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微积分3:直线与平面方程

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例子问题

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问题1:直线和平面方程

把经过这些点的直线的方程写成向量形式 (2, 10 , -6) , (-3, 4, 14) 。

可能的答案:

$\vec{r}=\left \langle 2+5t, 1+t, -6-20t\right \rangle$

$\vec{r}=\left \langle 2-5t, 10+6t, -6-20t\right \rangle$

$\vec{r}=\left \langle 2+5t, 10+6t, -6-20t\right \rangle$

$\vec{r}=\left \langle 2+5t, 10-6t, -6-20t\right \rangle$

$\vec{r}=\left \langle 2+5t, 10+6t, -6-2t\right \rangle$

正确答案:

$\vec{r}=\left \langle 2+5t, 10+6t, -6-20t\right \rangle$

解释：

记住向量形式的直线的一般方程:

$\vec{r}=r_0+t\vec{v}=\left \langle x_0,y_0,z_0\right \rangle+t\left \langle a,b,c\right \rangle$ ,在那里 $\left \langle x_0,y_0,z_0\right \rangle$ 是起点，又是起点 $\left \langle a,b,c\right \rangle$ 是起始点和结束点之间的差。

我们把这个应用到我们的问题中。

$\vec{r}=\left \langle 2, 10, -6\right \rangle+t\left \langle 5, 6, -20\right \rangle$

分发

$\vec{r}=\left \langle 2, 10, -6\right \rangle+\left \langle 5t, 6t, -20t\right \rangle$

现在我们简单地做向量加法得到

$\vec{r}=\left \langle 2+5t, 10+6t, -6-20t\right \rangle$

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问题2:直线和平面方程

求平面间的近似夹角 4x-3y-2z=1 , 12x+2y-7z=16 。

可能的答案:

42.192

82.1

没有其他答案。

52.388

32.712

正确答案:

42.192

解释：

求两个平面之间的夹角需要求出它们的法向量之间的夹角。

为了得到法向量，我们只需取前面的系数 x,y,z 。

$\mathbf{n_1} = <4,-3,-2>$

$\mathbf{n_2} = <12,2,-7>$

任意两个向量之间的锐角是

$\theta = \cos^{-1}(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|})$ ，

代入，我们有

$\theta = \cos^{-1}(\frac{<4,-3,-2> \cdot <12,2,-7>}{\sqrt{16+9+4}\sqrt{144+4+49}})$

$\theta \approx \cos^{-1}(\frac{56}{75.584})$

$\theta \approx 42.192$ 。

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问题1:直线和平面方程

求平面的交点 2x+y+z=9 这条直线由 <2t+4,t-1,-t>

可能的答案:

(-1,2,-1)

$(0,0,\frac{1}{2})$

$(5,-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

这条线和平面平行。

$(-\frac{1}{2},5,\frac{1}{2})$

正确答案:

$(5,-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

解释：

把直线的分量替换成平面的分量，就得到

2(2t+4)+(t-1)+(-t)=9

4t+8+t-1-t=9

$t = \frac{1}{2}$

代入这个值回到这条线的分量

$(5,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ 。

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问题4:直线和平面方程

求两个平面之间的夹角(以度为单位) x+y+z =2 ， x+y+z = 0

可能的答案:

47.333

42.667

正确答案:

解释：

注意到答案的一个快速方法是是注意到平面是平行的(它们只是右边的常数不同)。

一般来说，为了求两个平面之间的夹角，我们求它们的法向量之间的夹角。

第一个平面的法向量是 $\mathbf{n}_1 = <1,1,1>$

第二个平面的法向量是 $\mathbf{n}_2 = <1,1,1>$

然后用矢量夹角的公式， $\theta = \cos^{-1} (\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|})$ ，我们有

$\theta = \cos^{-1} (\frac{<1,1,1> \cdot <1,1,1>}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}}) = \cos^{-1}(1) = 0$ 。

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问题5:直线和平面方程

求包含以下点的平面方程。

O=(0,0,0)

P=(5,4,0)

Q=(-3,-7,0)

可能的答案:

x=0

y=0

5x-7y+z=4

z=0

正确答案:

z=0

解释：

平面的方程定义为

$n\bullet<x-x_0,y-y_0,z-z_0>=0$

在哪里是平面的法向量。

为了求法向量，我们首先得到平面上的两个向量

OP=<5,4,0> 和 OQ=<-3,-7,0>

求出它们的外积。

叉乘被定义为矩阵的行列式

$\begin{vmatrix} i&j &k \\ 5&4 &0 \\ -3&-7 &0 \end{vmatrix}$

这是

$=det(\begin{vmatrix} 4&0 \\ -7&0 \end{vmatrix})i-det(\begin{vmatrix} 5&0 \\ -3&0 \end{vmatrix})j+det(\begin{vmatrix} 5&4 \\ -3&-7 \end{vmatrix})k$

=(4*0-(-7)*0)i-(5*0-(-3)*0)j+(5*(-7)-(-3)*4)k

=-23k

它告诉我们法向量是什么

<0,0,-23>

使用点求平面方程的法向量等于

$<0,0,-23>\bullet <x-0,y-0,z-0>=0$

$<0,0,-23>\bullet <x,y,z>=0$

0x+0y+(-23)z=0

简化后得到平面的方程

z=0

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问题1:直线和平面方程

求包含这些点的平面的方程

O=(0,0,0) P=(0,1,5) Q=(0,-2,-4)

