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共同核心课程:八年级数学:了解和使用圆锥、圆柱体和球体的体积公式

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例子问题

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问题1:认识和使用锥体、圆柱体和球体的体积公式:数学

栗木的密度约为 $0.45\frac{g}{cm^3}$ 。用栗木制成的右圆锥体高3米，底座半径2米。它的质量单位是多少千克(最接近的整千克)?

可能的答案:

$5,655 \; \textrm{kg}$

$6,055 \; \textrm{kg}$

$5,755 \; \textrm{kg}$

$5,955 \; \textrm{kg}$

$5,855 \; \textrm{kg}$

正确答案:

$5,655 \; \textrm{kg}$

解释：

首先，通过乘以将尺寸转换为立方厘米 100 圆锥体有高度 300cm ，它的底有半径 200cm 。

$3m*\frac{100cm}{1m}=300cm\ \ \2m*\frac{100cm}{1m}=200cm$

它的体积由公式和换算后的高度和半径求出。

$V=\frac{1}{3} \pi r^{2}h$

$V=\frac{1}{3} \pi (200cm)^{2} ( 300cm )\approx 12,566,371 \; \textrm{cm}^{3}$

现在把这个乘以 $0.45\frac{g}{cm^3}$ 得到质量。

$m=V*\rho$

$12,566,371cm^3*0.45\frac{g}{cm^3} \approx 5,654,867g$

最后，把答案转换成千克。

$5654867g *\frac{1kg}{1,000g} \approx 5,655kg$

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问题2:认识和使用锥体、圆柱体和球体的体积公式:数学

圆锥体的高度为4米，圆形底座面积为4平方米。如果我们想用水填充圆锥体(密度= $1000\frac{Kg}{m^3}$ )，所需水的质量是多少(单位为千克)?

可能的答案:

10,000

2133

6333

4333

5333

正确答案:

5333

解释：

圆锥的体积为:

$Volume=\frac{1}{3}\pi r^2h$

在哪里圆底的半径是多少是高度(从底到顶点的垂直距离)。

圆底面积等于 $\pi r^2$ ，我们可以将体积公式改写为:

$Volume =\frac{A\times h}{3}$

在哪里是这个问题中已知的圆底面积。所以我们可以写:

$Volume =\frac{A\times h}{3}=\frac{4\times 4}{3}=\frac{16}{3}\approx 5.333 m^3$

我们知道密度的定义是单位体积的质量，或者:

$\rho =\frac{m}{v}$

在哪里 $\rho$ 是密度;是质量和是体积。所以我们得到:

$m=\rho v=1000\times 5.333=5333 Kg$

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问题3:认识和使用锥体、圆柱体和球体的体积公式:数学

右锥体的垂直高度(或高度)为。圆锥体的圆底半径为。求圆锥体的体积。

可能的答案:

$\frac{1}{3}\pi t^3$

$\frac{2}{3}\pi t^2$

$\frac{1}{3}\pi t^2$

$\frac{2}{3}\pi t^3$

$\pi t^3$

正确答案:

$\frac{2}{3}\pi t^3$

解释：

圆锥的体积为:

$Volume=\frac{1}3{}\pi r^2h$

在哪里圆底的半径是多少是高度(从底到顶点的垂直距离)。

$Volume=\frac{1}3{}\pi r^2h =\frac{1}3{}\pi t^2\times 2t=\frac{2}{3}\pi t^3$

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问题11:三维图形的体积

右锥体的体积为 $8\pi$ ，高度为圆底的半径是。找到。

可能的答案:

$\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{3}$

$\sqrt{2}$

$2\sqrt[3]{2}$

正确答案:

$\sqrt[3]{2}$

解释：

圆锥的体积由下式给出:

$Volume=\frac{1}{3}\pi r^2h$

在哪里圆底的半径是多少是高度;从底到顶点的垂直距离。将已知值代入公式:

$Volume=\frac{1}{3}\pi r^2h\Rightarrow 8\pi=\frac{1}{3}\pi\times (2t)^2\times 3t$

$\Rightarrow 8\pi=4\pi t^3\Rightarrow t^3=2\Rightarrow t=\sqrt[3]{2}$

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问题1:如何计算圆锥体的体积

圆锥体的直径为 $12\:m$ 高度为 $4\:m$ 。以立方米为单位，这个圆锥的体积是多少?

可能的答案:

$48\pi\:m^3$

$144\pi\:m^3$

$54\pi\:m^3$

$36\pi\:m^3$

正确答案:

$48\pi\:m^3$

解释：

首先，将直径分成两半得到半径。

$\frac{d}{2}=r$

$\frac{12}{2}=6\:m$

现在，用公式求出圆锥体的体积。

$\text{Volume}=\frac{1}{3}\pi r^2 h$

$\text{Volume}=\frac{1}{3}\pi \times 6^2\times4=\frac{1}{3}\pi \times 36\times4=\frac{144}{3}\pi=48\pi\:m^3$

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问题#1331:概念

圆柱体的高度是3英寸，圆柱体的圆端半径是3英寸。给出圆柱体的体积和表面积。

可能的答案:

