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共同核心:高中-功能:证明勾股定理:CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.8

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例子问题

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问题85:三角函数

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{12}{13}$

找到

$\sin(\theta)$ ?

可能的答案:

$\sin(\theta)=-\frac{5}{12}$

$\sin(\theta)=-\frac{12}{13}$

$\sin(\theta)=-\frac{5}{13}$

$\sin(\theta)=\frac{5}{13}$

$\sin(\theta)=\frac{5}{12}$

正确答案:

$\sin(\theta)=-\frac{5}{13}$

解释：

这个问题测试一个人对勾股定理的理解，因为它与三角函数有关。本文还采用了函数的代数处理方法，借助三角恒等式来简化和解决问题。对于这样的问题，重要的是要回忆一下勾股定理，因为它与三角函数有关

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

为了共同核心标准的目的，证明毕达哥拉斯的同一性 $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$ 并使用它来精细正弦、余弦或正切和角的象限”，属于“证明和应用三角恒等式”概念的C类(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{12}{13}$

题目说角在象限IV，这意味着正弦和正切为负，而余弦为正。(记住这句话的一个简单方法是“所有学生都学微积分”;这意味着在象限I中所有的三角函数都是正的，在象限II中只有正弦函数及其逆函数是正的，在象限III中只有正切函数及其逆函数是正的，而在象限IV中只有余弦函数及其逆函数是正的。ASTC)

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{12}{13}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{12^2}{13^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{169}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{169}-\frac{144}{169}=1-\frac{144}{169}$

$\sin^2(\theta)=\frac{169-144}{169}$

$\sin^2(\theta)=\frac{25}{169}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{25}{169}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{5}{13}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{5}{13}$

报告错误

例子问题1:毕达哥拉斯恒等式证明:Ccss.Math.Content.Hsf . Tf.C.8

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{12}{13}$

找到

$\tan(\theta)$ ?

可能的答案:

$\tan(\theta)=-\frac{12}{5}$

$\tan(\theta)=\frac{5}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{5}{13}$

$\tan(\theta)=\frac{5}{13}$

$\tan(\theta)=-\frac{5}{12}$

正确答案:

$\tan(\theta)=-\frac{5}{12}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{12}{13}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{12}{13}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{12^2}{13^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{169}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{169}-\frac{144}{169}=1-\frac{144}{169}$

$\sin^2(\theta)=\frac{169-144}{169}$

$\sin^2(\theta)=\frac{25}{169}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{25}{169}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{5}{13}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{5}{13}$

第四步:计算切线。

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$\tan(\theta)=\frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}$

$\tan(\theta)=-\frac{5}{13}\times\frac{13}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{5}{12}$

报告错误

例子问题1:毕达哥拉斯恒等式证明:Ccss.Math.Content.Hsf . Tf.C.8

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{8}{17}$

找到

$\sin(\theta)$ ?

可能的答案:

$\sin(\theta)=-\frac{8}{15}$

$\sin(\theta)=\frac{15}{17}$

$\sin(\theta)=-\frac{15}{17}$

$\sin(\theta)=-\frac{17}{15}$

$\sin(\theta)=\frac{17}{15}$

正确答案:

$\sin(\theta)=-\frac{15}{17}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{8}{17}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{8}{17}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{8^2}{17^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{64}{289}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{64}{289}-\frac{64}{289}=1-\frac{64}{289}$

$\sin^2(\theta)=\frac{289-64}{289}$

$\sin^2(\theta)=\frac{225}{289}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{225}{289}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{15}{17}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{15}{17}$

报告错误

问题88:三角函数

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{8}{17}$

找到

$\tan(\theta)$

可能的答案:

$\tan(\theta)=\frac{15}{17}$

$\tan(\theta)=\frac{15}{8}$

$\tan(\theta)=-\frac{15}{17}$

$\tan(\theta)=-\frac{15}{8}$

$\tan(\theta)=\frac{8}{15}$

正确答案:

$\tan(\theta)=-\frac{15}{8}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{8}{17}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{8}{17}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{8^2}{17^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{64}{289}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{64}{289}-\frac{64}{289}=1-\frac{64}{289}$

$\sin^2(\theta)=\frac{289-64}{289}$

$\sin^2(\theta)=\frac{225}{289}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{225}{289}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{15}{17}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{15}{17}$

第四步:计算切线。

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$\tan(\theta)=\frac{-\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}$

$\tan(\theta)=-\frac{15}{17}\times\frac{17}{8}$

$\tan(\theta)=-\frac{15}{8}$

报告错误

问题89:三角函数

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{12}{37}$

找到

$\sin(\theta)$ ?

可能的答案:

$\sin(\theta)=-\frac{35}{37}$

$\sin(\theta)=\frac{35}{37}$

$\sin(\theta)=\frac{37}{35}$

$\sin(\theta)=-\frac{37}{35}$

$\sin(\theta)=-\frac{35}{12}$

正确答案:

$\sin(\theta)=-\frac{35}{37}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{12}{37}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{12}{37}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{12^2}{37^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{1369}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{1369}-\frac{144}{1369}=1-\frac{144}{1369}$

$\sin^2(\theta)=\frac{1369-144}{1369}$

$\sin^2(\theta)=\frac{1225}{1369}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{1225}{1369}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{35}{37}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{35}{37}$

报告错误

问题90:三角函数

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{12}{37}$

找到

$\tan(\theta)$ ?

