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例子问题

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问题1:其他衍生品审查

用隐函数微分求 $\frac{dy}{dx}$ ：

$x^4\sin(x+y)=2$

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=-\left(\frac{4\tan(x+y)+x}{x} \right )$

$\frac{dy}{dx} = -\left(4\tan(x+y) +1 \right )$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4\tan(x+y)}{x}$

$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{4\sin(x+y)-2x}{x\cos x}\right)$

$\frac{dy}{dx} = 2-4x^3\sin (x+y)$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=-\left(\frac{4\tan(x+y)+x}{x} \right )$

解释：

要对等式左边求导，我们必须使用乘法法则: f'(x)g(x) +f(x)g'(x) 。

让 f(x)=x^4 如此......以至于...... f'(x)=4x^3 , $g(x)=\sin(x+y)$ 如此......以至于...... ${g'(x)=\cos(x+y) \cdot \left(1+\frac{dy}{dx} \right )}$ 。微分之后，我们得到 ${4x^3\sin(x+y) +x^4\cos(x+y)\left(1+\frac{dy}{dx} \right )=0}$ 。

用代数来分离 $\frac{dy}{dx}$ 项，我们发现 ${\frac{dy}{dx}= -\frac{4x^3 \sin(x+y)}{x^4\cos(x+y)}-1} =-\left(\frac{4\tan(x+y) +x}{x} \right )$ 。

报告错误

问题1:其他衍生品审查

找到 $\frac{dy}{dx}$ ：

$y=x^{\sin x}$

可能的答案:

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right )$

$\frac{dy}{dx}= \ln\left( x^{\sin x}\right ) \cos x$

$\frac{dy}{dx} = \cos x \ln x +\frac{\sin x }{x} \right$

$\frac{dy}{dx} = \sin x\left(x^{\cos x} \right )$

$\frac{dy}{dx} = -\cos x \left( x^{\sin x}\right)$

正确答案:

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right )$

解释：

自 $\tiny{x}$ 是底数和指数的一部分，我们需要用对数微分;也就是说，对方程两边取对数: $\ln y = \ln (x^{\sin x}) \rightarrow \ln y =\sin x \ln x.$

微分后一个方程，我们得到 $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln x +\sin x \cdot \left(\frac{1}{x}\right)$ 。

因此, $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right )$ 。

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问题3:基本函数规则:幂、指数、对数、三角和反三角

求导数: y=cos^-^1(x)+cos(x)

可能的答案:

$-\frac{1+sin(x)\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{1+cos(x)}{\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{1-sin(x)}{\sqrt{1+x^2}}$

$-\frac{1+sin(x)\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{cos(x)\sqrt{1-x^2}-sin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$

正确答案:

$-\frac{1+sin(x)\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}$

解释：

逆余弦函数的导数是:

$\frac{d}{dx} cos^-^1(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

cos的导数是:

$\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)$

把这两项合并成一项。

$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-sin(x)$

$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{sin(x)\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}= -\frac{1+sin(x)\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}$

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问题2:其他衍生品审查

汽车的位置函数建模为 s(t)=4x^2 + 8x +1 。

求出汽车的速度 t=2 。提示:位置函数的导数是速度函数。

可能的答案:

正确答案:

解释：

如题目所示，我们需要求导数。

用简单幂法则求导数 $f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$ 我们发现导数是，

s'(t)=v(t)=8x+8 。

现在，插入 t=2 来解决。

v(2)=16+8=24

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问题3:其他衍生品审查

$f(x)=e^{3x}sin\left(\frac{x}{3}\right)$

计算 f'(x) 。

可能的答案:

$e^{3x}sin\left(\frac{x}{3}\right)+e^{3x}cos\left(\frac{x}{3}\right)$

$3e^{3x}sin{\frac{x}{3}}+\frac{1}{3}e^{3x}cos\left(\frac{x}{3}\right)$

$3e^{3x}sin\left(\frac{x}{3}\right)+e^{3x}cos\left(\frac{x}{3}\right)$

$e^{3x}cos\left(\frac{x}{3}\right)$

$3e^{3x}cos\left(\frac{x}{3}\right)+\frac{1}{3}e^{3x}sin\left(\frac{x}{3}\right)$

正确答案:

$3e^{3x}sin{\frac{x}{3}}+\frac{1}{3}e^{3x}cos\left(\frac{x}{3}\right)$

解释：

为了计算这个导数我们需要使用乘法法则，因为我们有两个函数彼此相乘。

乘积规则定义为

$\frac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$

让我们做 $e^{3x}$ 是我们的 f(x) 和 $sin\left(\frac{x}{3}\right)$ 是我们的 g(x) 。

我们得到了

$3e^{3x}sin{\frac{x}{3}}+\frac{1}{3}e^{3x}cos\left(\frac{x}{3}\right)$ 。

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问题4:其他衍生品审查

$y=2x^{e^{x}}$ 。找到 ${\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}$

可能的答案:

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=x^{e^{x}}\cdot e^{x}(\frac{1}{x}-\ln\left | x \right |)$

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2x^{e^{x}}e^{x}\cdot \ln\left | x \right |$

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2e^{x}x^{e^{x}-1}$

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2x^{e^{x}}\cdot e^{x}(\frac{1}{x}+\ln\left | x \right |)$

