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微积分3:笛卡尔坐标系下的三重积分

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例子问题

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例子问题1:笛卡尔坐标系下的三重积分

计算下面的积分

$\int \int \int_D 15xyz \ dV$ ,在那里 $D=[1,2]\times[3,4]\times [5,6]$

可能的答案:

$\frac{3465}{8}$

$\frac{1}{8}$

$\frac{65}{8}$

正确答案:

$\frac{3465}{8}$

解释：

$\int_{1}^{2} \int_{3}^{4} \int_{5}^{6} 15xyz \ dx\ dy\ dz$

$=\int_{1}^{2} \int_{3}^{4} \frac{15}{2}x^2yz\Big|_{5}^{6} dy\ dz$

$=\int_{1}^{2} \int_{3}^{4} (\frac{15}{2}(6)^2yz)-(\frac{15}{2}(5)^2yz) dy\ dz$

$=\int_{1}^{2} \int_{3}^{4} \frac{165}{2}yz\ dy\ dz$

$=\int_{1}^{2} \frac{165}{4}y^2z\Big|_{3}^{4}\ dz$

$=\int_{1}^{2} \frac{165}{4}(4)^2z-\frac{165}{4}(3)^2z\ dz$

$=\int_{1}^{2} \frac{1155}{4}z\ dz$

$=\frac{1155}{8}z^2\Big|_{1}^{2}$

$=\frac{1155}{8}(2)^2-\frac{1155}{8}(1)^2=\frac{3465}{8}$

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例子问题2:笛卡尔坐标系下的三重积分

求三重积分的值 $\int \int_{B} \int yz^2dxdydz$ ， $B=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]$

可能的答案:

正确答案:

解释：

形式的积分表达式

$\int \int_{B} \int f(x,y,z)dxdydz$ ， $B=[a,b]\times[c,d]\times[s,t]$

等于积分的形式吗

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz$

最里面的积分对应最里面的导数变量，最外面的积分对应最外面的变量。

值得注意的是，执行集成的顺序并不重要，因为每个变量都是独立集成的，其他变量都是作为常量进行集成的。例如

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{s}^t f(x,y,z)dzdydx$

考虑积分:

$\int \int_{B} \int yz^2dxdydz$ ， $B=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]$

方法很简单，一步一步来:

$\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}yz^2dxdydz=\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}xyz^2|_{0}^{1}dydz$

$\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}yz^2dydz=\int_{0}^{3}\frac{y^2z^2}{2}|_{0}^{2}dz$

$\int_{0}^{3}2z^2dz=\frac{2z^3}{3}|_{0}^{3}=18$

报告错误

例子问题3:笛卡尔坐标系下的三重积分

求三重积分的值 $\int \int_{B} \int (x+y+z)dxdydz$ ， $B=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]$

可能的答案:

正确答案:

解释：

形式的积分表达式

$\int \int_{B} \int f(x,y,z)dxdydz$ ， $B=[a,b]\times[c,d]\times[s,t]$

等于积分的形式吗

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz$

最里面的积分对应最里面的导数变量，最外面的积分对应最外面的变量。

值得注意的是，执行集成的顺序并不重要，因为每个变量都是独立集成的，其他变量都是作为常量进行集成的。例如

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{s}^t f(x,y,z)dzdydx$

考虑积分:

$\int \int_{B} \int (x+y+z)dxdydz$ ， $B=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]$

方法很简单，一步一步来:

$\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}(x+y+z)dxdydz=\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}(\frac{x^2}{2}+xy+xz)|_{0}^{1}dydz$

$\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}(y+z+\frac{1}{2})dydz=\int_{0}^{3}(\frac{y^2}{2}+yz+\frac{y}{2})|_{0}^{2}dz$

$\int_{0}^{3}(2z+3)dz=(z^2+3z)|_{0}^{3}=18$

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问题4:笛卡尔坐标系下的三重积分

求三重积分的值 $\int \int_{B} \int (x^2-yz)dxdydz$ ， $B=[0,3]\times[-4,0]\times[-1,1]$

可能的答案:

正确答案:

解释：

形式的积分表达式

$\int \int_{B} \int f(x,y,z)dxdydz$ ， $B=[a,b]\times[c,d]\times[s,t]$

等于积分的形式吗

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz$

最里面的积分对应最里面的导数变量，最外面的积分对应最外面的变量。

值得注意的是，执行集成的顺序并不重要，因为每个变量都是独立集成的，其他变量都是作为常量进行集成的。例如

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{s}^t f(x,y,z)dzdydx$

考虑积分:

$\int \int_{B} \int (x^2-yz)dxdydz$ ， $B=[0,3]\times[-4,0]\times[-1,1]$

方法很简单，一步一步来:

$\int_{-1}^{1}\int_{-4}^{0}\int_{0}^{3}(x^2-yz)dxdydz=\int_{-1}^{1}\int_{-4}^{0}(\frac{x^3}{3}-xyz)|_{0}^{3}dydz$

$\int_{-1}^{1}\int_{-4}^{0}(9-3yz)dydz=\int_{-1}^{1}(9y-\frac{3y^2z}{2})|_{-4}^{0}dz$

$\int_{-1}^{1}(36+24z)dz=(36z+12z^2)|_{-1}^{1}=72$

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例5:笛卡尔坐标系下的三重积分

求三重积分的值 $\int \int_{B} \int (3x^2z^3e^{xyz^2})dxdydz$ ， $B=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]$

可能的答案:

$\frac{e^{18}-179}{24}$

$\frac{e^{18}+179}{72}$

$\frac{e^{18}-179}{72}$

$\frac{e^{18}-181}{24}$

$\frac{e^{18}-181}{72}$

正确答案:

$\frac{e^{18}-181}{24}$

解释：

形式的积分表达式

$\int \int_{B} \int f(x,y,z)dxdydz$ ， $B=[a,b]\times[c,d]\times[s,t]$

等于积分的形式吗

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz$

最里面的积分对应最里面的导数变量，最外面的积分对应最外面的变量。

值得注意的是，执行集成的顺序并不重要，因为每个变量都是独立集成的，其他变量都是作为常量进行集成的。例如

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{s}^t f(x,y,z)dzdydx$

考虑积分:

$\int \int_{B} \int (3x^2z^3e^{xyz^2})dxdydz$ ， $B=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]$

方法很简单，就是一步一步来。但首先，我们应该考虑我们希望整合的顺序;那些而且指数前面的项很吓人。我们看看能不能消去一些通过对开始:

${\int_{0}^{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}(3x^2z^3e^{xyz^2})dydxdz=\int_{0}^{3}\int_{0}^{1}(3xze^{xyz^2})|_{0}^{2}dxdz=\int_{0}^{3}\int_{0}^{1}(3xze^{2xz^2}-3xz)dxdz}$

这看起来已经更容易控制了。现在，我们有两个而且在指数前面，我们必须决定下一个积分要选哪个。回想一下, $\frac{d}{du}e^{u^2}=2ue^{u^2}$ ．对积分消去指数前面的项会更好:

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{3}(3xze^{2xz^2}-3xz)dzdx=\int_{0}^{1}(\frac{3}{4}e^{2xz^2}-\frac{3}{2}xz^2)|_{0}^{3}dx=\frac{3}{4}e^{18x}-\frac{27}{2}x-\frac{3}{4}$

最后，我们得到了一个(相对)简单的积分:

$\int_{0}^{1}(\frac{3}{4}e^{18x}-\frac{27}{2}x-\frac{3}{4})dx=(\frac{e^{18x}}{24}-\frac{27}{4}x^2-\frac{3}{4}x)|_{0}^{1}=\frac{e^{18}-181}{24}$

