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微积分AB:函数的微分

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例子问题

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201例问题:微积分Ab

哪个表达式能正确识别的倒数 f (x) = 2x-4 ?

可能的答案:

$f^{-1}(x) =\frac{1}{2}x+4$

$f^{-1}(x) =\frac{1}{2}x+2$

$f^{-1}(x) =\frac{1}{2}x-2$

$f^{-1}(x) =x+2$

正确答案:

$f^{-1}(x) =\frac{1}{2}x+2$

解释：

函数的逆可以通过替换变量来求在函数中找到的变量，然后设置函数等于．下隔离，反函数就写出来了。然后,符号 $f^{-1}$ 用来描述新写的函数为原函数的逆函数。答案选择" $f^{-1}(x) =\frac{1}{2}x+2$ ”是正确的。

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例子问题#202:微积分Ab

下列哪一项正确地确定了逆函数的导数?

可能的答案:

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$

$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

$(f^{-1})'(x) = \frac{2}{f'(f^{-1}(x))}$

正确答案:

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

解释：

这个问题要求你认识到逆函数微分问题的正确表示法。首先，关键是要认识到方程需要始终具有相同的变量，从而消除答案选择 $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x)) }$ 而且 $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ ．其次，在正确的方程中不应该有常数;因此, $(f^{-1})'(x) = \frac{2}{f'(f^{-1}(x))}$ 是不正确的。正确的选择是 $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ ．

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问题203:微积分Ab

找到 $(f^{-1})'(1)$ 鉴于 f (x) = x^5+2x+1 ．

可能的答案:

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}$

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

让 f (x) = x^5+2x+1

重要的是要认识到一个函数和它的反函数之间的关系来解决。

如果 f (0) = (0)^5+2(0)+1=1 ，求逆函数将产生 $f^{-1}(1)=0$ ．

求逆函数的导数: $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

$(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(f^{-1}(1))}=\frac{1}{f' (0)}=\frac{1}{5(0)^4+ 2}=\frac{1}{0 + 2}=\frac{1}{2}$

因此, $(f^{-1})'(1)=\frac{1}{2}$

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第204题:微积分Ab

让 f (x) =x^6 ; $(f^{-1})'(x)$ ．

可能的答案:

$\frac{1}{6x^5_6}$

$\frac{1}{6x}$

$\frac{6}{x}$

$\frac{1}{4x^5_6}$

正确答案:

$\frac{1}{6x^5_6}$

解释：

求逆函数的导数 f (x) ，它是有用的，首先解决 $f^{-1}$ ．

这很有帮助，因为 $f^{-1}$ 在导数方程中是必需的， $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ ．

$f (x) =x^6 \rightarrow f^{-1} (x) =\sqrt[6]{x}$

接下来，可以计算逆函数的导数方程。

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f'(\sqrt[6]{x})}$

用后 $\sqrt[6]{x}$ 为 $f^{-1} (x)$ 的导数 f (x), 或 f'(x) =6x^5 应用:

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f'(\sqrt[6]{x})}=\frac{1}{6(\sqrt[6]{x})^5}=\frac{1}{6x^5_6}$

因此，正确的答案是 $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{6x^5_6}$

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第205题:微积分Ab

让 f (x) =e^x ．找到 $(f^{-1})'(x)$ ．

可能的答案:

e^x

ln(x)

$\frac{1}{x}$

$xe^{x-1}$

正确答案:

$\frac{1}{x}$

解释：

求逆函数的导数 f (x) ，它是有用的，首先解决 $f^{-1}$ ．

这很有帮助，因为 $f^{-1}$ 在导数方程中是必需的， $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ ．

$f (x) =e^x \rightarrow f^{-1} (x) =ln(x)$

接下来，可以计算逆函数的导数方程。

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f'(ln(x))}$

用后 $ln(x) for f^{-1} (x)$ 的导数 f (x) ,或 f'(x) =e^x 应用:

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f'(ln(x))}=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}$

因此，正确的答案是 $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{x}$

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问题206:微积分Ab

让 $f (x) =\sqrt[3]{x}$ ．找到 $(f^{-1})'(x)$ ．

可能的答案:

3x^2

$\frac{1}{x^2}$

2x^3

$\frac{3}{x^2}$

正确答案:

3x^2

解释：

求逆函数的导数 f (x) ，它是有用的，首先解决 $f^{-1}$ ．

这很有帮助，因为 $f^{-1}$ 在导数方程中是必需的， $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ ．

