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微积分2:用代换法解积分

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例子问题

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例子问题1:用代换法解积分

求解下面的积分。

$\int xsin(x^2)dx$

可能的答案:

$-\frac{1}{2}cos(x^2)+c$

-cos(x^2)+c

$-\frac{1}{2}cos(u)+c$

$\frac{1}{2}cos(x^2)+c$

$-\frac{1}{2}sin(x^2)+c$

正确答案:

$-\frac{1}{2}cos(x^2)+c$

解释:

为了解决这个问题，我们需要用u替换。知道这一点的关键是注意到我们有两个和一个 x^2 项，假设我们可以对它求导 x^2 这项可以约掉术语。让我们仔细看看。

让我们选择在这个问题中 x^2 ．我们需要计算项，因为我们从x变量转换到u变量。

u=x^2

$\frac{du}{dx}=2x,dx=\frac{du}{2x}$

让我们回顾一下最初的问题，开始做替换。

$\int xsin(x^2)dx=\int xsin(u)\frac{du}{2x}$

注意这里的x消掉了，只剩下一个u变量的积分。

$\frac12 \int sin(u)du$

这是一个很简单的积分

$-\frac12 cos(u)+c$ ．现在我们要做的就是把u替换成原来的变量。 u=x^2

$-\frac12 cos(x^2)+c$

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例子问题1:用代换法解积分

评估:

$\int \frac{2x-3}{2x^2-6x}dx$

可能的答案:

$\frac{1}{2}ln\left | x^2-3x\right |+C$

$\frac{1}{2}ln\left | 2x^2-6x\right |+C$

$\frac{1}{4}ln\left | x^2-3x\right |+C$

$\frac{1}{4}ln\left | 2x^2-6x\right |+C$

$ln\left | x^2-3x\right |+C$

正确答案:

$\frac{1}{2}ln\left | x^2-3x\right |+C$

解释:

这个问题 $\int \frac{2x-3}{2x^2-6x}dx$ 是u替换问题。这个词可能不容易看出来，但是项必须等于 $2x-3\: dx$ ．

通过取来分解分母公因式。

2x^2-6x= 2(x^2-3x)

重写积分。

$\int \frac{2x-3}{2x^2-6x}dx =\int \frac{2x-3}{2(x^2-3x)}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x-3}{(x^2-3x)}dx$

u=x^2-3x

$du=2x-3\: dx$

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du=\frac{1}{2}ln\left | u\right |+C$

Resubstitute．

$\frac{1}{2}ln\left | x^2-3x\right |+C$

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例子问题3:用代换法解积分

$z(x)=\int (8x+2)e^{2x^2+x+17}dx$

是什么 z(x)?

可能的答案:

$(4x+1)e^{4x+1}+c$

$2e^{2x^2+x+17}+c$

$(8x+2)e^{2x^2+x+17}+c$

$e^{4x+1}+c$

$e^{2x^2+x+17}+c$

正确答案:

$2e^{2x^2+x+17}+c$

解释:

虽然积分看起来很复杂，但我们可以看到指数的多项式和指数前面的多项式之间可能存在的关系。

让我们创建

u=2x^2 + x+ 17

$\frac{du}{dx}=4x+1$

$dx=\frac{du}{4x+1}$

现在我们来看看原始的积分来做替换。

$\int (8x+2)e^{2x^2+x+17}dx=\int (8x+2)e^{u}\frac{du}{4x+1}$ ．

乍一看，似乎没有什么可以抵消，但仔细看，我们可以看到 (8x+2) Term实际上可以简化为 2(4x+1) ，可以和分母约掉。

$\int2e^udu$ 我们的新积分，会得到什么

2e^u+c ．现在用u代入之前的式子。

$2e^{2x^2+x+17}+c$

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问题4:用代换法解积分

解决: $\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\: dx$

可能的答案:

$\sqrt{x+2}\left[\frac{1}{2}x-\frac{4}{3}\right]+C$

$\sqrt{x+2}\left[\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}\right]+C$

$2x\sqrt{x+2}+C$

xln|x+2|+C

$\sqrt{x+2}[ln|x+2|]+C$

正确答案:

$\sqrt{x+2}\left[\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}\right]+C$

解释:

评估 $\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\: dx$ ，使用u替换。

让 u=x+2 ，这也意味着 x=u-2 ．求导数，然后求．

du=dx

把积分写成而且，并分离成两个积分。

$\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\: dx= \int \frac{u-2}{\sqrt u}\:du=\int u^\frac{1}{2} \:du-2\int u^{-\frac{1}{2}}\:du$

求这两个积分。

$\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-4u^{\frac{1}{2}}+C$

Re-substitute．

$\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}-4(x+2)^{\frac{1}{2}}+C$

把公因式提出来 $(x+2)^{\frac{1}{2}}$ ．

$=(x+2)^{\frac{1}{2}}\left[\frac{2}{3}(x+2)-4\right]+C$

$=(x+2)^{\frac{1}{2}}\left[\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}-\frac{12}{3}\right]+C$

$=\sqrt{x+2}\left[\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}\right]+C$

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例5:用代换法解积分

求如下积分:

$\small \int_{0}^{\pi/2 } \frac{2sin\theta}{\sqrt{cos\theta }}d\theta$ ．

可能的答案:

$\small 3$

$\small 2$

$\small 0$

$\small 4$

$\small 1$

正确答案:

$\small 4$

解释:

为了解决这个问题，我们必须使用 $\small u$ 替换。

因为 $\small \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta }(cos\theta )=-sin\theta$ ，我们应该让 $\small u=cos\theta$ 因此, $\small sin\theta$ 可以约掉。

现在我们可以把积分换成 $\small \small \small \int_{0}^{\pi /2} \frac{2sin\theta }{\sqrt{u}}d\theta$ ．

我们知道 $\small u=cos\theta$ ,所以 $\small \small \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \theta }=-sin\theta$ ，这意味着 $\small d\theta=\frac{du}{-sin\theta }$ ．

我们可以把它代入 $\small d\theta$ 在积分中 $\small \small \small \small \int \frac{2sin\theta }{\sqrt{u}}\frac{du}{-sin\theta }$ ．

的 $\small sin\theta$ 可以取消 $\small \small \small \small \small \int \frac{-2 }{\sqrt{u}}du$ ．

积分的极限被省略了因为积分现在是关于 $\small u$ ，所以极限改变了。这个积分现在可以用幂法则求解 $\small \small \small \int au^{n}du=\frac{a}{n+1}u^{n+1}+c$

这将给你 $\small \small \small -4\sqrt{u}+c$ ．

现在我们可以代入 $\small cos\theta$ 又回来了 $\small u$ 得到 $\small -4\sqrt{cos\theta }+c$ ．我们现在可以回到极限来计算，因为我们用的是 $\small \theta$ 这也是我们最初的极限。

$\small \small \small -4\sqrt{cos(\pi/2) }+c\left-\small \small (-4\sqrt{cos(0) }+c\left)=c-(-4+c)=c+4-c=4$

提示:无论何时做 $\small u$ -代换，不要用极限直到你用原始变量。

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例子问题6:用代换法解积分

求解下面的积分。

$\int{\frac{x}{2(1+x^2)}dx}$

可能的答案:

$\frac{(1+x^2)}{2}+C$

$\frac{1}{4}ln(1+x^2)+C$

$ln\left(\frac{(1+x^2)^2}4\right)+C$

$\frac{(1+x^2)^2}{2}+C$

$ln\left(\frac{(1+x^2)}2\right)+C$

正确答案:

$\frac{1}{4}ln(1+x^2)+C$

解释:

这里，我们可以用u替换。我们将设置 u=1+x^2 我们提出因子 $\frac{1}{2}$ 在积分外。

现在我们来计算一下 du.

du=2xdx

解出dx。

$dx=\frac{du}{2x}$ ．

把这些值代入积分

$\frac{1}{2}\int{\frac{x}{u}\frac{du}{2x}}$ ．

我们现在看到消掉了，就只剩下u的积分。

$\frac{1}{4}\int{\frac{1}{u}du}=\frac{1}{4}ln(u) +C$ ．

我们只需要把u替换成它的原值，这样做就得到了最终的解。

$\frac{1}{4}ln(1+x^2)+C$

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示例问题7:用代换法解积分

求不定积分:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}}$

可能的答案:

$2(1-4x^2)^{\frac{1}{2}}+C$

$\frac{1}{2}\sin^{-1}(2x)+C$

$\frac{1}{2}\cos^{-1}(2x)+C$

$\sin^{-1}(2x)+C$

正确答案:

$\frac{1}{2}\sin^{-1}(2x)+C$

解释:

为了求解下面的积分，我们必须做一个替换，得到下面的一般形式:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\sin^{-1}(x)+C$

我们做如下替换:

u=2x, du=2dx

用下面的规则求导数:

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

积分现在是这样的:

$\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$

注意它和我们想要的积分形式是一样的。

现在使用上面的表格进行积分:

$\frac{1}{2}\sin^{-1}(u)+C$

为了完成这个问题，将u替换为2x:

$\frac{1}{2}\sin^{-1}(2x)+C$ ．

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例8:用代换法解积分

化简下面的不定积分。

$\small \int (\ln x)^2 dx$

可能的答案:

$\small e^x(x^2-2x+2)+C$

$\small \small \small \small x((\ln x )^2+2\ln x-2)+C$

$\small \small \small x((\ln x )^2-2\ln x+2)+C$

$\small e^x((\ln x)^2-2\ln x+2)+C$

正确答案:

$\small \small \small x((\ln x )^2-2\ln x+2)+C$

解释:

我们可以化简

$\small \int (\ln x)^2 dx$

首先做替换，用 $\small u=\ln x$ ，这让我们 $\small e^u=x$ ，这意味着 $\small e^udu=dx$ ．积分就变成了

$\small \small \int (\ln x)^2 dx=\int u^2e^u du$

积分 $\small \small \int u^2 e^u du$ 可以用二次分部积分来解，会得到什么

$\small \small \small \small \int u^2 e^u du=e^u(u^2-2u+2)+C$

现在我们只需代入 $\small \ln x$ 成 $\small u$ 而且 $\small x$ 成 $\small e^u$ 得到

$\small \small \small \small \int (\ln x)^2 dx=\int u^2e^u du=e^u(u^2-2u+2)+C=x((\ln x )^2-2\ln x+2)+C$

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问题9:用代换法解积分

计算积分: $\int_{2}^{6}\frac{2}{3xln^3(x)} \:dx$

可能的答案:

$\frac{1}{3ln^2(2)}-\frac{1}{3ln^2(6)}$

$\frac{1}{3ln^2(2)}+\frac{1}{3ln^2(6)}$

$\frac{2}{3ln^2(2)}-\frac{2}{3ln^2(6)}$

$\frac{2}{3ln^2(6)}-\frac{2}{3ln^2(2)}$

$\frac{1}{3ln^2(6)}-\frac{1}{3ln^2(2)}$

正确答案:

$\frac{1}{3ln^2(2)}-\frac{1}{3ln^2(6)}$

解释:

把常数提出来放在积分前面。

$\int_{2}^{6}\frac{2}{3xln^3(x)} \:dx=\frac{2}{3}\int_{2}^{6}\frac{1}{xln^3(x)} \:dx$

用u替换来求解。

u=ln(x)

$du=\frac{1}{x}\:dx$

$\frac{2}{3}\int_{2}^{6}\frac{1}{xln^3(x)} \:dx= \frac{2}{3}\int u^{-3}\:du= \frac{2}{3}\left[ \frac{u^{-2}}{-2}\right]=-\frac{1}{3}\left[\frac{1}{ln^2(u)}\right]_{2}^{6}$

$-\frac{1}{3}\left[\frac{1}{ln^2(6)}-\frac{1}{ln^2(2)}\right]=\frac{1}{3ln^2(2)}-\frac{1}{3ln^2(6)}$

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例子问题1:用代换法解积分

求不定积分:

$\int \frac{dx}{\sqrt{2x+3}}$

可能的答案:

$\frac{\sqrt{2x+3}}{2}+C$

$\tan^{-1}(2x+3)+C$

$\sqrt{2x+3}+C$

$\ln \left | \sqrt{2x+3} \right |+C$

正确答案:

$\sqrt{2x+3}+C$

解释:

积分可以用一个巧妙的替换来求解:

$u=\sqrt{2x+3}, du=(2x+3)^{-\frac{1}{2}}dx$

用以下规则求导数:

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$ ， $\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

然后，当你用u重写这个积分时，你会发现你得到:

$\int du = u+C$

使用以下规则进行集成:

$\int dx=x+C$

最后，把u替换成原来的一项。

$\sqrt{2x+3}+C$

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