注意集成的顺序可以使工作更容易(相对而言)。

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例子问题1:笛卡尔坐标系下的三重积分

求三重积分的值 $\int \int_{B} \int (-xy^2sin(xyz))dxdydz$ ， $B=[0,\pi]\times[0,\frac{1}{2}]\times[0,1]$

可能的答案:

$\frac{8-\pi^2}{8}$

$\frac{8\pi+\pi^2}{8}$

$\frac{8+\pi^2}{8}$

$\frac{8-\pi^2}{8\pi}$

$\frac{8-\pi}{8\pi}$

正确答案:

$\frac{8-\pi^2}{8\pi}$

解释：

形式的积分表达式

$\int \int_{B} \int f(x,y,z)dxdydz$ ， $B=[a,b]\times[c,d]\times[s,t]$

等于积分的形式吗

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz$

最里面的积分对应最里面的导数变量，最外面的积分对应最外面的变量。

值得注意的是，执行集成的顺序并不重要，因为每个变量都是独立集成的，其他变量都是作为常量进行集成的。例如

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{s}^t f(x,y,z)dzdydx$

考虑积分:

$\int \int_{B} \int (-xy^2sin(xyz))dxdydz$ ， $B=[0,\pi]\times[0,\frac{1}{2}]\times[0,1]$

方法很简单，就是一步一步来;然而，为了使集成工作更容易，从关于的集成开始可能是谨慎的：

$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{1}(-xy^2sin(xyz))dzdydx=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\frac{1}{2}}ycos(xyz)|_{0}^{1}dydx$

这很好地解决了前面的一些项;我们再用一下这个技巧，求关于下一个:

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{\pi}(ycos(xy)-y)dxdy=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(sin(xy)-xy)|_{0}^{\pi}dy$

这就留下了一个相对简单的积分：

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}(sin(\pi y)-\pi y)dy=(\frac{-cos(\pi y)}{\pi}-\frac{\pi y^2}{2})|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{8-\pi^2}{8\pi}$

注意积分的顺序可以使复杂的问题变得简单一些。

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示例问题7:笛卡尔坐标系下的三重积分

求三重积分的值 $\int \int_{B} \int xydxdydz$ ， $B=[0,3]\times[1,2]\times[-1,3]$

可能的答案:

$\frac{83}{4}$

正确答案:

解释：

形式的积分表达式

$\int \int_{B} \int f(x,y,z)dxdydz$ ， $B=[a,b]\times[c,d]\times[s,t]$

等于积分的形式吗

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz$

最里面的积分对应最里面的导数变量，最外面的积分对应最外面的变量。

值得注意的是，执行集成的顺序并不重要，因为每个变量都是独立集成的，其他变量都是作为常量进行集成的。例如

$\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{s}^t f(x,y,z)dzdydx$

考虑积分:

$\int \int_{B} \int xydxdydz$ ， $B=[0,3]\times[1,2]\times[-1,3]$

方法很简单，一步一步来:

$\int_{-1}^{3}\int_{1}^{2}\int_{0}^{3}xydxdydz=\int_{-1}^{3}\int_{1}^{2}\frac{x^2y}{2}|_{0}^{3}dydz$

$\int_{-1}^{3}\int_{1}^{2}\frac{9y}{2}dydz=\int_{-1}^{3}\frac{9y^2}{4}|_{1}^{2}dz$

$\int_{-1}^{3}dz=\frac{27}{4}z|_{-1}^{3}=27$

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例子问题2:笛卡尔坐标系下的三重积分

$\begin{align*}&\text{Evaluate the triple integral}\int_{-13}^{2}\int_{-13}^{-7}\int_{6}^{9}(3x + y + 2z)dxdydz\end{align*}$

可能的答案:

405

正确答案:

405

解释：

$\begin{align*}&\text{When performing a triple integral, it is worth noting that the order}\\&\text{in which the integration performed does not entirely matter, since each variable will be}\\&\text{integrated independently, with the others being treated as constants for the}\\&\text{puposes of integration. For example:}\\&\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{s}^t f(x,y,z)dzdydx\\&\text{Considering our integral:}\\&\int_{-13}^{2}\int_{-13}^{-7}\int_{6}^{9}(3x + y + 2z)dxdydz\\&\text{The approach is simply to take it step by step:}\\&\int_{-13}^{2}\int_{-13}^{-7}\int_{6}^{9}(3x + y + 2z)dxdydz=\int_{-13}^{2}\int_{-13}^{-7}(x{(y + 2z)} + {(3x^2)}/2)dydz|_{6}^{9}\\&\int_{-13}^{2}\int_{-13}^{-7}(3y + 6z + 135/2)dydz=\int_{-13}^{2}({(3y{(y + 4z + 45)})}/2)dz|_{-13}^{-7}\\&\int_{-13}^{2}(36z + 225)dz=9z{(2z + 25)}dz|_{-13}^{2}=405\end{align*}$

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问题9:笛卡尔坐标系下的三重积分

$\begin{align*}&\text{Evaluate the triple integral}\int_{8}^{20}\int_{-7}^{-2}\int_{-11}^{18}(6xy - 2z)dxdydz\end{align*}$

可能的答案:

527220

正确答案:

解释：

$\begin{align*}&\text{When performing a triple integral, it is worth noting that the order}\\&\text{in which the integration performed does not entirely matter, since each variable will be}\\&\text{integrated independently, with the others being treated as constants for the}\\&\text{puposes of integration. For example:}\\&\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{s}^t f(x,y,z)dzdydx\\&\text{Considering our integral:}\\&\int_{8}^{20}\int_{-7}^{-2}\int_{-11}^{18}(6xy - 2z)dxdydz\\&\text{The approach is simply to take it step by step:}\\&\int_{8}^{20}\int_{-7}^{-2}\int_{-11}^{18}(6xy - 2z)dxdydz=\int_{8}^{20}\int_{-7}^{-2}(3x^2y - 2xz)dydz|_{-11}^{18}\\&\int_{8}^{20}\int_{-7}^{-2}(609y - 58z)dydz=\int_{8}^{20}({(29y{(21y - 4z)})}/2)dz|_{-7}^{-2}\\&\int_{8}^{20}(- 290z - 27405/2)dz=-{(145z{(2z + 189)})}/2dz|_{8}^{20}=-213150\end{align*}$

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例子问题10:笛卡尔坐标系下的三重积分

$\begin{align*}&\text{Evaluate the triple integral}\int_{-4}^{3}\int_{-8}^{-2}\int_{4}^{6}(24xyz^2)dxdydz\end{align*}$

可能的答案:

127680

正确答案:

解释：

$\begin{align*}&\text{When performing a triple integral, it is worth noting that the order}\\&\text{in which the integration performed does not entirely matter, since each variable will be}\\&\text{integrated independently, with the others being treated as constants for the}\\&\text{puposes of integration. For example:}\\&\int_{s}^{t} \int_{c}^{d} \int_{a}^b f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{s}^t f(x,y,z)dzdydx\\&\text{Considering our integral:}\\&\int_{-4}^{3}\int_{-8}^{-2}\int_{4}^{6}(24xyz^2)dxdydz\\&\text{The approach is simply to take it step by step:}\\&\int_{-4}^{3}\int_{-8}^{-2}\int_{4}^{6}(24xyz^2)dxdydz=\int_{-4}^{3}\int_{-8}^{-2}(12x^2yz^2)dydz|_{4}^{6}\\&\int_{-4}^{3}\int_{-8}^{-2}(240yz^2)dydz=\int_{-4}^{3}(120y^2z^2)dz|_{-8}^{-2}\\&\int_{-4}^{3}(-7200z^2)dz=-2400z^3dz|_{-4}^{3}=-218400\end{align*}$

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