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微积分AB:使用中值定理、极值定理和临界点

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例子问题

例子问题1:运用中值定理、极值定理和临界点

求出抛物线所包围区域的面积 $y = 12 x ^ 2$ 而且 $y = - x$ ．

可能的答案:

$\frac{301}{6}$

$\frac{434}{6}$

$\frac{343}{6}$

$\frac{334}{6}$

$\frac{401}{6}$

正确答案:

$\frac{343}{6}$

解释：

这两条曲线在中间相交 x=-3 而且 x=4 ，可通过求解二次方程求得 $12 x ^ 2 = - x$ ．

为了求出曲线间面积， y=f(x) 而且 y=g(x) ，我们使用公式 $= \ int ^ b_a (f (x) - g (x)) dx$

对于我们的问题:

$一个= \ int ^ 4 _ {3} (12 x ^ 2 - (- x)) dx$

$= 12 x - \压裂{x ^ 3}{3} + \压裂{x ^ 2} {2}$ 评估从来的收益率 $\frac{343}{6}$ ．

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例子问题2:运用中值定理、极值定理和临界点

求曲线下的面积 $f (x) = \压裂{1}{\ sqrt {x + 2}}$ 之间的 $2\leq x\leq$ ．

可能的答案:

$4$

$1$

$2$

$5$

$3.$

正确答案:

$2$

解释：

为了求出曲线下的面积，我们需要积分。在这种情况下，它是一个定积分。

$\ int_{2} ^{7} \压裂{1}{\ sqrt {x + 2}} dx = 2 \√{x + 2} \大| _2 ^ 7 = 2$

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例子问题3:运用中值定理、极值定理和临界点

求出边界的区域 $Y =2, Y =x, Y =\frac{1}{9}x^2, x=3$

可能的答案:

1.5

3.5

2.5

正确答案:

解释：

最简单的方法就是画出图表。阴影部分是我们要计算的实际面积。我们可以先求出以 x=3 而且 y=2 在第一象限减去多余的面积。这个矩形框的面积是6。曲线下的面积 $\frac{1}{9}x^{2}$ 是 $\int_{0}^{3}\frac{1}{9}x^2=1$ ．

曲线上方三角形的面积 y=x 是2。因此，有界的面积为 6-1-2=3 ．

屏幕截图2020 09 04下午1:20.38

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问题4:运用中值定理、极值定理和临界点

$\int _0^\pi sin(x) dx$

可能的答案:

正确答案:

解释：

$\int sin(x) dx = -cos(x) + C$ $\int _0^\pi sin(x) dx = -cos(\pi) - -cos(0)= 1-(-1) = 2$

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例5:运用中值定理、极值定理和临界点

考虑以函数为界的区域

$f(x) = -x^{2} + 2x$ 而且

$g(x) = -sin(\frac{\pi x}{2})$

之间的 x = 0 而且 x = 2 ．这个区域的面积是多少?

可能的答案:

$\frac{3\pi }{4}$

$\frac{4}{3} +\frac{4}{\pi }$

$\frac{\pi }{4}$

$\frac{3+\pi }{4}$

$\frac{4}{3}$

正确答案:

$\frac{4}{3} +\frac{4}{\pi }$

解释：

该区域的面积由以下积分给出:

$Area = \int_{0}^{2} f(x) - g(x) = \int_{0}^{2} -x^{2} + 2x - (-sin(\frac{\pi x}{2}))$ 或

$Area = \int_{0}^{2} -x^{2} + 2x + sin(\frac{\pi x}{2})$

求不定积分

$-\frac{x^{3}}{3} + x^{2} -\frac{2}{\pi }cos(\frac{\pi x}{2})$ ，从 x = 0 来 x = 2 ．

$F(2) = \frac{-8}{3} + 4 + \frac{2 }{\pi }$ ,

$F(0) = -\frac{2}{\pi }$ ．

因此，面积为:

$F(2) - F(0) =- \frac{8}{3} + 4 + \frac{2}{\pi } - (-\frac{2}{\pi }) =\frac{4}{3} +\frac{4}{\pi }$

