比。