V=84.82 in^3, A=113.10in^2

V=74.78 in^3, A=103.04in^2

V=84.78 in^3, A=103.04in^2

V=74.78 in^3, A=113.10in^2

V=84.78 in^3, A=123.04in^2

正确答案:

V=84.82 in^3, A=113.10in^2

解释：

圆柱体的体积是用圆柱体一端(底)的面积乘以它的高度或:

$Volume=\pi r^2h$

在哪里圆柱体的圆端半径是是圆柱体的高度。所以我们可以写:

$Volume=\pi r^2h=\pi \times 3^2\times 3=84.82in^3$

圆柱的表面积由下式给出:

$A=2\pi r^2+2\pi rh$

在哪里是圆柱体的表面积，圆柱体的半径是是圆柱体的高度。所以我们可以写:

$A=2\pi r^2+2\pi rh$

$A=2\pi (3)^2+2\pi \times 3\times 3$

$A=18\pi+18\pi$

$A=36\pi$

A=113.10

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问题1:如何求圆柱的体积

圆柱体的高度是圆柱体圆端半径长度的两倍。如果圆柱体的体积是 $16\pi$ 圆柱的高度是多少?

可能的答案:

$2\sqrt{2}$

正确答案:

解释：

圆柱的体积为:

$Volume=\pi r^2h$

在哪里圆柱体的圆端半径是是圆柱体的高度。

自 h=2r ，我们可以把它代入体积公式。所以我们可以写:

$Volume=\pi r^2h$

$16\pi=\pi r^2\cdot (2r)$

$16\pi =2\pi r^{3}$

$16=2r^{3}$

$8=r^{3}$

r=2

所以我们得到:

$h=2r=2\times 2=4$

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问题3:如何求圆柱的体积

圆柱体的端部(底部)面积为 $16\pi$ 平方英寸。如果圆柱体的高度是圆柱体底半径的一半，给出圆柱体的体积。

可能的答案:

$8\pi$

$32\pi$

$16\pi$

正确答案:

$32\pi$

解释：

圆柱体的端部(底部)面积为 $\pi r^2$ ，所以我们可以写:

$\pi r^2=16\pi\Rightarrow r^2=16\Rightarrow r=4\ inches$

圆柱体的高度是圆柱体底半径的一半，这意味着:

$h=\frac{r}{2}=\frac{4}{2}=2\ inches$

圆柱体的体积是由圆柱体一端(底)的面积乘以其高度得到的:

$Volume=Area\times h=16\pi\times 2=32\pi$

或

$Volume=\pi r^2h=\pi\times 4^2\times 2=32\pi$

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问题111:三维图形的体积

我们有两个右圆柱体。基底圆柱1的半径是 $\sqrt{3}$ 圆柱2的高度是圆柱1高度的4倍。圆柱1的体积是圆柱2体积的多少?

可能的答案:

$V_{1}=\frac{3}{2}V_{2}$

$V_{1}=\frac{3}{4}V_{2}$

$V_{1}=\frac{2}{3}V_{2}$

$V_{1}=V_{2}$

$V_{1}=\frac{4}{3}V_{2}$

正确答案:

$V_{1}=\frac{3}{4}V_{2}$

解释：

圆柱的体积为:

$V=\pi r^2h$

在哪里是圆柱体的体积，圆柱体的圆端半径是多少是圆柱体的高度。

所以我们可以写:

$V_{1}=\pi (r_{1})^2h_{1}$

和

$V_{2}=\pi (r_{2})^2h_{2}$

现在我们可以总结一下给定的信息:

$r_{1}=\sqrt{3}\cdot r_{2}$

$h_{2}=4\cdot h_{1}\Rightarrow h_{1}=\frac{h_{2}}{4}$

现在把它们代入 $V_{1}$ 公式:

$V_{1}=\pi (\sqrt{3}r_{2})^2\times \frac{h_{2}}{4}\Rightarrow V_{1}=\frac{3}{4}\pi (r_{2})^2\times h_{2}\Rightarrow V_{1}=\frac{3}{4}V_{2}$

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问题1:认识和使用锥体、圆柱体和球体的体积公式:数学

两个右圆柱有相同的高度。第一个圆柱体底的半径是第二个圆柱体底半径的两倍。比较两个圆柱体的体积。

可能的答案:

$V_{1}=3\cdot V_{2}$

$V_{1}=V_{2}$

$V_{1}=2\cdot V_{2}$

$V_{1}=\sqrt{2}\cdot V_{2}$

$V_{1}=4\cdot V_{2}$

正确答案:

$V_{1}=4\cdot V_{2}$

解释：

圆柱的体积为:

$V=\pi r^2h$

在哪里圆柱体的圆端半径是是圆柱体的高度。所以我们可以写:

$V_{1}=\pi (r_{1})^2h_{1}$

$V_{2}=\pi (r_{2})^2h_{2}$

我们知道

$h_{1}=h_{2}$

和

$r_{1}=2r_{2}$ 。

所以我们可以写:

$V_{1}=\pi (r_{1})^2h_{1}=\pi (2r_{2})^2\cdot h_{2}=4\pi (r_{2})^2h_{2}\Rightarrow V_{1}=4V_{2}$

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