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微积分3:球坐标

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例子问题

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例子问题1:球坐标

将下列转换为球坐标。

$x=\sin(t)$

$y=\cos(t)$

z=1

可能的答案:

$\rho=1$

$\phi=\frac{\pi}{2}$

$\theta=\tan(\cot(t))$

$\rho=\sqrt{2}$

$\phi=0$

$\theta=\tan(\cot(t))$

$\rho=\sqrt{2}$

$\phi=\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

$\rho=2$

$\phi=-\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

$\rho=\sqrt{2}$

$\phi=\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

正确答案:

$\rho=\sqrt{2}$

$\phi=\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

解释：

为了转换到球坐标，我们需要记住转换方程。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{y}{x}\Big)$

$\phi=\tan^{-1}\Big(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\Big)$

现在我们把这个应用到我们的问题上。

$\rho=\sqrt{(\sin(t))^2+(\cos(t))^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

$\phi=\tan^{-1}\Big(\frac{\sqrt{(\sin{t})^2+(\cos{t})^2}}{1}\Big)=\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{\cos(t)}{\sin(t)}\Big)=\tan^{-1}(\cot(t))$

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例子问题2:球坐标

在笛卡尔坐标中，空间中的一点位于 (9,3,2) ．这个点在球坐标系中的位置是多少?

可能的答案:

$(9.49,161.57^{\circ},-101.9^{\circ})$

$(9.49,18.43^{\circ},78.1^{\circ})$

$(9.49,161.57^{\circ},78.1^{\circ})$

$(9.7,18.43^{\circ},78.1^{\circ})$

$(9.7,161.57^{\circ},78.1^{\circ})$

正确答案:

$(9.7,18.43^{\circ},78.1^{\circ})$

解释：

当给出这个形式的笛卡尔坐标时 (x,y,z) 形式的柱坐标 $(\rho,\theta,\phi)$ 时，计算 $\rho$ 首先是项，我们会推导 $\phi$ 从它。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

接下来，开始计算角度。然而，在计算它们时应该小心。开始 $\theta$ ，其公式为:

$\theta=arctan(\frac{y}{x})$

然而，重要的是要注意两者的迹象而且，记住该点位于哪个象限;这将决定的值 $\theta$ ：

在使用计算器进行计算时，要记住这一点;负按照惯例，值会产生负数 $\theta$ ，而负价值观导致 $|\theta|>90^{\circ};\frac{\pi}{2}$

计算 $\phi$ ，我们可以利用我们的 $\rho$ 价值。它被发现为

$\phi=arccos(\frac{z}{\rho})$ ,在那里 $0\leq\phi\leq180^{\circ}$

Phirho

我们的坐标

$\begin{align*}&(9,3,2)\\&\rho=\sqrt{(9)^2+(3)^2+(2)^2}=9.7\\&\theta=arctan(\frac{3}{9})=18.43^{\circ}\\&\phi=arccos(\frac{2}{9.7})=78.1^{\circ}\end{align*}$

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例子问题3:球坐标

在笛卡尔坐标中，空间中的一点位于 (-12,4,-3) ．这个点在球坐标系中的位置是多少?

可能的答案:

$(12.65,18.43^{\circ},-76.66^{\circ})$

$(12.65,161.57^{\circ},103.34^{\circ})$

$(13,18.43^{\circ},103.34^{\circ})$

$(13,161.57^{\circ},103.34^{\circ})$

$(12.65,18.43^{\circ},76.66^{\circ})$

正确答案:

$(13,161.57^{\circ},103.34^{\circ})$

解释：

当给出这个形式的笛卡尔坐标时 (x,y,z) 形式的柱坐标 $(\rho,\theta,\phi)$ 时，计算 $\rho$ 首先是项，我们会推导 $\phi$ 从它。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

接下来，开始计算角度。然而，在计算它们时应该小心。开始 $\theta$ ，其公式为:

$\theta=arctan(\frac{y}{x})$

然而，重要的是要注意两者的迹象而且，记住该点位于哪个象限;这将决定的值 $\theta$ ：

在使用计算器进行计算时，要记住这一点;负按照惯例，值会产生负数 $\theta$ ，而负价值观导致 $|\theta|>90^{\circ};\frac{\pi}{2}$

计算 $\phi$ ，我们可以利用我们的 $\rho$ 价值。它被发现为

$\phi=arccos(\frac{z}{\rho})$ ,在那里 $0\leq\phi\leq180^{\circ}$

Phirho

我们的坐标

$\begin{align*}&(-12,4,-3)\\&\rho=\sqrt{(-12)^2+(4)^2+(-3)^2}=13\\&\theta=arctan(\frac{4}{-12})=161.57^{\circ}\\&\phi=arccos(\frac{-3}{13})=103.34^{\circ}\end{align*}$

报告错误

问题4:球坐标

在笛卡尔坐标中，空间中的一点位于 (5,1,-6) ．这个点在球坐标系中的位置是多少?