可能的答案:

x=0

y-4z=1

y=0

z=5

正确答案:

x=0

解释：

平面的方程定义为

$n\bullet<x-x_0,y-y_0,z-z_0>=0$

在哪里是平面的法向量。

为了求法向量，我们首先得到平面上的两个向量

OP=<0,1,5> 和 OQ=<0,-2,-4>

求出它们的外积。

叉乘被定义为矩阵的行列式

$\begin{vmatrix} i&j &k \\ 0&1 &5 \\ 0&-2 &-4 \end{vmatrix}$

这是

$=det(\begin{vmatrix}1&5 \\ -2&-4 \end{vmatrix})i-det(\begin{vmatrix} 0&5 \\ 0&-4 \end{vmatrix})j+det(\begin{vmatrix} 0&1 \\ 0&-2 \end{vmatrix})k$

=(1*(-4)-(-2)*5)i-(0*(-4)-(0)*5)j+(0*(-2)-0*1)k

=6i

它告诉我们法向量是什么

<6,0,0>

使用点求平面方程的法向量等于

$<6,0,0>\bullet <x-0,y-0,z-0>=0$

$<6,0,0>\bullet <x,y,z>=0$

6x+0y+0z=0

简化后得到平面的方程

x=0

报告错误

问题1:直线和平面方程

下面哪个是平行于这个平面的平面的方程 x+4y-3z=10 ？

可能的答案:

x+8y-3z=5

2x+4y-3z =5

x+4y-6z=5

没有其他答案

x+4y-3z =5

正确答案:

x+4y-3z =5

解释：

相互平行的平面(如果有的话)只有右边的常数不同(当两边都简化了)。自 x+4y-3z =5 有相同的 x,y,z 系数作为给定平面，它们彼此平行。

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问题8:直线和平面方程

求出圆柱交点曲线的参数表示 9x^2+y^2=9 还有飞机 x+y+z=7 。

可能的答案:

$\vec{r}(t)= \left< \cos t, 3 \sin t, 7-\cos t - 3 \sin t\right>$

$\vec{r}(t)= \left< \cos t, 9 \sin t, 7-\cos t - 9 \sin t\right>$

$\vec{r}(t)= \left< \cos t, \sin t, 7-\cos t - \sin t\right>$

$\vec{r}(t)= \left< \cos t, 3 \sin 3t, 7-\cos t - 3 \sin 3t\right>$

正确答案:

$\vec{r}(t)= \left< \cos t, 3 \sin t, 7-\cos t - 3 \sin t\right>$

解释：

我们可以开始重写圆柱的表达式如下

$9x^2 + y^2 = 9 \Rightarrow x^2 + \left( \frac{y}{3} \right) ^2 = 1$ 。

这告诉我们 $x = \cos t, y = 3 \sin t$ 。把这个代回到平面方程中 x + y + z = 7 找到 $z = 7 - x - y = 7 - \cos t - 3 \sin t$ 。

这就给出了交点曲线的表示形式

$\vec{r}(t)= \left< \cos t, 3 \sin t, 7-\cos t - 3 \sin t\right>$ 。

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问题9:直线和平面方程

求包含以下点的平面的方程

O=(2,3,4)

P=(1,5,3)

Q=(5,2,1)

可能的答案:

x+5y+3z=0

5x-3y+z=4

2x-2y+z=0

5x-6y+7z=20

正确答案:

5x-6y+7z=20

解释：

平面的方程定义为

$n\bullet<x-x_0,y-y_0,z-z_0>=0$

在哪里

是平面的法向量。

为了求法向量，我们首先得到平面上的两个向量

OP=<1-2,5-3,3-4>=<-1,-2,-1>

和

OQ=<5-2,2-3,1-4>=<3,-1,-3>

求出它们的外积。

叉乘被定义为矩阵的行列式

$\begin{vmatrix} i&j &k \\ -1&-2 &-1 \\ 3&-1 &-3 \end{vmatrix}$

这是

$=det(\begin{vmatrix} -2&-1 \\ -1&-3 \end{vmatrix})i-det(\begin{vmatrix} -1&-1 \\ 3&-3 \end{vmatrix})j+det(\begin{vmatrix} -1&-2 \\ 3&-1 \end{vmatrix})k$

=(-2(-3)-(-1)*(-1))i-(-1(-3)-3(-1))j+(-1(-1)-3(-2))k

=5i-6j+7k

它告诉我们法向量是什么

<5,-6,7>

使用点

O=(2,3,4)

求平面方程的法向量等于

$<5,-6,7>\bullet<x-2,y-3,z-4>=0$

5(x-2)+(-6)(y-3)+7(z-4)=0

5x-10-6y+18+7z-28=0

简化后得到平面的方程

5x-6y+7z=20

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问题1:直线和平面方程

求两个平面之间的角度 x+5y-z = 0 和 x+z =0

可能的答案:

74.207

14.282

23.669

67.002

没有其他答案

正确答案:

74.207

解释：

为了求平面之间的夹角，我们求它们的法向量之间的夹角。

我们有

$\mathbf{n}_1 = <1,5,-1>$ ，第一架飞机，和

$\mathbf{n}_2 = <1,0,-1>$ 第二架飞机。

这两个向量的夹角是

$\theta = \cos^{-1}(\frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_1\|\|\mathbf{n}_2\|})$

$= \cos^{-1}(\frac{<1,5,-1> \cdot <1,0,-1>}{\sqrt{1^2+(-5)^2+(-1)^2}\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}})$

$\approx \cos^{-1}(\frac{2}{7.34847}) \approx 74.207$

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