可能的答案:

$\tan(\theta)=\frac{12}{35}$

$\tan(\theta)=-\frac{35}{37}$

$\tan(\theta)=\frac{35}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{35}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{12}{35}$

正确答案:

$\tan(\theta)=-\frac{35}{12}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{12}{37}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{12}{37}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{12^2}{37^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{1369}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{1369}-\frac{144}{1369}=1-\frac{144}{1369}$

$\sin^2(\theta)=\frac{1369-144}{1369}$

$\sin^2(\theta)=\frac{1225}{1369}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{1225}{1369}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{35}{37}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{35}{37}$

第四步:计算切线。

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$\tan(\theta)=\frac{-\frac{35}{37}}{\frac{12}{37}}$

$\tan(\theta)=-\frac{35}{37}\times\frac{37}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{35}{12}$

报告错误

例子问题1:毕达哥拉斯恒等式证明:Ccss.Math.Content.Hsf . Tf.C.8

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{20}{29}$

找到

$\sin(\theta)$ ?

可能的答案:

$\sin(\theta)=\frac{21}{29}$

$\sin(\theta)=\frac{29}{21}$

$\sin(\theta)=-\frac{21}{20}$

$\sin(\theta)=-\frac{21}{29}$

$\sin(\theta)=-\frac{29}{21}$

正确答案:

$\sin(\theta)=-\frac{21}{29}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{20}{29}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{20}{29}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{20^2}{29^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{400}{841}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{400}{841}-\frac{400}{841}=1-\frac{400}{841}$

$\sin^2(\theta)=\frac{841-144}{841}$

$\sin^2(\theta)=\frac{441}{841}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{441}{841}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{21}{29}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{21}{29}$

报告错误

例子问题2:毕达哥拉斯恒等式证明:Ccss.Math.Content.Hsf . Tf.C.8

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{20}{29}$

找到

$\tan(\theta)$ ?

可能的答案:

$\tan(\theta)=-\frac{21}{29}$

$\tan(\theta)=\frac{21}{20}$

$\tan(\theta)=\frac{20}{21}$

$\tan(\theta)=-\frac{21}{20}$

$\tan(\theta)=-\frac{20}{21}$

正确答案:

$\tan(\theta)=-\frac{21}{20}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{20}{29}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{20}{29}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{20^2}{29^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{400}{841}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{400}{841}-\frac{400}{841}=1-\frac{400}{841}$

$\sin^2(\theta)=\frac{841-144}{841}$

$\sin^2(\theta)=\frac{441}{841}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{441}{841}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{21}{29}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{21}{29}$

第四步:计算切线。

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$\tan(\theta)=\frac{-\frac{21}{29}}{\frac{20}{29}}$

$\tan(\theta)=-\frac{21}{29}\times\frac{29}{20}$

$\tan(\theta)=-\frac{21}{20}$

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例子问题3:毕达哥拉斯恒等式证明:Ccss.Math.Content.Hsf . Tf.C.8

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{4}{5}$

找到

$\sin(\theta)$ ?

可能的答案:

$\sin(\theta)=\frac{3}{5}$

$\sin(\theta)=-\frac{5}{3}$

$\sin(\theta)=\frac{5}{3}$

$\sin(\theta)=-\frac{3}{5}$

$\sin(\theta)=-\frac{5}{4}$

正确答案:

$\sin(\theta)=-\frac{3}{5}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{4}{5}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{4^2}{5^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{16}{25}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{16}{25}-\frac{16}{25}=1-\frac{16}{25}$

$\sin^2(\theta)=\frac{25-16}{25}$

$\sin^2(\theta)=\frac{9}{25}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{9}{25}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{3}{5}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{3}{5}$

报告错误

问题4:毕达哥拉斯恒等式证明:Ccss.Math.Content.Hsf . Tf.C.8

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{4}{5}$

找到

$\tan(\theta)$ ?

可能的答案:

$\tan(\theta)=-\frac{4}{3}$

$\tan(\theta)=-\frac{3}{4}$

$\tan(\theta)=-\frac{5}{4}$

$\tan(\theta)=\frac{3}{4}$

$\tan(\theta)=\frac{4}{3}$

正确答案:

$\tan(\theta)=-\frac{3}{4}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{4}{5}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{4^2}{5^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{16}{25}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{16}{25}-\frac{16}{25}=1-\frac{16}{25}$

$\sin^2(\theta)=\frac{25-16}{25}$

$\sin^2(\theta)=\frac{9}{25}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{9}{25}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{3}{5}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{3}{5}$

第四步:计算切线。

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$\tan(\theta)=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$

$\tan(\theta)=-\frac{3}{5}\times\frac{5}{4}$

$\tan(\theta)=-\frac{3}{4}$

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