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例子问题

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例子问题1:参数，极坐标和向量函数

重写为笛卡尔方程:

$x = t^{2} + 2t + 1, y = t^{2} - 2t + 1, t \in [-1, 1]$

可能的答案:

y = x - 2

$y = x + 4 - 4\sqrt{x}$

$y = x - 4 - 4\sqrt{x}$

y = x+2

$y = x + 4 + 4\sqrt{x}$

正确答案:

$y = x + 4 - 4\sqrt{x}$

解释：

$x = t^{2} + 2t + 1$

$x = \left ( t + 1\right )^{2}$

$\pm \sqrt{x} = t + 1$

所以

$\sqrt{x} = t + 1$ 或 $-\sqrt{x} = t + 1$

我们在限制到价值 $\left [ -1, 1\right ]$ ,所以 t + 1 是负的;我们选择

$\sqrt{x} = t + 1$ ．

同时,

$y = t^{2} - 2t + 1$

$y= \left ( t - 1\right )^{2}$

$\sqrt{y} = \pm \left ( t - 1\right )$

所以

$\sqrt{y} = t- 1$ 或 $-\sqrt{y} = t- 1$

我们在限制到价值 $\left [ -1, 1\right ]$ ,所以 t - 1 是负的;我们选择

$-\sqrt{y} = t- 1$

或者说,

$\sqrt{y} = -t+ 1$

为了使 t - 1 负的。

然后,

$\sqrt{x}+ \sqrt{y} = (t + 1) + (-t + 1)$

而且

$\sqrt{x}+ \sqrt{y} = 2$

$\sqrt{y} = 2 - \sqrt{x}$

$y =\left ( 2 - \sqrt{x} \right )^2$

$y = 4 - 4\sqrt{x} + \left (\sqrt{x} \right )^{2}$

$y = x + 4 - 4\sqrt{x}$

例子问题1:参数，极坐标和向量

用笛卡尔式表示:

$x = \cos 2t, y = \sin t$

可能的答案:

$x - 2y^{2} = 1$

x + 2y = 1

x - 2y = 1

$x + 2y^{2} = 1$

$x = 2y^{2}$

正确答案:

$x + 2y^{2} = 1$

解释：

重写利用倍角公式:

$x = \cos 2t =1 - 2\sin ^{2} t = 1 - 2y^{2}$

然后

$x = 1 - 2y^{2}$

$x + 2y^{2} = 1$

这是正确的选择。

例子问题2:参数，极坐标和向量

用笛卡尔式表示:

$x = 3t, y = 2t^{2}$

可能的答案:

$y = \frac{2}{9} x^{2}$

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

$x^{2}+ y^{2} = 36$

$y = \frac{9}{2} x^{2}$

正确答案:

$y = \frac{2}{9} x^{2}$

解释：

x = 3t ,所以

$x^{2} = (3t)^{2} = 9t^{2} = \frac{9}{2} \cdot 2t^{2} = \frac{9}{2} y$ ．

$\frac{9}{2} y= x^{2}$ ,所以

$\frac{2}{9}\cdot \frac{9}{2} y = \frac{2}{9}x^{2}$

$y = \frac{2}{9}x^{2}$

例子问题3:参数，极坐标和向量

用笛卡尔式表示:

x = 2t - 1

y = 4t+2

可能的答案:

y = 2x

y = 2x - 4

$y = \frac{1}{2}x - 2$

$y = \frac{1}{2}x + 2$

y = 2x + 4

正确答案:

y = 2x + 4

解释：

y = 4t+2 = 4t - 2 + 4 = 2 (2t - 1)+ 4 = 2x + 4 ，

所以笛卡尔方程是

y = 2x + 4 ．

问题4:参数，极坐标和向量

用笛卡尔式表示:

$x = \ln (t+1)$

y = t^2 + 2t + 2

$t \in (-1, \infty )$

可能的答案:

$y = e^{2x}+ 2$

$y = e^{2x} + 1$

$y = e^{2x} + e$

$y = e^{2x} - 1$

$y = e^{2x} - e$

正确答案:

$y = e^{2x} + 1$

解释：

$x = \ln (t+1)$

所以

$e ^{x} = \left [ \ln (t+1) \right ] ^{x}$

$e ^{x} = t + 1$

$y = t^2 + 2t + 2 = t^2 + 2t + 1 + 1 = (t + 1)^{2}+ 1 = \left (e^{x} \right )^{2} + 1 = e^{2x} + 1$

所以笛卡尔方程是 $y = e^{2x} + 1$ ．

例子问题2:参数，极坐标和向量函数

重写为笛卡尔方程:

$x =10^ {t}, y = \sinh t, t \in (0,\infty )$

可能的答案:

$y = \frac{ 2x ^{2 \log e} -1}{2 x ^{\log e}}$

$y = \frac{ x ^{2 \log e} }{2 x ^{\log e}}$

$y = \frac{ x ^{2 \log e} -1}{ x ^{2 \log e} + 1}$

$y = \frac{ x ^{2 \log e} -1}{2 x ^{\log e}}$

$y = \frac{ x ^{2 \log e} +1}{2 x ^{\log e}}$

正确答案:

$y = \frac{ x ^{2 \log e} -1}{2 x ^{\log e}}$

解释：

$y = \sinh t = \frac{e ^{2t} -1}{2e ^{t}} = \frac{\left (e ^{ t} \right) ^{2} -1}{2e ^{t}}$

$e^{t} = 10 ^{\log e \cdot t} =\left ( 10 ^{ t} \right )^{\log e} = x ^{\log e}$ ,所以

$y = \frac{\left ( x ^{\log e} \right) ^{2} -1}{2 x ^{\log e}}= \frac{ x ^{2 \log e} -1}{2 x ^{\log e}}$

这就得到了笛卡尔方程

$y = \frac{ x ^{2 \log e} -1}{2 x ^{\log e}}$ ．

例子问题1:参数形式

$\small x=3t+4$ 而且 $\small y=1/t$ ．是什么 $\small y$ 在这方面 $\small x$ (矩形形式)?

可能的答案:

$\small y=(x-3)/4$

$\small y=(x-4)/3$

$\small y=4/(x-3)$

$\small y=3/(x-4)$

正确答案:

$\small y=3/(x-4)$

解释：

为了解决这个问题，我们必须隔离 $\small t$ 在两个方程中。

$\small \small x=3t+4\rightarrow t=(x-4)/3$ 而且

$\small y=1/t\rightarrow t=1/y$ ．

现在我们可以令这两个方程的右边相等因为它们都相等 $\small t$ ．

$\small (x-4)/3=1/y$ ．

两边同时乘以 $\small 3y/(x-4)$ ，我们得到 $\small y=3/(x-4)$ ，也就是矩形形式的方程。

例子问题3:参数，极坐标和向量函数

如果 x=3+t 而且 y=4t+7 ，什么是在这方面(矩形形式)?

可能的答案:

y=4x-5

y=4x-7

y=4x-3

y=4x-12

y=4x-2

正确答案:

y=4x-5

解释：

鉴于 x=3+t 而且 y=4t+7 ，我们可以找到在这方面通过隔离在两个方程中:

$x=3+t\rightarrow t=x-3$

$y=4t+7\rightarrow t=\frac{y-7}{4}$

因为这两个变换相等，我们可以令它们相等:

$\frac{y-7}{4}=x-3$

y-7=4(x-3)

y-7=4x-12

y=4x-5

例子问题2:参数形式

鉴于 x=7t-5 而且 y=2t+9 ，什么是在这方面(矩形形式)?

可能的答案:

$y=\frac{7}{2}({x+5})+9$

$y=\frac{5}{7}({x+2})+9$

以上都不是

$y=\frac{2}{7}({x+5})+9$

$y=\frac{9}{7}({x+5})+2$

正确答案:

$y=\frac{2}{7}({x+5})+9$

解释：

为了找到关于，我们首先分离在两个方程中: $x=7t-5\rightarrow t=\frac{x+5}{7}$

$y=2t+9\rightarrow t=\frac{y-9}{2}$

因为两个方程相等，我们可以令它们相等，然后求解：

$\frac{y-9}{2}=\frac{x+5}{7}$

${y-9}=2(\frac{x+5}{7})$

$y=\frac{2}{7}({x+5})+9$

例子问题3:参数形式

鉴于 x=4t+9 而且 y=-t+2 ，什么是在这方面(矩形形式)?

可能的答案:

$y=\frac{17-x}{4}$

$y=\frac{x-4}{17}$

$y=\frac{4-x}{17}$

以上都不是

$y=\frac{x-17}{4}$

正确答案:

$y=\frac{17-x}{4}$

解释：

为了找到关于，我们首先分离在两个方程中: $x=4t+9\rightarrow t=\frac{x-9}{4}$

$y=-t+2\rightarrow t=2-y$

因为两个方程相等，我们可以令它们相等，然后求解：

$2-y=\frac{x-9}{4}$

$y=2-\frac{x-9}{4}$

$y=\frac{8}{4}-\frac{x-9}{4}$

$y=\frac{8-(x-9)}{4}$

$y=\frac{8-(x-9)}{4}$

$y=\frac{8-x+9}{4}$

$y=\frac{17-x}{4}$

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