$f (x)=\sqrt[3]{x} \rightarrow f^{-1} (x)=x^3$

接下来，可以计算逆函数的导数方程。

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f'(x^3)}$

用后 x^3 为 $f^{-1} (x)$ 的导数 f (x) ,或 $f'(x)=(\frac{1}{3})(x^{-\frac{2}{3}})$ 应用:

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{(\frac{1}{3})(x^3)^{-\frac{2}{3}}}=\frac{3}{x^{-2}}=3x^2$

因此，正确的答案是 $(f^{-1})'(x)=3x^2$ ．

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第207题:微积分Ab

让 f (x) =2-2x ．找到 $(f^{-1})'(x)$ ．

可能的答案:

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

正确答案:

$-\frac{1}{2}$

解释：

求逆函数的导数 f (x) ，它是有用的，首先解决 $f^{-1}$ ．

这很有帮助，因为 $f^{-1}$ 在导数方程中是必需的， $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ ．

$f (x)=2-2x \rightarrow f^{-1} (x)=1-\frac{1}{2}x$

接下来，可以计算逆函数的导数方程。

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f'(1-\frac{1}{2}x)}$

用后 $1-\frac{1}{2}x$ 为 $f^{-1} (x)$ 的导数 f (x) ,或 f'(x)= -2 应用:

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}= -\frac{1}{2}$

因此，正确的答案是 $(f^{-1})'(x)=-\frac{1}{2}$ ．

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问题1:区分功能

让 f (x) =6x^2 ．找到 $(f^{-1})'(x)$ ．

可能的答案:

$\frac{1}{12x^2}$

$\frac{1}{2x}$

$\frac{1}{12(\sqrt{}^x_6)}$

正确答案:

$\frac{1}{12(\sqrt{}^x_6)}$

解释：

求逆函数的导数 f (x) ，它是有用的，首先解决 $f^{-1}$ ．

这很有帮助，因为 $f^{-1}$ 在导数方程中是必需的， $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ ．

$f (x) =6x^2 \rightarrow f^{-1} (x) =\sqrt[2]{^x_6}$

接下来，可以计算逆函数的导数方程。

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f'(\sqrt[2]{^x_6})}$

用后 $\sqrt[2]{^x_6}$ 为 $f^{-1} (x)$ 的导数 f (x) ,或 f'(x) =12x 应用:

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f'(\sqrt[2]{^x_6})}=\frac{1}{12(\sqrt[2]{^x_6})}$

因此，正确的答案是 $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{12(\sqrt{^x_6})}$

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问题2:区分功能

假设下表中的点表示连续函数 f(x) ．可微的函数 g(x) 是函数的逆函数吗 f(x) ．找到 g'(2) ．

你校的表

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{6}$

正确答案:

$\frac{1}{6}$

解释：

的导数方程如下 g(x) ：

$g'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

$g'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))}$

所以 $f^{-1}(2)$ 必须先找到。

根据表格中的数据， $f^{-1}(2)=2$ 自 f(2)=2 ．

接下来，从表格中可以得到如下信息:

f'(2)=6

现在，可以做适当的替换来求解 g'(2) ．

$g'(2)=\frac{1}{f'(f^{-1}(2))}=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{6}$

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问题3:区分功能

找到 $(f^{-1})'(3)$ 鉴于 f (x) =ln(3x) ．

可能的答案:

e^9

$\frac{1}{3}e^3$

$\frac{1}{3}e^9$

e^3

正确答案:

$\frac{1}{3}e^3$

解释：

求逆函数的导数 f (x) ，它是有用的，首先解决 $f^{-1}$ ．

这很有帮助，因为 $f^{-1}$ 在导数方程中是必需的， $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ ．

$f (x) =ln(3x) \rightarrow f^{-1} (x) =\frac{1}{3}e^x$

接下来，可以计算逆函数的导数方程。

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f'(\frac{1}{3}e^x)}$

用后 $\frac{1}{3}e^x$ 为 $f^{-1} (x)$ 的导数 f (x) ,或 $f'(x) =\frac{1}{x}$ ，是通过求导得到的 ln(3x) 用链式法则。

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f'(\frac{1}{3}e^x)}=\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{3}e^x}}=\frac{\frac{1}{3}e^x}{1}=\frac{1}{3}e^x$

在找到一般术语之后 $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{3}e^x$ ,评估 x=3 ．

$(f^{-1})'(3)=\frac{1}{3}e^3$

因此，正确的答案是 $(f^{-1})'(3)=\frac{1}{3}e^3$ ．

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