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微积分2:向量计算

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例子问题

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问题1:向量的计算

求以下两个向量的外积:

$\vec{a}=\left \langle -4,3,-1 \right \rangle$

$\vec{b}=\left \langle 7,-2,3 \right \rangle$

可能的答案:

$\left \langle 4,-2,17 \right \rangle$

$\left \langle 7,5,-13 \right \rangle$

$\left \langle 5,-2,-1 \right \rangle$

$\left \langle 12,4,7 \right \rangle$

$\left \langle -6,8,11 \right \rangle$

正确答案:

$\left \langle 7,5,-13 \right \rangle$

解释：

我们通过建立下面的矩阵得到这两个向量的外积:

$\begin{bmatrix} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\-4 &3 &-1 \\7 &-2 &3 \end{bmatrix}$

第一行代表单位向量，第二行代表向量a，第三行代表向量b外积的第一个分量是通过取剩下的矩阵的行列式得到的通过划掉行和列在哪里 $\vec{i}$ 所在地。因此，我们的第二和第三个分量是通过减去剩下的矩阵的行和列来求行列式的 $\vec{j}$ 和 $\vec{k}$ 分别位于。这个过程给了我们下面这个简单的表达式来表示两个向量的外积，我们可以代入向量的分量来求外积:

$\vec{a}\times \vec{b}=\left \langle a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1 \right \rangle$

$=\left \langle (3)(3)-(-1)(-2),(-1)(7)-(-4)(3),(-4)(-2)-(3)(7) \right \rangle$

$=\left \langle 7,5,-13 \right \rangle$

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问题1:向量的计算

计算点积: $\left \langle 3,2\right \rangle\cdot\left \langle -6,9\right \rangle$

可能的答案:

$\left \langle -3,11\right \rangle$

$\left \langle -18,18\right \rangle$

$\left \langle 0,0\right \rangle$

正确答案:

解释：

让向量 $\vec{a}=\left \langle a1,a2\right \rangle$ 和 $\vec{b}=\left \langle b1,b2\right \rangle$ ．

点积等于:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = a1\cdot b1+ a2\cdot b2$

对于当前的问题，遵循这条规则，进行简化。

$\left \langle 3,2\right \rangle\cdot\left \langle -6,9\right \rangle = (3)(-6)+(2)(9)=0$

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问题3:向量的计算

评估: $\left \langle3,-1,2 \right \rangle \cdot \left \langle -2,4,5\right \rangle$

可能的答案:

$\left \langle 1,3,7\right \rangle$

$\left \langle -6,-4,10\right \rangle$

正确答案:

解释：

让向量 $\vec{a}=\left \langle a1,a2,a3\right \rangle$ 和 $\vec{b}=\left \langle b1,b2,b3\right \rangle$ ．

用下面的公式来解这个点积:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = a1\cdot b1+ a2\cdot b2+a3\cdot b3$

代入并求解。

$\left \langle3,-1,2 \right \rangle \cdot \left \langle -2,4,5\right \rangle=(3)(-2)+(-1)(4)+(2)(5 )=0$

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问题4:向量的计算

计算外积: $(i-j)\times-k$

可能的答案:

i-k

i+j

-j+k

i-j

i-j-k

正确答案:

i+j

解释：

这些向量可以写成如下形式:

$\begin{vmatrix} i& j& k\\ 1&-1 &0 \\ 0& 0& -1 \end{vmatrix}$

求解3 × 3行列式的一种方法是把它分解成2 × 2行列式。2 × 2矩阵的行列式由 ad-bc ，这样:

$D=\begin{vmatrix} a&b \\ c& d \end{vmatrix}$

重写3 × 3行列式。

$=i\begin{vmatrix} -1& 0\\ 0&-1 \end{vmatrix}- j\begin{vmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{vmatrix}+k\begin{bmatrix} 1&-1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$

=i[(-1)(-1)-0] -j[(1)(-1)-0]+k[0]

= i[1]-j[-1]

= i+j

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问题5:向量的计算

弹弓射石头英尺每秒，仰角为度。水平分量和竖直分量的矢量形式是什么?

