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公共核心:高中-函数:用反函数解三角函数:CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.7

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例子问题

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例子问题1:用逆函数解三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.B.7

解决以下问题 $\theta$

$2\tan(\theta)+4=6$

可能的答案:

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{4}$

$\theta=\frac{2\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$

正确答案:

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$

解释：

这个问题是测试一个人理解和识别与单位圆有关的三角函数方程的逆函数的能力。

为了达到共同核心标准的目的，“使用逆函数来解决建模环境中出现的三角方程;评估使用技术的解决方案，并根据上下文的概念解释它们(CCSS.MATH.CONTENT.HSF-TF.B.7)。值得注意的是，这个标准不是直接用于测试，而是用于建立对三角函数的更深理解。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用代数运算来处理函数。

$2\tan(\theta)+4=6$

首先，每边减去4。

$2\tan(\theta)+4{\color{Red} -4}=6{\color{Red} -4}$

$2\tan(\theta)=2$

两边同时除以2。

$\frac{2\tan(\theta)}{2}=\frac{2}{2}$

$\tan(\theta)=1$

步骤2:为了分离，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}(1)$

$\theta=\tan^{-1}(1)$

第三步:用单位圆解出。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1，正弦和余弦必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{\pi}{4} \right )=\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{\frac{1}{\sqrt2}}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{1}=1$

$\tan\left(\frac{5\pi}{4} \right )=\frac{-\frac{1}{\sqrt2}}{-\frac{1}{\sqrt2}}=-\frac{1}{\sqrt2}\cdot -\frac{\sqrt2}{1}=1$ ．

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ ．

报告一个错误

例子问题2:用逆函数解三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.B.7

解决以下问题 $\theta$ ．

$2\tan(\theta)=2$

可能的答案:

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{6\pi}{4}$

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$

$\theta=\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}$

正确答案:

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$

解释：

这个问题是测试一个人理解和识别与单位圆有关的三角函数方程的逆函数的能力。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用代数运算来处理函数。

$2\tan(\theta)=2$

两边各除以二。

$\frac{2\tan(\theta)}{2}=\frac{2}{2}$

$\tan(\theta)=1$

步骤2:为了分离，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}(1)$

$\theta=\tan^{-1}(1)$

第三步:用单位圆解出。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1，正弦和余弦必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{\pi}{4} \right )=\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{\frac{1}{\sqrt2}}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{1}=1$

$\tan\left(\frac{5\pi}{4} \right )=\frac{-\frac{1}{\sqrt2}}{-\frac{1}{\sqrt2}}=-\frac{1}{\sqrt2}\cdot -\frac{\sqrt2}{1}=1$ ．

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$

报告一个错误

示例问题3:用逆函数解三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.B.7

解出 $\theta$ ．

$\tan(\theta)+4=\sqrt{3}+4$

可能的答案:

$\theta=\frac{\pi}{2},\frac{4\pi}{2}$

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{4\pi}{3}$

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}$

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

$\theta=\frac{6\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

正确答案:

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

解释：

这个问题是测试一个人理解和识别与单位圆有关的三角函数方程的逆函数的能力。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用代数运算来处理函数。

$\tan(\theta)+4=\sqrt{3}+4$

首先两边同时减去4。

$\\\tan(\theta)+4{\color{Red} -4}=\sqrt{3}+4{\color{Red} -4} \\\tan(\theta)=\sqrt{3}$

步骤2:为了分离，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}(\sqrt{3})$

$\theta=\tan^{-1}(\sqrt{3})$

第三步:用单位圆解出。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1，正弦和余弦必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{\pi}{3} \right )=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}=\sqrt{3}$

$\tan\left(\frac{4\pi}{3} \right )=\frac{\frac{-\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{-2}{1}=\sqrt{3}$

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

报告一个错误

示例问题4:用逆函数解三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.B.7

解出 $\theta$ ．

$2\tan(\theta)=2\sqrt{3}$

可能的答案:

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{2}$

$\theta=\frac{\pi}{2},\frac{4\pi}{3}$

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{3}$

正确答案:

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

解释：

这个问题是测试一个人理解和识别与单位圆有关的三角函数方程的逆函数的能力。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用代数运算来处理函数。

$2\tan(\theta)=2\sqrt{3}$

两边除以二。

$\frac{2\tan(\theta)}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\theta)=\sqrt{3}$

步骤2:为了分离，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}(\sqrt{3})$

$\theta=\tan^{-1}(\sqrt{3})$

第三步:用单位圆解出。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1，正弦和余弦必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{\pi}{3} \right )=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}=\sqrt{3}$

$\tan\left(\frac{4\pi}{3} \right )=\frac{\frac{-\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{-2}{1}=\sqrt{3}$

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

报告一个错误

示例问题5:用逆函数解三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.B.7

解出 $\theta$ ．

$3\tan(\theta)=\frac{-3}{\sqrt{3}}$

可能的答案:

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

$\theta=\frac{5\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{3}$

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{7\pi}{3}$

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{4\pi}{6}$

正确答案:

$\theta=\frac{5\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

解释：

这个问题是测试一个人理解和识别与单位圆有关的三角函数方程的逆函数的能力。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用代数运算来处理函数。

