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《大学代数:多项式不等式

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例子问题

例子问题1:多项式不等式

不平等是什么时候 x^2-2x > 63 真的吗?

可能的答案:

-7 < x < 9

这种不平等无法得到满足。

x > 8

$x < -7 \; ; \; x > 9$

正确答案:

$x < -7 \; ; \; x > 9$

解释：

我们可以写成 x^2-2x-63 > 0 ．为了解这个不等式，我们需要对多项式进行因式分解。经过一些有根据的猜测，我们发现这个多项式因式为 (x+7)(x-9) ．现在不等式可以写成

(x+7)(x-9) > 0 ．

这是真的吗?当两个线性因子都为正时，当它们都为负时。

$x-9 > 0 \rightarrow x > 9$

$x-9 < 0 \rightarrow x < 9$

$x+7 > 0 \rightarrow x > -7$

$x+7 < 0 \rightarrow x < -7$

如果我们把它们匹配起来，那么不等式就满足了 x < -7 当 x > 9 ．

报告错误

例子问题1:多项式不等式

给出不等式的解集

$(x- 4)^{2} (x+ 4 )>0$

可能的答案:

$\left \{ x | -4 < x < 4 \ \right \}$

$\left \{ x | -4 < x < 4 \textrm{ or }x> 4 \ \right \}$

$\left \{ x | x> -4 \ \right \}$

所有实数的集合

$\left \{ x | x< -4\textrm{ or } -4 < x < 4 \ \right \}$

正确答案:

$\left \{ x | -4 < x < 4 \textrm{ or }x> 4 \ \right \}$

解释：

多项式不等式解集中区间的边界

$(x- 4)^{2} (x+ 4 )>0$

是方程的0吗

$(x- 4)^{2} (x+ 4 )= 0$

也可以通过零积性质

x-4 = 0 ，

在这种情况下

x = 4 ，

或

x+ 4 = 0 ，

在这种情况下

x = -4

4是区间的边界，也就是 $(-\infty , -4)$ ， (-4, 4) , $(4, \infty)$ ．要确定哪些区间属于解集，请从每个区间中选择一个值，代入在原来的不等式中，判断它是否为真。

$(-\infty , -4)$ :选择 x = -5

$(x- 4)^{2} (x+ 4 )> 0$

$(-5- 4)^{2} (-5+ 4 )> 0$

$(-9)^{2} (-1 )>0$

81 (-1 )> 0

-81 > 0

False -不包含 $(-\infty , -4)$

(-4, 4) :选择 x = 0

$(x- 4)^{2} (x+ 4 )> 0$

$(0- 4)^{2} (0+ 4 )>0$

$( - 4)^{2} (4) > 0$

16(4)>0

64> 0

True -包括 (-4, 4)

$(4, \infty)$ :选择 x = 5

$(x- 4)^{2} (x+ 4 )> 0$

$(5- 4)^{2} (5+ 4 )>0$

$1^{2}(9)>0$

1(9)>0

9 > 0

True -包括 $(4, \infty)$

此外，边界值本身不应该包括在内，因为不相等符号不允许平等。

因此解集是 $\left \{ x | -4 < x < 4 \textrm{ or }x> 4 \ \right \}$

报告错误

例子问题1:多项式不等式

给出不等式的解集

$(x- 5) (x+ 5 )^{2} \ge 0$

可能的答案:

$\left \{ x | x \le - 5 \right \}$

$\left \{ x | -5 \le x \le 5 \right \}$

$\left \{ x | x \ge 5 \right \}$

$\left \{ x | x = -5 \textrm{ or } x \ge 5 \right \}$

$\left \{ x | x \le -5 \textrm{ or } -5 \le x \le 5 \right \}$

正确答案:

$\left \{ x | x = -5 \textrm{ or } x \ge 5 \right \}$

解释：

多项式不等式解集中区间的边界

$(x- 5) (x+ 5 )^{2} \ge 0$

是方程的0吗

$(x- 5) (x+ 5 )^{2} = 0$

也可以通过零积性质

x-5 = 0 ，

在这种情况下

x = 5 ，

或

x+ 5 = 0 ，

在这种情况下

x = -5

5是区间的边界，也就是 $(-\infty , -5)$ ， (-5,5) , $(5, \infty)$ ．要确定哪些区间属于解集，请从每个区间中选择一个值，代入在原来的不等式中，判断它是否为真。

