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抽认卡：使用替换和集成

使用变量的变化（aka a U-uperitue）来评估积分，

$\int x\sqrt{1+x^2}dx$

$\frac{1}{6}(2x+1)^{\frac{2}{3}}+C$

$\frac{3}{4}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C$

$\frac{1}{6}(x^2+1)^{\frac{2}{3}}+\sqrt{x}+C$

$\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$

$\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C$

抽认卡：使用替换和集成

使用变量的变化（aka a U-uperitue）来评估积分，

$\int x\sqrt{1+x^2}dx$

你的答案：

$\frac{1}{6}(2x+1)^{\frac{2}{3}}+C$

你的答案：

$\frac{3}{4}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C$

你的答案：

$\frac{1}{6}(x^2+1)^{\frac{2}{3}}+\sqrt{x}+C$

你的答案：

$\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$

正确答案：

$\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C$

解释：

$\int x\sqrt{1+x^2}dx$

在介绍性微积分课程中非常常见的积分。寻找模式通常有用的模式，例如在我们的示例中的基团下的多项式， 1+x^2 ，恰好比根号外的因子高一阶，你知道如果你对一个二阶多项式求导你会得到一个一阶多项式，那么让我们定义变量:

u = 1+x^2 （1）

现在对求微分写下差异那

du = 2x dx （2）

看方程（2），我们可以解出 xdx ,获得 $xdx =\frac{1}{2}du$ ．现在如果我们看一下原始的积分我们可以把它写成

$\int x\sqrt{1+x^2}dx = \int\sqrt{1+x^2}\underbrace{xdx} = \int\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}du \right )$

现在继续积分．

$\int\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}du \right ) = \frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du$

$= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{\frac{1}{2}+1}u^{\frac{1}{2}+1} \right ]+C$

$=\frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right )+C$

$=\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$

现在把结果写成使用等式（1），我们得出结论，

$\int x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C$

抽认卡：使用替换和集成

使用U-替代到罚款

$\int \sin^2(x)\cos (x)dx$

$\frac{1}{4}sin^4(x)$

$\frac{1}{6}sin^2(x)$

$\frac{-1}{6}cos^3(x)sin^2(x)$

$\frac{1}{3}sin^3(x)$

$\frac{1}{6}sin^3(x)cos^2(x)$

抽认卡：使用替换和集成

使用U-替代到罚款

$\int \sin^2(x)\cos (x)dx$

你的答案：

$\frac{1}{4}sin^4(x)$

你的答案：

$\frac{1}{6}sin^2(x)$

你的答案：

$\frac{-1}{6}cos^3(x)sin^2(x)$

你的答案：

$\frac{1}{6}sin^3(x)cos^2(x)$

正确答案：

$\frac{1}{3}sin^3(x)$

解释：

允许 u=sin(x)

然后 du=cos(x)dx

现在我们可以代入

$\int sin^2(x) \cos(x) dx=\int u^2du= \frac{1}{3}u^3$

现在我们替代回来

$\frac{1}{3}u^3=\frac{1}{3} \sin^3(x)$

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