$3\tan(\theta)=\frac{-3}{\sqrt{3}}$

两边同时除以3。

$\frac{3\tan(\theta)}{3}=\frac{-3}{3\sqrt{3}}$

$\tan(\theta)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

步骤2:为了分离，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

$\theta=\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}} \right )$

第三步:用单位圆解出。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1，正弦和余弦必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{5\pi}{6} \right )=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot -\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan\left(\frac{11\pi}{6} \right )=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{5\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

报告一个错误

示例问题6:用逆函数解三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.B.7

解出 $\theta$ ．

$3\tan(\theta)=\frac{3}{\sqrt{3}}$

可能的答案:

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}$

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{4\pi}{6}$

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{3}$

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{7\pi}{3}$

正确答案:

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}$

解释：

这个问题是测试一个人理解和识别与单位圆有关的三角函数方程的逆函数的能力。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用代数运算来处理函数。

$3\tan(\theta)=\frac{3}{\sqrt{3}}$

两边同时除以3。

$\frac{3\tan(\theta)}{3}=\frac{3}{3\sqrt{3}}$

$\tan(\theta)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

步骤2:为了分离，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \right )$

第三步:用单位圆解出。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1，正弦和余弦必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{\pi}{6} \right )=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan\left(\frac{7\pi}{6} \right )=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{-\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot -\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}$

报告一个错误

示例问题7:用逆函数解三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.B.7

解出 $\theta$ ．

$\tan(\theta)-1=\frac{1}{\sqrt{3}}-1$

可能的答案:

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}$

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{6}$

$\theta=\frac{2\pi}{6},\frac{7\pi}{6}$

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{3}$

正确答案:

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}$

解释：

这个问题是测试一个人理解和识别与单位圆有关的三角函数方程的逆函数的能力。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用代数运算来处理函数。

$\tan(\theta)-1=\frac{1}{\sqrt{3}}-1$

两边同时加1。

$\tan(\theta)-1{\color{Red} +1}=\frac{1}{\sqrt{3}}-1{\color{Red} +1}$

$\tan(\theta)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

步骤2:为了分离，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \right )$

第三步:用单位圆解出。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1，正弦和余弦必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{\pi}{6} \right )=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan\left(\frac{7\pi}{6} \right )=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{-\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot -\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}$

报告一个错误

示例问题8:用逆函数解三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.B.7

解决以下问题 $\theta$ ．

$2\tan(\theta)-4=-6$

可能的答案:

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{3}$

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{9\pi}{4}$

$\theta=\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{2}$

正确答案:

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$

解释：

这个问题是测试一个人理解和识别与单位圆有关的三角函数方程的逆函数的能力。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用代数运算来处理函数。

$2\tan(\theta)-4=-6$

首先每边加4个。

$2\tan(\theta)-4{\color{Red} +4}=-6{\color{Red} +4}$

$2\tan(\theta)=-2$

两边同时除以2。

$\frac{2\tan(\theta)}{2}=\frac{-2}{2}$

$\tan(\theta)=-1$

步骤2:为了分离，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}(-1)$

$\theta=\tan^{-1}(-1)$

第三步:用单位圆解出。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1，正弦和余弦必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{3\pi}{4} \right )=\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{-\frac{1}{\sqrt2}}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot -\frac{\sqrt2}{1}=-1$

$\tan\left(\frac{7\pi}{4} \right )=\frac{-\frac{1}{\sqrt2}}{\frac{1}{\sqrt2}}=-\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{1}=-1$ ．

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$

报告一个错误

例子问题81:三角函数

解出 $\theta$ ．

$\tan(\theta)+1=-\sqrt{3}+1$

可能的答案:

$\theta=\frac{2\pi}{6},\frac{5\pi}{3}$

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

$\theta=\frac{2\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}$

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

正确答案:

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

解释：

这个问题是测试一个人理解和识别与单位圆有关的三角函数方程的逆函数的能力。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用代数运算来处理函数。

$\tan(\theta)+1=-\sqrt{3}+1$

两边各减1。

$\tan(\theta)+1{\color{Red} -1}=-\sqrt{3}+1{\color{Red} -1}$

$\tan(\theta)=-\sqrt{3}$

步骤2:为了分离，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

$\theta=\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

第三步:用单位圆解出。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1，正弦和余弦必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{2\pi}{3} \right )=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot -\frac{2}{1}=-\sqrt{3}$

$\tan\left(\frac{5\pi}{3} \right )=\frac{\frac{-\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}=-\sqrt{3}$

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

报告一个错误

问题82:三角函数

解出 $\theta$ ．

$2\tan(\theta)=-2\sqrt{3}$

可能的答案:

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}$

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

$\theta=\frac{2\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

正确答案:

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

解释：

这个问题是测试一个人理解和识别与单位圆有关的三角函数方程的逆函数的能力。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用代数运算来处理函数。

$2\tan(\theta)=-2\sqrt{3}$

两边各除以2。

$\frac{2\tan(\theta)}{2}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\theta)=-\sqrt{3}$

步骤2:为了分离，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

$\theta=\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

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$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1，正弦和余弦必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{2\pi}{3} \right )=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot -\frac{2}{1}=-\sqrt{3}$

$\tan\left(\frac{5\pi}{3} \right )=\frac{\frac{-\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}=-\sqrt{3}$

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

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