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大学代数:有理不等式

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例子问题

问题1:合理的不平等

解决

$\frac{x+2}{x-1}\geq 0$

可能的答案:

$-\infty< x \leq -2$

$1<x<\infty$

$-\infty< x \leq -2$

$1\leq x\leq\infty$

$-\infty< x < -2$

$1\leq x<\infty$

$-\infty< x \leq -2$

$1\leq x<\infty$

正确答案:

$-\infty< x \leq -2$

$1<x<\infty$

解释：

为了解决这个问题，我们需要算出x的什么值使分子和分母都等于0。

这些值是 x=-2 , x=1 ．

然后测试几个大于或小于上述值的数字，以找出哪个范围的值使不等式成立。

$-\infty< x \leq -2$

$1<x<\infty$

问题2:合理的不平等

给出方程的解集

$\frac{4x}{x^{2}-8x + 7} \le 0$

可能的答案:

$(0,1) \cup (7, \infty)$

$[0,1) \cup (7, \infty)$

$(-\infty, 0] \cup [1,7]$

$(-\infty, 0] \cup (1,7)$

$[0,1]\cup [7, \infty)$

正确答案:

$(-\infty, 0] \cup (1,7)$

解释：

有理数不等式的边界点是分子和分母的零点。

首先，设分子为0，解出：

4x=0

x=0

现在设分母等于0，解出：

$x^{2}-8x + 7=0$

用反箔法分解三项式。求两个和为的整数它的乘积是7;这些都是,，所以方程可以写成

(x-1)(x-7)= 0

将每个因子设为零，然后求解：

x-1=0

x=1

x-7 = 0

x=7

因此，边界点为 $\left \{ 0,1,7\right \}$ ，将实数分成四个区间。从每个间隔中选择任意值作为测试点，设置来确定这个不等式是否成立。

下面列出了四个间隔，以及它们的任意测试点。

$(-\infty, 0)$ :设置 x= -1

$\frac{4x}{x^{2}-8x + 7} \le 0$

$\frac{4 (-1)}{(-1)^{2}-8(-1) + 7} \le 0$

$\frac{-4}{16} \le 0$

$-\frac{1}{4} \le 0$

真正的;包括 $(-\infty, 0)$ ．

(0,1) :设置 $x= \frac{1}{2}$

$\frac{4x}{x^{2}-8x + 7} \le 0$

$\frac{4\cdot \frac{1}{2}}{ \left (\frac{1}{2} \right )^{2}-8 \cdot \frac{1}{2} + 7} \le 0$

$\frac{2}{ \frac{1}{4} -4 + 7} \le 0$

$\frac{2}{ \frac{13}{4} } \le 0$

$\frac{8}{ 13} \le 0$

虚假的;排除 (0,1) ．

(1,7) :设置 x= 2 ：

$\frac{4x}{x^{2}-8x + 7} \le 0$

$\frac{4(2)}{2^{2}-8(2) + 7} \le 0$

$\frac{8}{4-16 + 7} \le 0$

$\frac{8}{-5} \le 0$

$-\frac{8}{5} \le 0$

真正的;包括 (1,7)

$(7, \infty)$ :设置 x= 8 ：

$\frac{4x}{x^{2}-8x + 7} \le 0$

$\frac{4 \cdot 8 }{8^{2}-8 \cdot 8 + 7} \le 0$

$\frac{32}{64-64 + 7} \le 0$

$\frac{32}{ 7} \le 0$

虚假的;排除 $(7, \infty)$ ．

因为不等式符号是“大于”或者等于符号，包括分子的零，0，但不包括其他两个边界，分母的零。这就是解集

$(-\infty, 0] \cup (1,7)$ ．

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马萨诸塞大学阿默斯特分校，数学理学学士。堪萨斯州立大学，数学硕士。

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圣本尼迪克特学院，经济学文学学士。南佛罗里达大学主校区，文学硕士，经济学。

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