正确答案:

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2x^{e^{x}}\cdot e^{x}(\frac{1}{x}+\ln\left | x \right |)$

解释：

$x^{e^{x}}$ 是一个变量的变量幂。没有没有办法找到 ${\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}$ 很明显，它没有导数公式。所以我们必须从重新排列原始方程开始， $y=2x^{e^{x}}$ 到可以隐式微分的程度。

首先将 $x^{e^{x}}$ 等式两边除以。

$\frac{y}{2}=x^{e^{x}}$

现在对方程两边取自然对数。

$\ln\left |\frac{y}{2} \right |=\ln\left |x^{e^{x}} \right |$ 。

这允许使用日志属性，特别是属性 $\ln (m^{n})=n\cdot \ln(m)$ 。将这个性质应用到方程的右边，得到如下结果。

$\ln\left |\frac{y}{2} \right |=e^{x}\cdot \ln\left |x\right |$

现在没有变量的次幂了，所以我们可以毫无疑问地隐式求导了。

左侧也遵循这个模式， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u}(\ln\left | u \right |)=\frac{du}{u}$ 我们在方程的右边用乘法法则。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\ln\left |\frac{y}{2} \right |)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(e^{x}\cdot \ln\left |x\right |)$

$\frac{\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}{\frac{y}{2}}=(e^{x})(\frac{1}{x})+(e^{x})(\ln\left | x \right |)$

现在解出 ${\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}$ 。首先，化简方程左边，把右边的最大公约数提出来。

$\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}y=e^{x}(\frac{1}{x}+\ln\left | x \right |)$

两边同时乘以把它从右边消掉。

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y\cdot e^{x}(\frac{1}{x}+\ln\left | x \right |)$

接下来，利用原始方程， $y=2x^{e^{x}}$ 、替换与 $2x^{e^{x}}$ 。这就把所有东西都用x表示了。

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2x^{e^{x}}\cdot e^{x}(\frac{1}{x}+\ln\left | x \right |)$

这就是最终答案。

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问题5:其他衍生品审查

区分: y=cot(3x)

可能的答案:

-3cos^2(3x)

-cos^2(3x)

$-\frac{1}{3}csc^2(3x)$

-3csc^2(3x)

-csc^2(3x)

正确答案:

-3csc^2(3x)

解释：

为了求余切的微分，写出导数的法则。

$\frac{d}{dx} cot(x) = -csc^2(x)$

我们还需要使用链式法则并乘以内部函数的导数。

$\frac{d}{dx} cot(3x) = -csc^2(3x) \cdot 3$

答案是: -3csc^2(3x)

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问题7:导数的计算

求这个函数的导数 $y = \int_{0}^{x^2} e^{-t^2}dt$

可能的答案:

$e^{-x^2}$

没有其他答案。

$2xe^{-x^4}$

x^2

正确答案:

$2xe^{-x^4}$

解释：

我们可以用微积分基本定理的第一部分来“消去”积分。

$y = \int_{0}^{x^2} e^{-t^2}dt$ 。开始

$y' = \frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2} e^{-t^2}dt$ 。两边对。求导。

为了“消去”积分和导数符号，验证积分的下界是一个常数(它是在这种情况下)积分的上限是一个函数(这是 x^2 在这种情况下)。

之后,塞 x^2 在，并利用链式法则来完成运用微积分基本定理。

$y' = e^{-(x^2)^2}(x^2)' = 2xe^{-x^4}$ 。

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问题6:其他衍生品审查

求导数 $y = \int^{x}_{0} \sin^{-1}(\sqrt{t})dt$ 。

可能的答案:

$\sin^{-1}(\sqrt{x})$

没有其他答案

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

不存在

正确答案:

$\sin^{-1}(\sqrt{x})$

解释：

用微积分基本定理来求。

$y = \int^{x}_{0} \sin^{-1}(\sqrt{t})dt$ 。开始

$y' = \frac{d}{dx}\int^{x}_{0} \sin^{-1}(\sqrt{t})dt$ 。两边对。求导。

运用微积分基本定理

$\frac{d}{dx}\int^{f(x)}_{x_0} g(t) dt = g(f(x))\times f'(x)$

与 $f(x) = x, g(t) = \sin^{-1}(\sqrt{t})$ ， x_0 = 0 获得

$y' = \sin^{-1}(\sqrt{x})$ 。

报告错误

问题9:导数的计算

求这个函数的导数 $y= \int_{1}^{x}t^2e^t\ln(t)\sin(t)dt$

可能的答案:

$\frac{2xe^x\cos{x}}{x}$

$x^2e^x\ln(x)\sin(x)$

不存在

没有其他答案

正确答案:

$x^2e^x\ln(x)\sin(x)$

解释：

为了求出这个函数的导数，我们需要用到微积分基本定理第一部分(与第二部分相反，第二部分通常用来求定积分)

$y= \int_{1}^{x}t^2e^t\ln(t)\sin(t)dt$ 。开始

$y'= \frac{d}{dx}\int_{1}^{x}t^2e^t\ln(t)\sin(t)dt$ 。对两边求导。

$y'= x^2e^x\ln(x)\sin(x)$ 。“消去”积分和导数。确保积分的上界是，并且在你取消之前，下界是一个常数，否则你可能需要对边界进行一些操作来实现它。)

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