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共同核心:高中-几何:通过相似性，理解直角三角形的边比是三角形中角的性质，从而得到锐角的三角比的定义

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例子问题

例子问题1:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

用一个直角三角形的边，定义是什么 $tan(\theta)$ ?

可能的答案:

$tan(\theta)=\frac{adjacent}{hypotenuse}$

$tan(\theta)=\frac{opposite}{hypotenuse}$

$tan(\theta)=\frac{opposite}{adjacent}$

正确答案:

$tan(\theta)=\frac{opposite}{adjacent}$

解释：

我们可以通过下面的三角形来证明这一点。

我们正在考虑 $\angle C$ ．的对立面 $\angle C$ 是 $\bar{AB}$ ． $\angle C$ 有两条相邻的边，但从何而来 $\bar{AC}$ 是直角的对边，这是三角形的斜边。所以邻边是 $\angle C$ 必须 $\bar{BC}$ ．我们可以建立下面的方程来检验并确保 $tan(\theta)=\frac{opposite}{adjacent}$ ．

$tan(\theta)=\frac{opposite}{adjacent}$

$tan(36.87) = \frac{3}{4}$

0.75 = 0.75

这表明 $tan(\theta)=\frac{opposite}{adjacent}$ ．

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例子问题1:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

判断对错:由相似度判断，直角三角形的边比是三角形内角的性质。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

真正的

解释：

相似的直角三角形是两个边长不同但同位角相等的直角三角形。这意味着如果你有一个角度， $\theta_1$ ，第一个三角形和一个角， $\theta_2$ ，在第二个三角形中。所以 $\theta_1 = \theta_2$ 如果我们考虑这两个角的余弦。

$cos(\theta_1) = \cos(\theta_2)$

$\frac{adjacent_1}{hypotenuse_1} = \frac{adjacent_2}{hypotenuse_2}$

边长比也可以用边长来计算角的正弦和正切。这表明边长比是三角形内角的性质。

报告错误

例子问题3:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

假设下面两个三角形相似。利用它们的边比是 $\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$ 这个角的三角函数是什么而且

屏幕截图2020 08 07下午2:50.44

可能的答案:

cos(C) ， cos(F)

sin(C) ， cos(F)

cos(C) ， sin(F)

sin(C) ， sin(F)

正确答案:

cos(C) ， cos(F)

解释：

首先，我们必须修改边长比方程，以得到包含相同三角形两边的分数:

$\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$

$\implies BC = \frac{EF*AC}{DF}$ 两边同时乘以

$\implies \frac{BC}{AC} = \frac{EF}{DF}$ 两边除以

如果我们看角度我们看到了 $\frac{BC}{AC}$ 是 $\frac{adjacent}{hypotenuse}$ ．看角度我们看到了 EFDF 也 $\frac{adjacent}{hypotenuse}$ ．这就是角度余弦函数的定义。所以:

$cos(C) = \frac{BC}{AC} = \frac{EF}{DF} = cos(F)$

报告错误

问题4:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

考虑下面的直角三角形。用三角函数来求解而且．

屏幕截图2020 08 12上午9点41分24秒

可能的答案:

AB = 3, AC = 1

$AB = \sqrt{3}, AC = 2$

$AB = 1, AC = \sqrt{3}$

AB = 1, AC = 2

正确答案:

AB = 1, AC = 2

解释：

已知角度我们需要找到立场而且．首先我们需要考虑这些边和角的关系．一边是三角形的斜边，因为它是直角的对边。一边是对角．回想一下正弦函数对应的三角函数比是 $\frac{opposite}{hypotenuse}$ ．我们可以通过解下面的方程来解出缺失的边。

$sin(C) = \frac{opposite}{hypotenuse}$

$sin(30) = \frac{AB}{AC}$

$\frac{1}{2} = \frac{AB}{AC}$

由此可见:

1 = AB

2 = AC

报告错误

例5:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

利用下面三角形的信息，利用边长比求出 sin(A) ．

屏幕截图2020 08 13上午8点57分41秒

可能的答案:

$\frac{6}{10}$

$\frac{10}{6}$

$\frac{8}{10}$

$\frac{5}{3}$

正确答案:

$\frac{6}{10}$

解释：

正弦角的定义是 $\frac{opposite}{hypotenuse}$ ．所以我们必须确定哪条边是角的对边哪条边是这个三角形的斜边。我们知道这条边是斜边，因为它是直角的对边。一边角的正对边．所以:

$sin(A) = \frac{opposite}{hypotenuse}$

$sin(A) = \frac{BC}{AC}$

$sin(A) = \frac{6}{10}$

报告错误

例子问题6:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

考虑下面的直角三角形。用三角比求边而且．

屏幕截图2020 08 19下午4:37.20

可能的答案:

$BC = \sqrt{3}, AC = 1$

$BC = 1, AC = \sqrt{3}$

$BC =2, AC = \sqrt{3}$

$BC = \sqrt{3}, AC = 2$

正确答案:

$BC = \sqrt{3}, AC = 2$

解释：

已知角度我们需要找到立场而且．首先我们需要考虑这些边和角的关系．一边是三角形的斜边，因为它是直角的对边。所以一边一定是角的邻边．回忆一下，cos对应的三角函数比是 $\frac{adjacent}{hypotenuse}$ ．我们可以通过解下面的方程来解出缺失的边。

$cos(C) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$

$cos(30) = \frac{BC}{AC}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{AC}$

由此可见:

$\sqrt{3} = BC$

2 = AC

报告错误

示例问题7:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

利用下面三角形的边长信息，利用边长比求出 cos(A) ．

屏幕截图2020 08 19下午4:40.52

可能的答案:

$\frac{2}{3}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{2}{4}$

$\frac{3}{4}$

正确答案:

$\frac{3}{4}$

解释：

锐角余弦的定义是 $cos(angle) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$ ．这里我们必须确定哪条边是邻边哪条边是斜边。斜边是最容易挑出来的。这条边是直角三角形中直角的正对面。斜边是．现在我们必须选择邻边。相邻的意思是挨着，自从 $\bar{AC}$ 斜边是多少 $\bar{AB}$ 一定是邻边。所以:

$cos(A) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$

$\implies cos(A) = \frac{AB}{AC}$

$\implies cos(A) = \frac{3}{4}$

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例8:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

找到角使用三角比率。

屏幕截图2020 08 20上午9点57分27分

可能的答案:

60度

50度

75度

45度

正确答案:

45度

解释：

已知角的邻边还有三角形的斜边。我们可以用这个来建立三角比 $\frac{adjacent}{hypotenuse}$ 我们知道这是cos的定义。我们可以解出角度用下面的方程。

$cos(A) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$

$cos(A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$A = cos^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})$

A = 45

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问题9:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

假设下面两个三角形相似。利用它们的边比是 $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$ ，这个角的三角函数是什么而且．

屏幕截图2020 08 20上午10:51.25

可能的答案:

tan(C), cos(F)

cos(C), tan(F)

tan(C), tan(F)

sin(F) ， sin(F)

正确答案:

tan(C), tan(F)

解释：

首先，我们必须修改边长比方程，以得到包含相同三角形两边的分数:

$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$

$\implies AB = \frac{DE*BC}{EF}$ 两边同时乘以

$\implies \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$ 两边除以

如果我们看角度我们看到了 $\frac{AB}{BC}$ 是 $\frac{opposite}{adjacent}$ ．看角度我们看到了 $\frac{DE}{EF}$ 也是 $\frac{opposite}{adjacent}$ ．这就是角的正切的定义。所以:

$tan(C) = \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} = tan(F)$

报告错误

例子问题10:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

假设下面两个三角形相似。利用它们的边比是 $\frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}$ ，这个角的三角函数是什么而且?

屏幕截图2020 08 20上午11.09.38

可能的答案:

cos(C) ， sin(F)

sin(C) ， cos(F)

cos(C) ， cos(F)

sin(C) ， sin(F)

正确答案:

sin(C) ， sin(F)

解释：

首先，我们必须修改边长比方程，以得到包含相同三角形两边的分数:

$\frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}$

$\begin{tabular}{lcc} \\ $\implies AB = \frac{DE*AC}{DF}$ & $multiply \; both \; sides \; by\; DE$ \\ $\implies \frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}$ & $divide \; both \; sides \; by \; AC$ \\ \end{tabular}$

如果我们看角度我们可以看到 $\frac{AB}{AC}$ 是 $\frac{opposite}{hypotenuse}$ ．看角度我们看到了 $\frac{DE}{DF}$ 也是 $\frac{opposite}{hypotenuse}$ ．这就是正弦函数的定义。所以:

$sin(C) = \frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF} = sin(F)$

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例子问题1:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

例子问题1:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

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问题9:由于相似，直角三角形的边比是三角形中角的性质，这就引出了锐角的三角比的定义

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