可能的答案:

$(5.1,11.31^{\circ},139.64^{\circ})$

$(7.87,11.31^{\circ},139.64^{\circ})$

$(5.1,168.69^{\circ},-40.36^{\circ})$

$(7.87,168.69^{\circ},139.64^{\circ})$

$(5.1,168.69^{\circ},40.36^{\circ})$

正确答案:

$(7.87,11.31^{\circ},139.64^{\circ})$

解释：

当给出这个形式的笛卡尔坐标时 (x,y,z) 形式的柱坐标 $(\rho,\theta,\phi)$ 时，计算 $\rho$ 首先是项，我们会推导 $\phi$ 从它。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

接下来，开始计算角度。然而，在计算它们时应该小心。开始 $\theta$ ，其公式为:

$\theta=arctan(\frac{y}{x})$

然而，重要的是要注意两者的迹象而且，记住该点位于哪个象限;这将决定的值 $\theta$ ：

在使用计算器进行计算时，要记住这一点;负按照惯例，值会产生负数 $\theta$ ，而负价值观导致 $|\theta|>90^{\circ};\frac{\pi}{2}$

计算 $\phi$ ，我们可以利用我们的 $\rho$ 价值。它被发现为

$\phi=arccos(\frac{z}{\rho})$ ,在那里 $0\leq\phi\leq180^{\circ}$

Phirho

我们的坐标

$\begin{align*}&(5,1,-6)\\&\rho=\sqrt{(5)^2+(1)^2+(-6)^2}=7.87\\&\theta=arctan(\frac{1}{5})=11.31^{\circ}\\&\phi=arccos(\frac{-6}{7.87})=139.64^{\circ}\end{align*}$

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例5:球坐标

在笛卡尔坐标中，空间中的一点位于 (5,-8,3) ．这个点在球坐标系中的位置是多少?

可能的答案:

$(9.43,122.01^{\circ},-107.64^{\circ})$

$(9.9,-57.99^{\circ},72.36^{\circ})$

$(9.43,122.01^{\circ},107.64^{\circ})$

$(9.9,122.01^{\circ},72.36^{\circ})$

$(9.43,-57.99^{\circ},72.36^{\circ})$

正确答案:

$(9.9,-57.99^{\circ},72.36^{\circ})$

解释：

当给出这个形式的笛卡尔坐标时 (x,y,z) 形式的柱坐标 $(\rho,\theta,\phi)$ 时，计算 $\rho$ 首先是项，我们会推导 $\phi$ 从它。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

接下来，开始计算角度。然而，在计算它们时应该小心。开始 $\theta$ ，其公式为:

$\theta=arctan(\frac{y}{x})$

然而，重要的是要注意两者的迹象而且，记住该点位于哪个象限;这将决定的值 $\theta$ ：

在使用计算器进行计算时，要记住这一点;负按照惯例，值会产生负数 $\theta$ ，而负价值观导致 $|\theta|>90^{\circ};\frac{\pi}{2}$

计算 $\phi$ ，我们可以利用我们的 $\rho$ 价值。它被发现为

$\phi=arccos(\frac{z}{\rho})$ ,在那里 $0\leq\phi\leq180^{\circ}$

Phirho

我们的坐标

$\begin{align*}&(5,-8,3)\\&\rho=\sqrt{(5)^2+(-8)^2+(3)^2}=9.9\\&\theta=arctan(\frac{-8}{5})=-57.99^{\circ}\\&\phi=arccos(\frac{3}{9.9})=72.36^{\circ}\end{align*}$

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例子问题6:球坐标

在笛卡尔坐标中，空间中的一点位于 (-9,-9,-9) ．这个点在球坐标系中的位置是多少?

