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微积分AB:导数的相关应用

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例子问题

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例子问题1:计算位置，速度和加速度

汽车的位置由以下函数给出:

$f(x)=\cos(x)e^{11x}+\csc(x)$

车的速度函数是什么?

可能的答案:

$-\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}$

$-\sin(x)e^{11x}+\cos(x)e^{11x}-\csc(x)\cot(x)$

$-\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}+\csc(x)\cot(x)$

$\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}-\csc(x)\cot(x)$

$-\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}-\csc(x)\cot(x)$

正确答案:

$-\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}-\csc(x)\cot(x)$

解释：

车的速度函数等于车的位置函数的一阶导数，等于

$-\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}-\csc(x)\cot(x)$

用以下规则求导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^u=e^u \frac{\mathrm{du} }{\mathrm{d} x}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos(x)=-\sin(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$

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例子问题2:计算位置，速度和加速度

让

$f(x)=e^{\pi x}$

求函数的一阶导数和二阶导数。

可能的答案:

$f'(x)=\pi e^{\pi x }$

$f''(x)=\pi^2 e^{\pi x}$

$f'(x)=e^{\pi }$

$f''(x)= e^{x}$

$f'(x)=\pi$

$f''(x)=\0$

$f'(x)=e^{\pi x }$

$f''(x)=e^{\pi x}$

正确答案:

$f'(x)=\pi e^{\pi x }$

$f''(x)=\pi^2 e^{\pi x}$

解释：

为了求出一阶导数和二阶导数，我们必须用链式法则。

链式法则指出如果

y=f(u)

和

u=g(x)

导数是

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dx}$

为了求出函数的一阶导数

$f(x)=e^{\pi x}$

我们设置

y=e^u

和

$u=\pi x$

因为指数函数的导数就是指数函数本身，我们得到

$\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}[e^u]$

$\frac{dy}{du}=e^u$

和区分我们用幂法则表示

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^n=nx^{n-1}$

像这样

$\frac{du}{dx}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[\pi x]$

$\frac{du}{dx}=\pi x^{1-1}=\pi$

所以

$\frac{dy}{dx}=e^{\pi x}*\pi=\pi e^{\pi x}$

$f'(x)=\pi e^{\pi x}$

求出我们设的二阶导数

$y=\pi e^{u}$

和

$u=\pi x$

因为指数函数的导数就是指数函数本身，我们得到

$\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}[\pi e^u]$

$\frac{dy}{du}=\pi e^u$

和区分我们用幂法则表示

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^n=nx^{n-1}$

像这样

$\frac{du}{dx}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[\pi x]$

$\frac{du}{dx}=\pi x^{1-1}=\pi$

所以二阶导数就变成了

$\frac{dy}{dx}=\pi e^{\pi x}*\pi=\pi^2 e^{\pi x}$

$f''(x)=\pi^2e^{\pi x}$

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例子问题3:计算位置，速度和加速度

如果质点的位置由以下函数给出，求质点的速度函数:

$s(t)=e^t\tan(t)+t^5+3$

可能的答案:

$e^t\tan(t)+e^t\sec^2(t)+5t^4$

$e^t\tan(t)-e^t\sec^2(t)+5t^4$

$te^t\tan(t)+e^t\sec^2(t)+5t^4$

$e^t\tan(t)+e^t\sec^2(t)+t^5$

正确答案:

$e^t\tan(t)+e^t\sec^2(t)+5t^4$

解释：

速度函数由位置函数的一阶导数给出:

$v(t)=s'(t)=e^t\tan(t)+e^t\sec^2(t)+5t^4$

并被发现使用以下规则:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \tan(t)=\sec^2(t)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^x=e^x$

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问题4:计算位置，速度和加速度

求函数的一阶导数和二阶导数

f(x)=sec(x)

可能的答案:

f'(x)=csc(x)

f''(x)=-sec(x)

f'(x)=sec(x)tan(x)

f''(x)=sec^3(x)+sec(x)tan^2(x)

f'(x)=cot(x)

f''(x)=csc^2(x)

f'(x)=sec^2(x)

f''(x)=sec^3(x)

正确答案:

f'(x)=sec(x)tan(x)

f''(x)=sec^3(x)+sec(x)tan^2(x)

解释：

我们必须求出一阶导数和二阶导数。

我们利用这些性质

的导数是
的导数是

像这样

$f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[sec(x)]=sec(x)tan(x)$

为了求二阶导数，我们再次求导并使用乘积法则

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[uv]=uv'+vu'$

设置

u=sec(x) 和 v=tan(x)

我们发现

$f''(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[sec(x)tan(x)]=sec(x)*sec^2(x)+tan(x)*sec(x)tan(x)$

=sec^3(x)+sec(x)tan^2(x)

像这样

f'(x)=sec(x)tan(x)

f''(x)=sec^3(x)+sec(x)tan^2(x)

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例5:计算位置，速度和加速度

给定速度函数

$v(x)=\int_{0}^{x^2+2x+1} z^d\sin(z^5) dz$

在哪里实数是这样的吗 $d\in [0,1]$ ，求加速度函数

a(x) 。

可能的答案:

$a(x)=(x^2+2x+1)^{2d}\sin (x^2+2x+1)^{10}$

$a(x)=(2x+2)(x+1)^{2d}\sin (x+1)^{10}$

$a(x)=(x^2+2x+1)^{d}\sin (x^2+2x+1)^{10}$

$a(x)=(x+1)^{d}\sin (x+1)^{10}$

$a(x)=(2x+2)^{d}(x+1)^{2d}\sin (x+1)^{10}$

正确答案:

$a(x)=(2x+2)(x+1)^{2d}\sin (x+1)^{10}$

解释：

我们可以求出加速度函数 a(x) 对速度函数求导:

a(x)=v'(x)

我们可以看一下这个函数

$v(x)=\int_{0}^{x^2+2x+1} z^d\sin(z^5) dz$

作为下列函数的组合

$g(x)=\int_{0}^{x} z^d\sin(z^5) dz$

h(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2

如此......以至于...... v(x)=g(h(x)) 。这意味着我们要用链式法则

[g(h(x))]'=g'(h(x))h'(x)

求导数。我们有 $g'(x)=x^d\sin x^5$ 和 h'(x)=2x+2 ，所以我们有

$a(x)=v'(x)=[(x+1)^2]^d\sin [(x+1)^2]^5\cdot (2x+2)$

$=(2x+2)(x+1)^{2d}\sin (x+1)^{10}$

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例子问题6:计算位置，速度和加速度

物体的位置由这个方程给出 $y = \frac{1}{3} t^3 - \frac{1}{2} t^2 -2t + 4$ 。它的加速度是多少 t=2 ？

可能的答案:

正确答案:

解释：

如果这个函数给出了位置，一阶导数就会给出它的速度二阶导数就会给出加速度。

y ' = t^2 - t -2

y'' = 2t - 1

现在把t代入2

y'' = 2(2) - 1 = 4- 1 = 3

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例子问题1:计算位置，速度和加速度

这个方程 $y= \sin (2t)$ 模拟一个物体在t秒后的位置。之后的速度是多少 $\pi$ 秒?

可能的答案:

正确答案:

解释：

如果这个函数给出了位置，一阶导数就会给出它的速度。

$y' = \cos (2t ) \cdot 2$

代入 $\pi$ t:

$2 \cos (2 \pi ) = 2\cdot 1 = 2$

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例8:计算位置，速度和加速度

物体的位置由这个方程模拟 $y= \frac{1}{2} \cos ^2 t$ 之后的速度是多少 $\frac{\pi}{4}$ 秒?

可能的答案:

$-\frac{1}{2}$

$\sqrt{2}$

$-\frac{1}{\sqrt2}$

正确答案:

$-\frac{1}{2}$

解释：

如果这个函数给出了位置，一阶导数就会给出它的速度。要求导，可以使用链式法则: $f(g(x)) ' = f'(g(x))\cdot g'(x)$ 。在这种情况下， $f(x) = \frac{1}{2} x^2$ 和 $g(x) = \cos x$ 。自 f'(x) = x 和 $g'(x ) = - \sin (x)$ ，一阶导数为 $\cos t \cdot - \sin t$ 。

代入 $\frac{\pi}{4}$ t:

$\cos (\frac{\pi}{4} ) \cdot - \sin (\frac{\pi}{4} ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot - \frac{1}{\sqrt2} = -\frac{1}{2}$

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例子问题1:衍生品的上下文应用

粒子在轨道上的位置-axis由函数给出 $f(t)=\sin(t)-t+1$ 从 $0 < t <\pi$ 。

粒子什么时候改变方向?

可能的答案:

$x=2\pi$

$x= \pi$

$x= \frac{\pi}{4}$

在给定的范围内它不会改变方向

$x=\frac{\pi}{2}$

正确答案:

在给定的范围内它不会改变方向

解释：

为了找出粒子何时改变方向，我们需要找到的临界值 f(t) 。这是通过找到速度函数，让它等于，并求解

$0=v(t) = f'(t) = \cos(t)-1$ 。

因此 $\cos(t)=1$ 。

它在单位圆上的解是 $t =0, \pi$ 的值粒子通常会改变方向。但是，给定的区间是 $0 < t < \pi$ ，其中不包含 $0, \pi$ 。因此粒子在给定的区间内不改变方向。

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例子问题10:计算位置，速度和加速度

粒子以给定的速度在空间中运动

$v(t)=\alpha t^3+\beta \sqrt{t}$

在哪里 $\alpha, \beta$ 都是常数参数。

求粒子的加速度 t=4 。

可能的答案:

$48\alpha + \frac{\beta}{4}$

$48\alpha +2\beta$

$3\alpha t^2+\frac{\beta}{2\sqrt{t}}$

正确答案:

$48\alpha + \frac{\beta}{4}$

解释：

为了求出粒子的加速度，我们必须对速度函数求一阶导数:

$a(t)=v'(t)=3\alpha t^2+\frac{\beta}{2\sqrt{t}}$

用下面的规则求导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$

现在，我们计算给定点的加速度函数:

$a(4)=3\alpha(4^2)+\frac{\beta}{2\sqrt{4}}=48\alpha+\frac{\beta}{4}$

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