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微积分3:一般区域上的二重积分

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例子问题

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问题1:一般区域上的二重积分

计算下面的积分。

$\int_{0}^{1}\int_{x}^{x^2} xy^2 dydx$

可能的答案:

$-\frac{1}{120}$

120

$-\frac{3}{120}$

$\frac{1}{120}$

正确答案:

$-\frac{3}{120}$

解释：

$\int_{0}^{1}\int_{x}^{x^2} xy^2 dydx=\int_{0}^{1}\Big(\int_{x}^{x^2} xy^2 dy\Big)dx$

我们先处理内积分。

$\int_{x}^{x^2}xy^2 dy$

$\int_{x}^{x^2}xy^2 dy=\frac{1}{3}y^3x\Big|_{x}^{x^2}$

$=(\frac{1}{3}(x^2)^3\cdot x)-(\frac{1}{3}x^3\cdot x)$

$=\frac{1}{3}x^7-\frac{1}{3}x^4$

现在我们在外积分中计算这个表达式。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{3}x^7-\frac{1}{3}x^4dx$

$=\frac{1}{3}\int_{0}^{1} x^7-x^4dx$

$=\frac{1}{3}\Big( \frac{1}{8}x^8-\frac{1}{5}x^5\Big)\Big|_{0}^{1}$

$=\frac{1}{3}\Big(\frac{1}{8}1^8-\frac{1}{5}1^5\Big)-\frac{1}{3}\Big(\frac{1}{8}0^8-\frac{1}{5}0^5\Big)$

$=\frac{1}{3}\Big(\frac{1}{8}-\frac{1}{5}\Big)-\frac{1}{3}\Big(0-0\Big)$

$=\frac{1}{3}\Big(\frac{5}{40}-\frac{8}{40}\Big)$

$=\frac{1}{3}\Big(-\frac{3}{40}\Big)=-\frac{3}{120}$

报告错误

问题2:一般区域上的二重积分

计算函数的定积分 f(x,y) ，如下所示

$f(x,y)= 3x^3\sqrt{y}+ \sin(2x)\cos(4y)$

可能的答案:

无法解决。

$\iint f(x,y)dxdy=\frac{1}{2}x^4y^{3/2}-\frac{1}{8}\cos(2x)\sin(4y)+C$

$\iint f(x,y)dxdy=x^4y^{3/2}-\cos(2x)\sin(4y)+C$

$\iint f(x,y)dxdy=\frac{1}{2}x^4y^{3/2}+\frac{1}{8}\cos(2x)\sin(4y)+C$

$\iint f(x,y)dxdy=\frac{1}{2}x^4y^{3/2}-\frac{1}{8}\cos(2x)\sin(4y)$

正确答案:

$\iint f(x,y)dxdy=\frac{1}{2}x^4y^{3/2}-\frac{1}{8}\cos(2x)\sin(4y)+C$

解释：

因为没有嵌套的术语同时包含这两者和，我们可以把积分写成

$\iint f(x,y)dxdy=\int3x^3dx \int \sqrt{y}dy+\int\sin(2x)dx \int \cos(4y)dy$

这使我们能够计算二重积分和两个独立的单积分的乘积。从单变量微积分的积分规则，我们可以得到结果

$\iint f(x,y)dxdy=\frac{1}{2}x^4y^{3/2}-\frac{1}{12}\cos(2x)\sin(4y)+C$ ．

报告错误

问题1:一般区域上的二重积分

在指定的区域上计算以下积分:

$\int\int_R(x^3y)\:dxdy$

式中，R是由以下条件定义的区域:

$0\leq x \leq 2, \; 1\leq y \leq2$

可能的答案:

7.5

$4\sqrt{2}$

$2\sqrt{2}$

正确答案:

解释：

$\int^2_1\int^2_0(x^3y)\:dxdy=\int^2_1(\frac{x^4y}{4}|^2_0)dy\int^2_14y\:dy =2y^2|^2_1=2(4-1)=2(3)=6$

报告错误

问题1:一般区域上的二重积分

评估:

$\int \int x^2dxdy$

可能的答案:

$\frac{x^3y}{3}+C$

$\frac{x^3}{3}+y+C$

$\frac{x^3}{3}+C$

$\frac{x^2y}{3}+C$

正确答案:

$\frac{x^3y}{3}+C$

解释：

因为被积函数中的x和y项是相互独立的，我们可以把它们移到各自的积分上:

$\int dy \cdot \int x^2dx= \frac{x^3y}{3}+C$

我们使用以下规则进行积分:

$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ， $\int dx=x+C$

报告错误

问题1:一般区域上的二重积分

求下面的积分。

$\int_{0}^{1}\int_{2}^{3}\left (5x^4y \right )dydx$

可能的答案:

$\frac{5}{2}$

正确答案:

$\frac{5}{2}$

解释：

首先，你必须计算关于y的积分(因为符号的关系 dydx ）.