$(-\infty , -5)$ :选择 x = -6

$(x- 5) (x+ 5 )^{2} \ge 0$

$(-6- 5) (-6+ 5 )^{2} \ge 0$

$(-11) (-1 )^{2} \ge 0$

$(-11) (1 ) \ge 0$

$-11 \ge 0$

False -不包含 $(-\infty , -5)$

(-5,5) :选择 x = 0

$(x- 5) (x+ 5 )^{2} \ge 0$

$(0- 5) (0+ 5 )^{2} \ge 0$

$( - 5) ( 5 )^{2} \ge 0$

$( - 5) (2 5 ) \ge 0$

$-125 \ge 0$

False -不包含 (-5,5)

$(5, \infty)$ :选择 x = 6

$(x- 5) (x+ 5 )^{2} \ge 0$

$(6- 5) (6+ 5 )^{2} \ge 0$

$(1) (11 )^{2} \ge 0$

$(1) (121 ) \ge 0$

$121 \ge 0$

True -包括 $(5, \infty)$

此外，边界值本身也应该包括在内，因为不等式符号 $\ge$ 允许平等。

因此解集是 $\left \{ x | x = -5 \textrm{ or } x \ge 5 \right \}$ ．

报告错误

例子问题1:多项式不等式

给出不等式的解集

$x^{3} + 4x >7x^{2} + 28$

可能的答案:

$\left \{ x | -2 < x< 2 \textrm{ or } x > 7\right \}$

$\left \{ x | x< -2 \textrm{ or } 2 < x < 7\right \}$

$\left \{ x | x > 7\right \}$

$\left \{ x | x < 7\right \}$

$\left \{ x | x< -2 \textrm{ or } x > 7\right \}$

正确答案:

$\left \{ x | x > 7\right \}$

解释：

来解多项式不等式

$x^{3} + 4x >7x^{2} + 28$

有必要把所有的条款都写在同一侧，使它变成标准形式。减去 $7x^{2} + 28$ 从双方:

$x^{3} + 4x - (7x^{2} + 28 ) >7x^{2} + 28 - (7x^{2} + 28 )$

$x^{3}- 7x^{2} + 4x -28 >0$

的价值作为解集边界的是多项式的零点，所以求在等式中:

$x^{3}- 7x^{2} + 4x -28 =0$

通过分组并取出gcf来因式分解多项式:

$(x^{3}- 7x^{2} )+( 4x -28) =0$

$x^{2}(x - 7 ) + 4 (x - 7 )=0$

$(x^{2} + 4 )(x - 7 )=0$

多项式不能进一步因式分解，如 $x^{2}+ 4$ 的平方和为素数。根据零因子性质，其中一个二项式等于0，所以

x-7 = 0

在这种情况下

x = 7

或

$x^{2}+ 4 = 0$

$x^{2}+ 4 - 4 = 0 - 4$

$x^{2} = -4$ ，

它没有实解。

因此，区间的唯一边界是7，它将实数分为两个区间， $(-\infty , 7)$ 而且 $(7, \infty)$ ．要确定哪些区间属于解集，请从每个区间中选择一个值，代入在原来的不等式中，判断它是否为真。

$(-\infty , 7)$ :选择 x = 0

$x^{3} + 4x >7x^{2} + 28$

$0 ^{3} + 4 (0) >7 \cdot 0^{2} + 28$

0+0 >0+ 28

0 > 28

False -不包含 $(-\infty , 7)$

$(7, \infty)$ :选择 x= 8

$x^{3} + 4x >7x^{2} + 28$

$8^{3} + 4 \cdot 8 >7 \cdot 8^{2} + 28$

$512+ 32 >7 \cdot 64 + 28$

512+ 32 >448 + 28

544 >476

True -包括 $(7, \infty)$

同样，由于不等式符号不允许相等，7不包含在解中。解集是 $\left \{ x | x > 7\right \}$ ．

报告错误

例子问题1:多项式不等式

给出不等式的解集

$x^{3} + 7x^{2} < 4x+ 28$

可能的答案:

$\left \{ x| x > -7 \right \}$

$\left \{ x| -7 < x < -2 \textrm{ or } x > 2 \right \}$

$\left \{ x| x < -7 \textrm{ or } -2 < x < 2 \right \}$

$\left \{ x| x < -7 \right \}$

$\left \{ x| -2 < x < 2 \right \}$

正确答案:

$\left \{ x| x < -7 \textrm{ or } -2 < x < 2 \right \}$

解释：

来解多项式不等式

$x^{3} + 7x^{2} < 4x+ 28$

有必要把所有的条款都写在同一侧，使它变成标准形式。减去 4x+ 28 从双方:

$x^{3} + 7x^{2} - (4x+ 28) < 4x+ 28 - (4x+ 28)$

$x^{3} + 7x^{2} - 4x-28 < 0$

的价值作为解集边界的是多项式的零点，所以求在等式中:

$x^{3} + 7x^{2} - 4x-28 = 0$

通过分组并取出gcf来因式分解多项式:

$(x^{3} + 7x^{2}) - (4x+28) = 0$

$x^{2} (x + 7) - 4(x + 7) = 0$

$(x^{2} - 4)(x + 7) = 0$

$x^{2} - 4$ 是平方的差值，可以根据一个模式进行因式分解:

$(x^{2} - 2^{2})(x + 7) = 0$

(x+2)(x-2)(x+7) = 0

根据零因子性质，其中一个二项式等于0，所以

x-2 = 0

在这种情况下

x = 2 ，

x+2 = 0

在这种情况下

x = -2 ，

或

x+7 = 0

在这种情况下

x = -7 ．

，， 2是区间的边界，即 $(-\infty, -7)$ ， (-7, -2) ， (-2,2) , $(2, \infty)$ ．要确定哪些区间属于解集，请从每个区间中选择一个值，代入在原来的不等式中，判断它是否为真。

$(-\infty, -7)$ :选择 x = -8

$x^{3} + 7x^{2} < 4x+ 28$

$(-8)^{3} + 7 \cdot (-8)^{2} < 4(-8)+ 28$

$-512 + 7 \cdot 64 < -32+ 28$

-512 + 448 < -32+ 28

-64 < -4

True -包括 $(-\infty, -7)$

(-7, -2) :选择 x = -3

$x^{3} + 7x^{2} < 4x+ 28$

$(-3)^{3} + 7 \cdot (-3)^{2} < 4(-3)+ 28$

$-27 + 7 \cdot 9 < -12 + 28$

-27 + 63 < -12 + 28

36 < 16

False -不包含 (-7, -2)

(-2,2) :选择 x= 0

$x^{3} + 7x^{2} < 4x+ 28$

$0^{3} + 7 \cdot 0^{2} < 4 \cdot 0 + 28$

0+0 < 0 + 28

0 < 28

True -包括 (-2,2)

$(2, \infty)$ :选择 x = 3

$x^{3} + 7x^{2} < 4x+ 28$

$3^{3} + 7 \cdot 3^{2} < 4 \cdot 3+ 28$

$27 + 7 \cdot 9 < 12+ 28$

27 + 63 < 12+ 28

90 < 40

False -不包含 $(2, \infty)$

此外，边界值本身不应该包括在内，因为不相等符号不允许平等。

解集是 $\left \{ x| x < -7 \textrm{ or } -2 < x < 2 \right \}$

报告错误

例子问题1:多项式不等式

下面哪个是正确的函数图?

$y\geq-3x^{2}$

可能的答案:

其他的图都没有。

Wrong3

Wrong2

Wrong1

解决方案

正确答案:

解决方案

解释：

第一个图 $y=-3x^{2}$

因为不等式是 $\geq$ ，这意味着该线包含在解决方案中，如实线所示。

遮住抛物线外的面积，因为它是一个负抛物线，但大于或等于。

报告错误

示例问题7:多项式不等式

解决

x^2-10>3x

可能的答案:

$-\infty<x<\infty$

$5<x<\infty$

$0<x<\infty$

$5<x<\infty$

$-\infty<x<-2$

正确答案:

$5<x<\infty$

$-\infty<x<-2$

解释：

首先做减法在每一边

x^2-10>3x

x^2-3x-10>0

左边可以因式分解

x^2-3x-10>0

(x-5)(x+2)>0

由此，我们可以看出根在 x=5 , x=-2 ．

要让这个不等式成立，我们有两个答案。

$5<x<\infty$

$-\infty<x<-2$

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