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普通核心:高中-几何:证明正弦和余弦定律:CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.10

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例子问题

例子问题1:证明正弦和余弦定律:Ccss.Math.Content.Hsg Srt.D.10

余弦定理是哪个定理的推广?

可能的答案:

代数基本定理

三角形和定理

边角边相似定理

三角形比例定理

勾股定理

正确答案:

勾股定理

解释：

余弦定理是勾股定理的推广。为了更好地理解这一点，首先画三角形ABC，边是a、b、c。然后，从点a开始构造高度，得到高度h。最后标记点b到h与边a相交的点的距离为距离r。

屏幕截图2020 07 01下午7点58分05秒

我们将任意地求出b，但我们也可以求出a和c(在画出正确的高度后)，这就是为什么我们可以推广其他两个公式来求出a和c。

根据定义，我们知道 $\sin\angle B= \frac{h}{c}$ ．如果两边同时乘以c，就得到 $c\sin\angle B= h$ ．

我们也知道 $\cos\angle B= \frac{r}{c}$ ．如果两边同时乘以c，就得到 $c\cos\angle B= r$ ．

利用勾股定理，我们得到 b^2=h^2+(a-r)^2 ．

将上面的h和r代入，得到:

$b^2=(c\sin \angle B)^2+ (a-c\cos\angle B)^2$

$= c^2\sin^2 \angle B + a^2-2ac\cos\angle B + c^2\cos^2\angle B$

$= c^2 (sin^2 \angle B+cos^2\angle B) + a^2-2ac\cos\angle B$ (因为 $sin^2 \angle B+cos^2\angle B=1$ ）

$= c^2 + a^2-2ac\cos\angle B$

因此 $b^2= c^2 + a^2-2ac\cos\angle B$ ．

余弦定理的另外两个版本是:

$a^2= b^2 + c^2-2bc\cos\angle A$

$c^2= a^2 + b^2-2ab\cos\angle C$

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例子问题2:证明正弦和余弦定律:Ccss.Math.Content.Hsg Srt.D.10

判断题:正弦定律适用于所有类型的三角形。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

真正的

解释：

这是正确的。勾股定理只适用于直角三角形，而正弦定理适用于所有三角形，无论它们是直角、锐角还是钝角。

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示例问题3:证明正弦和余弦定律:Ccss.Math.Content.Hsg Srt.D.10

真假:余弦定律适用于所有三角形。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

真正的

解释：

这是正确的。勾股定理只适用于直角三角形，余弦定理适用于所有三角形，无论它们是直角、锐角还是钝角。

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示例问题4:证明正弦和余弦定律:Ccss.Math.Content.Hsg Srt.D.10

根据下面的三角形，选择正确陈述正弦定理的答案选项。

屏幕截图2020年08月19日下午4.54.09分

可能的答案:

$\frac{A}{\cos (\gamma )}=\frac{B}{\cos (\alpha )}=\frac{C}{\cos (\beta )}$

$A^{2}+B^{2}-2AB\cos (\gamma )=C^{2}$

$A^{2}+B^{2}-2AB\sin (\gamma )=C^{2}$

$\frac{A}{\sin (\gamma )}=\frac{B}{\sin (\alpha )}=\frac{C}{\sin (\beta )}$

正确答案:

$\frac{A}{\sin (\gamma )}=\frac{B}{\sin (\alpha )}=\frac{C}{\sin (\beta )}$

解释：

正弦定律利用三角形的边和角的比值来解未知的边和/或角。这种关系对任何三角形都成立。

屏幕截图2020年08月19日下午4.54.09分

sin定理是 $\frac{A}{\sin (\gamma )}=\frac{B}{\sin (\alpha )}=\frac{C}{\sin (\beta )}$ ．

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示例问题5:证明正弦和余弦定律:Ccss.Math.Content.Hsg Srt.D.10

下列哪个表达式正确地说明了余弦定理?用下面的三角形作为参考。

屏幕截图2020年08月20日上午10点56分17秒

可能的答案:

$\frac{A}{\cos (\gamma )}=\frac{B}{\cos (\alpha )}=\frac{C}{\cos (\beta )}$

$\frac{A}{\sin (\gamma )}=\frac{B}{\sin (\alpha )}=\frac{C}{\sin (\beta )}$

$A^{2}+B^{2}-2AB\sin (\gamma )=C^{2}$

$A^{2}+B^{2}-2AB\cos (\gamma )=C^{2}$

正确答案:

$A^{2}+B^{2}-2AB\cos (\gamma )=C^{2}$

解释：

余弦定理应该和我们常用的直角三角形定理很相似。余弦定理基本上是勾股定理，但它有一个附加的论证，所以它对任何三角形都成立。

屏幕截图2020年08月20日上午10点56分17秒

余弦定理是 $A^{2}+B^{2}-2AB\cos (\gamma )=C^{2}$

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示例问题6:证明正弦和余弦定律:Ccss.Math.Content.Hsg Srt.D.10

根据下面的三角形，选择正确陈述正弦定理的答案选项。

截图2020年08月20日上午11点04分58分

可能的答案:

$A^{2}+B^{2}-2AB\sin (\gamma )=C^{2}$

$\frac{A}{\cos (\gamma )}=\frac{B}{\cos (\alpha )}=\frac{C}{\cos (\beta )}$

$\frac{A}{\sin (\gamma )}=\frac{B}{\sin (\alpha )}=\frac{C}{\sin (\beta )}$

$A^{2}+B^{2}-2AB\cos (\gamma )=C^{2}$

正确答案:

$\frac{A}{\sin (\gamma )}=\frac{B}{\sin (\alpha )}=\frac{C}{\sin (\beta )}$

解释：

正弦定律利用三角形的边和角的比值来解未知的边和/或角。这种关系对任何三角形都成立。

截图2020年08月20日上午11点04分58分

sin定理是 $\frac{A}{\sin (\gamma )}=\frac{B}{\sin (\alpha )}=\frac{C}{\sin (\beta )}$ ．

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