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大学代数:二次方程的应用

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例子问题

例子问题1:二次方程的应用

二次方程在物理学中经常出现。位置的基本运动学方程粒子的时间函数,初始速度 v_o (一个常数)和恒定的加速度可以写成，

$x(t)=x_o +v_ot+\frac{1}{2}at^2$

这是一个二次函数．因此，函数给出的位置是时间的二次函数．如果我们处理的是一个在地球引力场作用下的自由落体物体，我们可以把这个函数写成，

$h(t)=h_o +v_ot +\frac{1}{2}gt^2$

表达“高度”物体在给定时间的运动轨迹以恒定的加速度下落 g =- 9.8 m/s^2 ．在这里 h_o 初始高度(一个常数)。加速度的单位是米每平方秒 m/s^2 ．负加速度是一种惯例，表示加速度的方向是向下的。

求出一个球从100米的高度下落到地面所需的时间，用下面所写的高度的二次函数，

$h(t)=h_o +v_ot +\frac{1}{2}gt^2$

(提示，什么是高度的值 h(t) 球何时触地?)

可能的答案:

$t \approx 20.4 s$

$t \approx 8.3 s$

$t \approx 12.1 s$

$t \approx 9.8 s$

$t \approx 4.5 s$

正确答案:

$t \approx 4.5 s$

解释：

已知函数，

$h(t)=h_o +v_ot +\frac{1}{2}gt^2$

我们知道地球上的重力加速度是

g =- 9.8 m/s^2 (meters-per-square秒)

因为球是静止的，所以初始速度 v_o 是零,

v_o =0 (米/秒)

已知初始高度，

h_o = 100 m (米)

当球到达地面时，高度为“零”，因此的值 h(t) 此时为0，所以我们有:

$h(t)=100 + (0)t-\frac{1}{2}(9.8)t^2=0$ (方程式中省略了单位)。

100-4.9t^2 =0

4.9t^2=100

$t =\sqrt{ \frac{100}{4.9}}\approx 4.5 s$

(注意，尽管对方程两边取平方根会得到正解和负解，但我们忽略了负解，因为“负时间”在这个问题中没有意义)。

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例子问题1:二次方程的应用

街角的人行道从图书馆延伸到书店，在拐角处呈L形。L形路径的一个长度是另一个长度的两倍。两座建筑之间正在建造的对角线将有102英尺长。这条对角线比拐弯处传统的L形小路短了多少英尺?

可能的答案:

对角线会更长。

$137\hspace{1mm} feet$

$22\hspace{1mm}feet$

$12\hspace{1mm} feet$

$35 \hspace{1mm}feet$

正确答案:

$35 \hspace{1mm}feet$

解释：

用勾股定理求解。

a^2+b^2=c^2

x^2+(2x)^2=(102)^2

$5x^2=10,404\rightarrow x^2=2080.8 \rightarrow x=\pm \sqrt{2080.8}$

$x=\sqrt{2080.8}$

因为绕过拐角的路径是3x 3乘以 $\sqrt{2080.8}$ 大约是137年。节省的距离是137-102=35英尺。注意，我们只需要正的平方根，因为我们不可能有负的距离。

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