可能的答案:

$\left \langle -9.848,-1.736\right \rangle$

$\left \langle -9.848,1.736\right \rangle$

$\left \langle -8.391,-5.440\right \rangle$

$\left \langle 9.848,1.736\right \rangle$

$\left \langle 8.391,5.440\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle 9.848,1.736\right \rangle$

解释：

水平和垂直分量如下图:

$Vx=Vcos\Theta$

$Vy=Vsin\Theta$

把速度和给定的角度代入方程。

$Vx=Vcos\Theta=10cos(10) = 9.848$

$Vy=Vsin\Theta = 10sin(10)=1.736$

因此，矢量形式的分量为 $\left \langle 9.848,1.736\right \rangle$ ．

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问题6:向量的计算

求点积 $\left \langle 1,6\right \rangle$ 和 $\left \langle 1,6\right \rangle$ ．

可能的答案:

$\infty$

正确答案:

解释：

让向量 $\vec{a}=\left \langle a1,a2\right \rangle$ 和 $\vec{b}=\left \langle b1,b2\right \rangle$ ．

点积的公式是:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = a1\cdot b1+ a2\cdot b2$

按照这个公式进行简化。

$\left \langle 1,6\right \rangle\cdot\left \langle 1,6\right \rangle = (1)(1)+(6)(6)=37$

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问题7:向量的计算

解决: $\left \langle 3,4,5\right \rangle\cdot\left \langle1,2,3 \right \rangle$

可能的答案:

$\left \langle 4,6,8\right \rangle$

$\left \langle 3,8,15\right \rangle$

$\left \langle 2,-4,2\right \rangle$

正确答案:

解释：

这个问题 $\left \langle 3,4,5\right \rangle\cdot\left \langle1,2,3 \right \rangle$ 是点积的形式。最后的答案必须是整数，而不是向量形式。

写出点积的公式。

$\left \langle a_1,a_2,a_3\right \rangle\cdot\left \langle b_1,b_2,b_3\right \rangle=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

代入已知解。

(3)(1)+(4)(2)+(5)(3)=3+8+15=26

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问题8:向量的计算

假设 $\vec{a}= \left \langle 2,4,-3\right \rangle$ ．求的大小 $2\vec{a}$ ．

可能的答案:

$\sqrt{69}$

$2\sqrt{29}$

$\sqrt{29}$

正确答案:

$2\sqrt{29}$

解释：

计算 $2\vec{a}$ ．

$\vec{a}= \left \langle 2,4,-3\right \rangle$

$2\vec{a}= \left \langle 4,8,-6\right \rangle$

求大小。

$|2\vec{a}|=\sqrt{4^2+8^2+(-6)^2}=\sqrt{16+64+36}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$

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问题9:向量的计算

两个粒子在二维空间中自由运动。第一个粒子的位置作为时间的函数是 $\small \left<3t^{2}-t,4\right>$ ，第二个粒子的位置是 $\small \small \left<6,t+1/t\right>$ ．粒子会碰撞吗 $\small t>0$ ？

可能的答案:

无法确定

不，因为粒子从来没有相同的 $\small x$ 或 $\small y$ 组件(不一定同时)。

是的，因为粒子 $\small x$ 和 $\small y$ 坐标在某一时刻同时是相同的。

不，因为粒子 $\small x$ 和 $\small y$ 坐标在任何时刻都不可能同时相同。

是的，因为粒子有相同的 $\small x$ 或 $\small y$ 组件(不一定同时)。

正确答案:

不，因为粒子 $\small x$ 和 $\small y$ 坐标在任何时刻都不可能同时相同。

解释：

为了使粒子碰撞，它们的 $\small x$ 和 $\small y$ 坐标必须同时相等。为了检查这种情况是否会发生，我们可以设置粒子 $\small x$ 坐标和 $\small y$ -坐标彼此相等。

让我们从 $\small x$ 坐标:

$\small \small \small 3t^{2}-t=6\rightarrow 3t^2-t-6=0$ ．

使用二次公式

$\small \small t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ，我们得到 $\small \small t=\frac{1+\sqrt{73}}{6}\approx1.59$

另一个根是负的，所以它可以被丢弃，因为 $\small t>0$ ．

现在我们来做 $\small y$ 坐标: $\small \small t+1/t=4\rightarrow t^2+1=4t\rightarrow t^2-4t+1=0$ ．再用二次方程来解 $\small t$ ，你会得到 $\small 2\pm\sqrt{3}$ (这些根近似 $\small 0.27$ 和 $\small 3.73$ ）.粒子永远不会相同 $\small x$ 和 $\small y$ 同时协调，这样它们就不会碰撞。

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问题10:向量的计算

$\vec{a}=<3,2,1>$

$\vec{b}=<1,0,10>$

计算 $\vec{a}\cdot\vec{b}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

$\vec{a}=<3,2,1>$

$\vec{b}=<1,0,10>$

$\vec{a}\cdot\vec{b}$ 就是这两个向量的点积。数学上，这是计算如下。

$(3\cdot 1)+(2\cdot 0)+(1\cdot 10)$ =13

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