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例子问题6:运用中值定理、极值定理和临界点

让 $f(x) = x^{4}+ 6x - 17$ ．

判断对错:根据罗尔定理，在区间上是0 (0, 2) ．

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

假

解释：

根据罗尔定理，如果是连续的 [a,b] 在上可微 (a,b) , f(a)= f(b) ，那么一定有 $c \in \left ( a,b \right )$ 这样 f'(c) = 0 ．在这个定理的表述中，没有任何内容涉及到函数本身零点的位置。因此，这个说法是错误的。

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示例问题7:运用中值定理、极值定理和临界点

$f(x) = x^{3} - 7x + 16$

这是中值定理的结果，一定有价值 $c \in (-2, 2 )$ 这样:

可能的答案:

f'(c) =0

f'(c) = 3

$f'(c) = -\frac{1}{3}$

$f'(c) = \frac{1}{3}$

f'(c) = -3

正确答案:

f'(c) = -3

解释：

由中值定理(MVT)，如果一个函数在上是连续可微的吗 [a,b] ，则至少存在一个值 $c \in (a,b)$ 这样 $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．，一个多项式，处处连续可微;设置 a= -2, b= 2 ，由MVT可知存在 $c \in (-2, 2 )$ 这样

$f'(c) = \frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}$

评估 f(-2) 而且 f(2) ：

$f(x) = x^{3} - 7x + 16$

$f(2) = 2^{3} - 7 (2) + 16 = 8 -14+16 = 10$

$f(-2) = (-2) ^{3} - 7 (-2) + 16 = -8 +14+16 = 22$

的表达式 f'(c) 等于

$f'(c) = \frac{10-22}{2-(-2)} = \frac{-12}{4} = -3$ ，

正确的选择。

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例8:运用中值定理、极值定理和临界点

在上是连续可微的吗 $\mathbb{R}$ ．

的价值5个不同的值分别如下:

f(0) = 3

f(1) = 4

f(2) = 4

f(3) = 2

f(4) = -1

下列哪一项是罗尔定理的结果?

可能的答案:

一定有 $c \in (1,2)$ 这样 f'(x) = 0 ．

f(x) 区间必须是0 (3,4) ．

不可能有 $c \in (2,3)$ 这样 f'(x) = 0 ．

f(x) 在区间上不能有0 (0,3 ) ．

其他选项中的表述都不符合罗尔定理。

正确答案:

一定有 $c \in (1,2)$ 这样 f'(x) = 0 ．

解释：

根据罗尔定理，如果是连续的 [a,b] 在上可微 (a,b) , f(a)= f(b) ，那么一定有 $c \in \left ( a,b \right )$ 这样 f'(c) = 0 ．

是连续的。同样，如果我们设 a=1, b=2 ，我们注意到 f(1) = f(2)=0 ．这为罗尔定理的应用创造了条件。因此，必须有 $c \in (1,2)$ 这样 f'(c) = 0 ．

顺便提一下，根据已知的信息 f(x) 区间必须是0 (3,4) ，但这是由于中间值定理，而不是罗尔定理。

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问题9:运用中值定理、极值定理和临界点

求函数的均值 f(x)=cos(x) 在时间间隔内 $(0,\frac{\pi}{2})$ ．

可能的答案:

$c=cos\frac{2}{\pi}$

$c=sin^{-1}\frac{\pi}{2}$

$c=cos^{-1}\frac{2}{\pi}$

$c=sin^{-1}\frac{2}{\pi}$

$c=sin\frac{2}{\pi}$

正确答案:

$c=sin^{-1}\frac{2}{\pi}$

解释：

求函数在一定区间内的均值 (a,b) ，我们可以使用以下公式: (f(b)-f(a))=(b-a)f'(c) ．

插入

$(f(\frac{\pi}{2})-f(0))=(\frac{\pi}{2})(-Sin(c))$

简化

$-1=\frac{\pi}{2}(-Sin(c))$

$\frac{2}{\pi}=Sin(c)$

我们必须使用反正弦函数来求出c的值:

$c=sin^{-1}\frac{2}{\pi}$

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