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微积分3:散度定理

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例子问题

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问题1:散度定理

求函数的散度 $F(x,y)=(3x+5y)\widehat{i}+5xy^2\widehat{j}$ 在 (-1,2)

可能的答案:

正确答案:

解释：

散度可以看作是对给定点上矢量场源或汇大小的度量。

想象一下，在一个装满水的浴缸里有一个敞开的排水管;这个排水沟可能代表一个“水槽”，而浴缸中每个特定点的所有速度都代表向量场。靠近排水管处，速度会比远离排水管处的速度大。

Vectorfield

散度可以计算的是什么这个速度是在一个给定的点。同样，向量场的大小。

我们已知这个函数

$F(x,y)=(3x+5y)\widehat{i}+5xy^2\widehat{j}$ 在 (-1,2)

我们要做的就是对每个向量元素对它的变量求导 $(\widehat{i}:x,\widehat{j}:y)$

然后把结果加起来:

$divF(x,y)=(3)+(10xy)\rightarrow -17$

问题1:散度定理

求函数的散度 $F(x,y)=5y^2\widehat{i}+3x\widehat{j}$ 在 (3,4)

可能的答案:

正确答案:

解释：

散度可以看作是对给定点上矢量场源或汇大小的度量。

想象一下，在一个装满水的浴缸里有一个敞开的排水管;这个排水沟可能代表一个“水槽”，而浴缸中每个特定点的所有速度都代表向量场。靠近排水管处，速度会比远离排水管处的速度大。

Vectorfield

散度可以计算的是什么这个速度是在一个给定的点。同样，向量场的大小。

我们已知这个函数

$F(x,y)=5y^2\widehat{i}+3x\widehat{j}$ 在 (3,4)

我们要做的就是对每个向量元素对它的变量求导 $(\widehat{i}:x,\widehat{j}:y)$

然后把结果加起来:

$divF(x,y)=(0)+(0)\rightarrow 0$

问题3:散度定理

求函数的散度 $F(x,y)=2x^3y^2\widehat{i}+x^2\widehat{j}$ 在 (1,3)

可能的答案:

正确答案:

解释：

散度可以看作是对给定点上矢量场源或汇大小的度量。

想象一下，在一个装满水的浴缸里有一个敞开的排水管;这个排水沟可能代表一个“水槽”，而浴缸中每个特定点的所有速度都代表向量场。靠近排水管处，速度会比远离排水管处的速度大。

Vectorfield

散度可以计算的是什么这个速度是在一个给定的点。同样，向量场的大小。

我们已知这个函数

$F(x,y)=2x^3y^2\widehat{i}+x^2\widehat{j}$ 在 (1,3)

我们要做的就是对每个向量元素对它的变量求导 $(\widehat{i}:x,\widehat{j}:y)$

然后把结果加起来:

$divF(x,y)=(6x^2y^2)+(0)\rightarrow 54$

问题1:散度定理

求函数的散度 $F(x,y)=3xy\widehat{i}+2y\widehat{j}$ 在 (2,4)

可能的答案:

正确答案:

解释：

散度可以看作是对给定点上矢量场源或汇大小的度量。

想象一下，在一个装满水的浴缸里有一个敞开的排水管;这个排水沟可能代表一个“水槽”，而浴缸中每个特定点的所有速度都代表向量场。靠近排水管处，速度会比远离排水管处的速度大。

Vectorfield

散度可以计算的是什么这个速度是在一个给定的点。同样，向量场的大小。

我们已知这个函数

$F(x,y)=3xy\widehat{i}+2y\widehat{j}$ 在 (2,4)

我们要做的就是对每个向量元素对它的变量求导 $(\widehat{i}:x,\widehat{j}:y)$

然后把结果加起来:

$divF(x,y)=(3y)+(2)\rightarrow 14$

问题1:散度定理

求函数的散度 $F(x,y)=(x^2+xy)\widehat{i}+3x^3\widehat{j}$ 在 (-2,5)

可能的答案:

正确答案:

解释：

散度可以看作是对给定点上矢量场源或汇大小的度量。

想象一下，在一个装满水的浴缸里有一个敞开的排水管;这个排水沟可能代表一个“水槽”，而浴缸中每个特定点的所有速度都代表向量场。靠近排水管处，速度会比远离排水管处的速度大。

Vectorfield

散度可以计算的是什么这个速度是在一个给定的点。同样，向量场的大小。

我们已知这个函数

$F(x,y)=(x^2+xy)\widehat{i}+3x^3\widehat{j}$ 在 (-2,5)

我们要做的就是对每个向量元素对它的变量求导 $(\widehat{i}:x,\widehat{j}:y)$

然后把结果加起来:

$divF(x,y)=(2x+y)+(0)\rightarrow1$

问题6:散度定理

求函数的散度 $F(x,y)=(3x+3y)\widehat{i}+(2x+2y)\widehat{j}$ 在 (2,3)

可能的答案:

正确答案:

解释：

散度可以看作是对给定点上矢量场源或汇大小的度量。

想象一下，在一个装满水的浴缸里有一个敞开的排水管;这个排水沟可能代表一个“水槽”，而浴缸中每个特定点的所有速度都代表向量场。靠近排水管处，速度会比远离排水管处的速度大。

Vectorfield

散度可以计算的是什么这个速度是在一个给定的点。同样，向量场的大小。

我们已知这个函数

$F(x,y)=(3x+3y)\widehat{i}+(2x+2y)\widehat{j}$ 在 (2,3)

我们要做的就是对每个向量元素对它的变量求导 $(\widehat{i}:x,\widehat{j}:y)$

然后把结果加起来:

$divF(x,y)=(3)+(2)\rightarrow5$

问题7:散度定理

求函数的散度 $F(x,y,z)=3xy^3\widehat{i}+4xz\widehat{j}+5x^3y\widehat{k}$ 在 (3,2,5)

可能的答案:

167

129

正确答案:

解释：

散度可以看作是对给定点上矢量场源或汇大小的度量。

想象一下，在一个装满水的浴缸里有一个敞开的排水管;这个排水沟可能代表一个“水槽”，而浴缸中每个特定点的所有速度都代表向量场。靠近排水管处，速度会比远离排水管处的速度大。

Vectorfield

散度可以计算的是什么这个速度是在一个给定的点。同样，向量场的大小。

我们已知这个函数

$F(x,y,z)=3xy^3\widehat{i}+4xz\widehat{j}+5x^3y\widehat{k}$ 在 (3,2,5)

我们要做的就是对每个向量元素对它的变量求导 $(\widehat{i}:x,\widehat{j}:y,\widehat{k}:z)$

然后把结果加起来:

$divF(x,y,z)=(3y^3)+(0)+(0)\rightarrow24$

问题8:散度定理

求函数的散度 $F(x,y,z)=4yz^2\widehat{i}+2xyz\widehat{j}+3xz\widehat{k}$ 在 (-2,0,4)

可能的答案:

正确答案:

解释：

散度可以看作是对给定点上矢量场源或汇大小的度量。

想象一下，在一个装满水的浴缸里有一个敞开的排水管;这个排水沟可能代表一个“水槽”，而浴缸中每个特定点的所有速度都代表向量场。靠近排水管处，速度会比远离排水管处的速度大。

Vectorfield

散度可以计算的是什么这个速度是在一个给定的点。同样，向量场的大小。

我们已知这个函数

$F(x,y,z)=4yz^2\widehat{i}+2xyz\widehat{j}+3xz\widehat{k}$ 在 (-2,0,4)

我们要做的就是对每个向量元素对它的变量求导 $(\widehat{i}:x,\widehat{j}:y,\widehat{k}:z)$

然后把结果加起来:

$divF(x,y,z)=(0)+(2xz)+(3x)\rightarrow-22$

问题9:散度定理

求函数的散度 $F(x,y,z)=2xz^2\widehat{i}+xy\widehat{j}-z^3\widehat{k}$ 在 (4,1,-1)

可能的答案:

正确答案:

解释：

散度可以看作是对给定点上矢量场源或汇大小的度量。

想象一下，在一个装满水的浴缸里有一个敞开的排水管;这个排水沟可能代表一个“水槽”，而浴缸中每个特定点的所有速度都代表向量场。靠近排水管处，速度会比远离排水管处的速度大。

Vectorfield

散度可以计算的是什么这个速度是在一个给定的点。同样，向量场的大小。

我们已知这个函数

$F(x,y,z)=2xz^2\widehat{i}+xy\widehat{j}-z^3\widehat{k}$ 在 (4,1,-1)

我们要做的就是对每个向量元素对它的变量求导 $(\widehat{i}:x,\widehat{j}:y,\widehat{k}:z)$

然后把结果加起来:

$divF(x,y,z)=(2z^2)+(x)+(3z^2)\rightarrow9$

问题1:散度定理

求函数的散度 $F(x,y,z)=9xyz\widehat{i}-x^2z^2\widehat{j}+3xyz\widehat{k}$ 在 (0,1,2)

可能的答案:

正确答案:

解释：

散度可以看作是对给定点上矢量场源或汇大小的度量。

想象一下，在一个装满水的浴缸里有一个敞开的排水管;这个排水沟可能代表一个“水槽”，而浴缸中每个特定点的所有速度都代表向量场。靠近排水管处，速度会比远离排水管处的速度大。

Vectorfield

散度可以计算的是什么这个速度是在一个给定的点。同样，向量场的大小。

我们已知这个函数

$F(x,y,z)=9xyz\widehat{i}-x^2z^2\widehat{j}+3xyz\widehat{k}$ 在 (0,1,2)

我们要做的就是对每个向量元素对它的变量求导 $(\widehat{i}:x,\widehat{j}:y,\widehat{k}:z)$

然后把结果加起来:

$divF(x,y,z)=(9yz)+(0)+(3xy)\rightarrow18$

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