可能的答案:

$(15.59,45^{\circ},125.26^{\circ})$

$(12.73,45^{\circ},-54.74^{\circ})$

$(15.59,-135^{\circ},125.26^{\circ})$

$(12.73,45^{\circ},54.74^{\circ})$

$(12.73,-135^{\circ},125.26^{\circ})$

正确答案:

$(15.59,-135^{\circ},125.26^{\circ})$

解释：

当给出这个形式的笛卡尔坐标时 (x,y,z) 形式的柱坐标 $(\rho,\theta,\phi)$ 时，计算 $\rho$ 首先是项，我们会推导 $\phi$ 从它。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

接下来，开始计算角度。然而，在计算它们时应该小心。开始 $\theta$ ，其公式为:

$\theta=arctan(\frac{y}{x})$

然而，重要的是要注意两者的迹象而且，记住该点位于哪个象限;这将决定的值 $\theta$ ：

在使用计算器进行计算时，要记住这一点;负按照惯例，值会产生负数 $\theta$ ，而负价值观导致 $|\theta|>90^{\circ};\frac{\pi}{2}$

计算 $\phi$ ，我们可以利用我们的 $\rho$ 价值。它被发现为

$\phi=arccos(\frac{z}{\rho})$ ,在那里 $0\leq\phi\leq180^{\circ}$

Phirho

我们的坐标

$\begin{align*}&(-9,-9,-9)\\&\rho=\sqrt{(-9)^2+(-9)^2+(-9)^2}=15.59\\&\theta=arctan(\frac{-9}{-9})=-135^{\circ}\\&\phi=arccos(\frac{-9}{15.59})=125.26^{\circ}\end{align*}$

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示例问题7:球坐标

在笛卡尔坐标中，空间中的一点位于 (11,0,-5) ．这个点在球坐标系中的位置是多少?

可能的答案:

$(12.08,0^{\circ},114.44^{\circ})$

$(11,0^{\circ},114.44^{\circ})$

$(12.08,180^{\circ},114.44^{\circ})$

$(11,180^{\circ},-65.56^{\circ})$

$(11,180^{\circ},65.56^{\circ})$

正确答案:

$(12.08,0^{\circ},114.44^{\circ})$

解释：

当给出这个形式的笛卡尔坐标时 (x,y,z) 形式的柱坐标 $(\rho,\theta,\phi)$ 时，计算 $\rho$ 首先是项，我们会推导 $\phi$ 从它。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

接下来，开始计算角度。然而，在计算它们时应该小心。开始 $\theta$ ，其公式为:

$\theta=arctan(\frac{y}{x})$

然而，重要的是要注意两者的迹象而且，记住该点位于哪个象限;这将决定的值 $\theta$ ：

在使用计算器进行计算时，要记住这一点;负按照惯例，值会产生负数 $\theta$ ，而负价值观导致 $|\theta|>90^{\circ};\frac{\pi}{2}$

计算 $\phi$ ，我们可以利用我们的 $\rho$ 价值。它被发现为

$\phi=arccos(\frac{z}{\rho})$ ,在那里 $0\leq\phi\leq180^{\circ}$

Phirho

我们的坐标

$\begin{align*}&(11,0,-5)\\&\rho=\sqrt{(11)^2+(0)^2+(-5)^2}=12.08\\&\theta=arctan(\frac{0}{11})=0^{\circ}\\&\phi=arccos(\frac{-5}{12.08})=114.44^{\circ}\end{align*}$

报告错误

例8:球坐标

在笛卡尔坐标中，空间中的一点位于 (85,10,13) ．这个点在球坐标系中的位置是多少?

可能的答案:

$(86.57,6.71^{\circ},81.36^{\circ})$

$(86.57,173.29^{\circ},81.36^{\circ})$

$(85.59,6.71^{\circ},81.36^{\circ})$

$(85.59,173.29^{\circ},98.64^{\circ})$

$(85.59,173.29^{\circ},-98.64^{\circ})$

正确答案:

$(86.57,6.71^{\circ},81.36^{\circ})$

解释：

当给出这个形式的笛卡尔坐标时 (x,y,z) 形式的柱坐标 $(\rho,\theta,\phi)$ 时，计算 $\rho$ 首先是项，我们会推导 $\phi$ 从它。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

接下来，开始计算角度。然而，在计算它们时应该小心。开始 $\theta$ ，其公式为:

$\theta=arctan(\frac{y}{x})$

然而，重要的是要注意两者的迹象而且，记住该点位于哪个象限;这将决定的值 $\theta$ ：

在使用计算器进行计算时，要记住这一点;负按照惯例，值会产生负数 $\theta$ ，而负价值观导致 $|\theta|>90^{\circ};\frac{\pi}{2}$