利用积分法则，我们得到

$5x^4\frac{y^2}{2}dx$ ．

从y=2到y=3求值，得到

$5x^4(\frac{9}{2}-\frac{4}{2})dx=\frac{25}{2}x^4dx$ ．

对x积分得到 $\frac{5}{2}x^5$ ，从x=0到x=1求值，得到 $\frac{5}{2}$ ．

报告错误

问题6:一般区域上的二重积分

计算以下积分:

$\int_{1}^{2}\int_{0}^{2}(x^3+y^2)dydx$

可能的答案:

$\frac{120}{15}$

$\frac{130}{12}$

$\frac{122}{12}$

正确答案:

$\frac{122}{12}$

解释：

首先，你必须求关于y的积分并在积分限内求解。

这样做，你得到 $x^3y+\frac{y^3}{3}$ 求出y从0到2的值。

这让你

$\int_{1}^{2}(2x^3+\frac{8}{3})dx$ ．

这次求关于x的积分得到

$\frac{2x^4}{4}+\frac{8}{3}x$ ．

求x从1到2的值

$\frac{122}{12}$ ．

报告错误

问题7:一般区域上的二重积分

求二重积分。

$\int_{0}^{7} \int_{0}^{5} 2x+7\,dxdy$

可能的答案:

365

420

710

125

正确答案:

420

解释：

当解二重积分时，我们先计算里面的积分。

$\int_{0}^{7} \int_{0}^{5} 2x+7\,dxdy=\int_0^7x^2+7x|_{x=0}^{x=5}\,dy$

$=\int_0^75^2+7(5)-0^2+7(0)\,dy$

$=\int_0^760\,dy$

$=60y|_{y=0}^{y=7}$

=420-0

=420

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问题8:一般区域上的二重积分

求二重积分。

$\int_{0}^{6} \int_{0}^{4} 6y+8\,dxdy$

可能的答案:

312

540

624

315

正确答案:

624

解释：

当解二重积分时，我们先计算里面的积分。

$\int_{0}^{6} \int_{0}^{4} 6y+8\,dxdy=\int_0^66xy+8x|_{x=0}^{x=4}\,dy$

$=\int_0^6 6(4)y+8(4)-6(0)y-8(0)\,dy$

$=\int_0^624y+32\,dy$

$=12y^2+32y|_{y=0}^{y=6}$

=12(6)^2+32(6)-[12(0)^2+32(0)]

=624

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问题9:一般区域上的二重积分

求二重积分

$\int_{0}^{3} \int_{0}^{4} 3x+6\,dydx$

可能的答案:

126

324

256

200

正确答案:

126

解释：

当解二重积分时，我们先计算里面的积分。

$\int_{0}^{3} \int_{0}^{4} 3x+6\,dydx=\int_0^33xy+6y|_{y=0}^{y=4}\,dx$

$=\int_0^33x(4)+6(4)-[3x(0)+6(0)]\,dx$

$=\int_0^312x+24\,dx$

$=6x^2+24x|_{x=0}^{x=3}$

=6(3)^2+24(3)-6(0)^2-24(0)

=126

报告错误

问题10:一般区域上的二重积分

求积分 $\int_{1}^{3}\int_{0}^{2}(xy^3)dxdy$

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先，你必须求关于x的积分，这就得到 $y^3\frac{x^2}{2}dy$ 评估从 x=0 来 x=2 ．这就变成了 $\int_{1}^{3}2y^3dy$ ．解关于y的积分得到 $\frac{1}{2}y^4$ ．评估从 y=1 来 y=3 ，你得到 $\frac{1}{2}(\frac{3^4}{4}-\frac{1}{4})=10$ ．

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