计算 $\phi$ ，我们可以利用我们的 $\rho$ 价值。它被发现为

$\phi=arccos(\frac{z}{\rho})$ ,在那里 $0\leq\phi\leq180^{\circ}$

Phirho

我们的坐标

$\begin{align*}&(85,10,13)\\&\rho=\sqrt{(85)^2+(10)^2+(13)^2}=86.57\\&\theta=arctan(\frac{10}{85})=6.71^{\circ}\\&\phi=arccos(\frac{13}{86.57})=81.36^{\circ}\end{align*}$

报告错误

问题9:球坐标

在笛卡尔坐标中，空间中的一点位于 (3,-23,50) ．这个点在球坐标系中的位置是多少?

可能的答案:

$(23.19,97.43^{\circ},155.11^{\circ})$

$(23.19,97.43^{\circ},-155.11^{\circ})$

$(55.12,97.43^{\circ},24.89^{\circ})$

$(23.19,-82.57^{\circ},24.89^{\circ})$

$(55.12,-82.57^{\circ},24.89^{\circ})$

正确答案:

$(55.12,-82.57^{\circ},24.89^{\circ})$

解释：

当给出这个形式的笛卡尔坐标时 (x,y,z) 形式的柱坐标 $(\rho,\theta,\phi)$ 时，计算 $\rho$ 首先是项，我们会推导 $\phi$ 从它。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

接下来，开始计算角度。然而，在计算它们时应该小心。开始 $\theta$ ，其公式为:

$\theta=arctan(\frac{y}{x})$

然而，重要的是要注意两者的迹象而且，记住该点位于哪个象限;这将决定的值 $\theta$ ：

在使用计算器进行计算时，要记住这一点;负按照惯例，值会产生负数 $\theta$ ，而负价值观导致 $|\theta|>90^{\circ};\frac{\pi}{2}$

计算 $\phi$ ，我们可以利用我们的 $\rho$ 价值。它被发现为

$\phi=arccos(\frac{z}{\rho})$ ,在那里 $0\leq\phi\leq180^{\circ}$

Phirho

我们的坐标

$\begin{align*}&(3,-23,50)\\&\rho=\sqrt{(3)^2+(-23)^2+(50)^2}=55.12\\&\theta=arctan(\frac{-23}{3})=-82.57^{\circ}\\&\phi=arccos(\frac{50}{55.12})=24.89^{\circ}\end{align*}$

报告错误

例子问题10:球坐标

在笛卡尔坐标中，空间中的一点位于 (11,12,13) ．这个点在球坐标系中的位置是多少?

可能的答案:

$(16.28,132.51^{\circ},128.61^{\circ})$

$(20.83,132.51^{\circ},51.39^{\circ})$

$(16.28,47.49^{\circ},51.39^{\circ})$

$(20.83,47.49^{\circ},51.39^{\circ})$

$(16.28,132.51^{\circ},-128.61^{\circ})$

正确答案:

$(20.83,47.49^{\circ},51.39^{\circ})$

解释：

当给出这个形式的笛卡尔坐标时 (x,y,z) 形式的柱坐标 $(\rho,\theta,\phi)$ 时，计算 $\rho$ 首先是项，我们会推导 $\phi$ 从它。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

接下来，开始计算角度。然而，在计算它们时应该小心。开始 $\theta$ ，其公式为:

$\theta=arctan(\frac{y}{x})$

然而，重要的是要注意两者的迹象而且，记住该点位于哪个象限;这将决定的值 $\theta$ ：

在使用计算器进行计算时，要记住这一点;负按照惯例，值会产生负数 $\theta$ ，而负价值观导致 $|\theta|>90^{\circ};\frac{\pi}{2}$

计算 $\phi$ ，我们可以利用我们的 $\rho$ 价值。它被发现为

$\phi=arccos(\frac{z}{\rho})$ ,在那里 $0\leq\phi\leq180^{\circ}$

Phirho

我们的坐标

$\begin{align*}&(11,12,13)\\&\rho=\sqrt{(11)^2+(12)^2+(13)^2}=20.83\\&\theta=arctan(\frac{12}{11})=47.49^{\circ}\\&\phi=arccos(\frac{13}{20.83})=51.39^{\circ}\end{align*}$

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