我们周六和周日营业!

现在就打电话安排辅导:

(888) 888 - 0446

微积分2:微积分2

学习微积分2的概念、例题和解释

创建帐户制作测试和抽认卡

所有微积分2资源

9诊断测试 308模拟测试今日问题抽认卡从概念中学习

例子问题

←之前 1 2 3. 4 5 6 7 8 9 .．. 310 311 下一个→

例子问题1:限制

评估:

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{8^{x}- 8}{2^{x}- 2}$

可能的答案:

其他答案都不正确。

$\infty$

极限不存在。

$\ln 4$

正确答案:

其他答案都不正确。

解释：

评估在 x = 1 时，分子和分母均为0，如下所示:

$8^{x}- 8 = 8^{1}- 8 = 8 - 8 = 0$

$2^{x}- 2 = 2^{1}- 2 = 2 - 2 = 0$

所以简单的替换是行不通的。洛必达法则在这里也适用，但更简单的方法是注意

$8 = 2 ^{3}$ 而且 $8^{x} = \left ( 2 ^{3} \right )^{x} = 2 ^{3x} = \left ( 2 ^{x} \right )^{3}$ ．

因此，表达式可以重写并求解如下:

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{8^{x}- 8}{2^{x}- 2}$

$= \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\left (2^{x} \right )^{3}- 2^{3}}{2^{x}- 2}$

$= \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\left (2^{x}- 2 \right) \left [ \left ( 2^{x} \right ) ^{2} +2 \cdot 2^{x} + 2 ^{2} \right ] }{2^{x}- 2}$

$= \lim_{x\rightarrow 1} \left [ \left ( 2^{x} \right ) ^{2} +2 \cdot 2^{x} + 2 ^{2} \right ]$

$= \left [ \left ( 2^{1} \right ) ^{2} +2 \cdot 2^{1} + 2 ^{2} \right ] = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 2^{2} = 4 + 4 + 4 = 12$

报告错误

例子问题2:限制

评估极限:

$\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\tan2y}{\sin 5y}$

可能的答案:

$\frac{5}{2}$

不存在

$\sin \frac{2}{5}$

$\frac{2}{5}$

正确答案:

$\frac{2}{5}$

解释：

直接求极限会得到一个不定式的答案 $\frac{0}{0}$ ．

把极限写成sin和cos的形式， $\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\sin 2y}{\cos 2y} \cdot \frac{1}{\sin 5y}$ ，我们可以尝试操作这个函数，以利用这个性质 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ．

用函数乘以正弦函数的参数， $\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\sin 2y}{2y} \cdot \frac{1}{\cos 2y} \cdot \frac{5y}{\sin 5y} \cdot \frac{2y}{5y}$ ，我们可以看到极限将是 $(1)(1)(1)\left(\frac{2}{5}\right) = \left(\frac{2}{5} \right )$ ．

报告错误

例子问题3:限制

评估 $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \cos x \tan x$ ．

可能的答案:

$- \infty$

$\infty$

极限不存在。

正确答案:

解释：

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \cos x = \cos \frac{\pi}{2} = 0$

而且

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \tan x = \infty$ ，

所以我们不能用替换来解。

但是，我们可以重写表达式:

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$

$= \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \sin x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

报告错误

问题4:限制

求极限 $\frac{sin^5(x)}{x^5}$ 作为趋向于无穷。

可能的答案:

不确定的

$\frac{1}{2}$

$\infty$

正确答案:

解释：

表达式 $\frac{sin^5(x)}{x^5}$ 可以改写为 $\frac{1}{x^5}sin^5(x)$ ．

记得挤压定理可以用来解极限。正弦函数的取值范围是 [0,1] ，表示范围必须在该边界内。

$0\leq sin^5(x) \leq 1$

乘以 $\frac{1}{x^5}$ 一项通过。

$0\left(\frac{1}{x^5}\right)\leq \left(\frac{1}{x^5}\right)sin^5(x) \leq 1\left(\frac{1}{x^5}\right)$

取极限为对所有项都趋近于无穷。

$\lim_{x \to \infty}0\leq \lim_{x \to \infty}\frac{sin^5(x)}{x^5} \leq \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^5}$

$0\leq \lim_{x \to \infty}\frac{sin^5(x)}{x^5} \leq 0$

由于该区间的左右端点均为零，可以得出 $\lim_{x \to \infty}\frac{sin^5(x)}{x^5}$ 也必须趋于零。

正确答案是0。

报告错误

例5:限制

确定极限。 $\lim_{x \to 0}-\frac{1}{x^2}$

可能的答案:

$-\infty$

$\infty$

正确答案:

$-\infty$

解释：

以确定, $\lim_{x \to 0}-\frac{1}{x^2}$ ，绘制函数图 $y=-\frac{1}{x^2}$ 注意曲线从左到右的方向 x=0 ．

左右方向都趋向于负无穷。

答案是: $-\infty$

报告错误

例子问题6:限制

下面哪个选项是正确的?

可能的答案:

如果既不 $\small \lim _{x\to a} f(x)$ 也不 $\small \small \lim _{x\to a} g(x)$ 存在,那么 $\small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 也不存在。

$\small \lim _{x\to a} f(x)$ 而且 $\small \lim _{x\to a} g(x)$ 存在当且仅当 $\small \small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 的存在。

如果 $\small \small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 存在,那么 $\small \lim _{x\to a} f(x)$ 而且 $\small \lim _{x\to a} g(x)$ 都存在。

如果 $\small \lim _{x\to a} f(x)$ 而且 $\small \lim _{x\to a} g(x)$ ,然后 $\small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 的存在。

正确答案:

如果 $\small \lim _{x\to a} f(x)$ 而且 $\small \lim _{x\to a} g(x)$ ,然后 $\small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 的存在。

解释：

如果 $\small \lim _{x\to a} f(x)$ 而且 $\small \lim _{x\to a} g(x)$ ,然后 $\small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 的存在。

这可以严格地用 $\small \epsilon-\delta$ 定义了一个限制，但它很可能超出了您的类的范围。

报告错误

示例问题7:限制

确定限制: $\lim_{x \to \infty}\frac{3x^n}{9n!}$

可能的答案:

$\infty$

$\frac{1}{3}$

正确答案:

解释：

将常数分离到极限。

$\lim_{x \to \infty}\frac{3x^n}{9n!} = \frac{1}{3}\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{n!}$

极限性质 $\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{n!}=0$ ．

因此:

$\frac{1}{3}\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{n!} = \frac{1}{3}(0)=0$

报告错误

例8:限制

评估极限，如果可能的话: $\lim_{x\to \infty}tan^{-1}(x^2)$

可能的答案:

$\frac{\pi}{4}$

$\infty$

$\frac{\pi}{2}$

正确答案:

$\frac{\pi}{2}$

解释：

评估 $\lim_{x\to \infty}tan^{-1}(x^2)$ 注意里面的项 x^2 将趋于无穷。一个非常大的数的正切接近于 $\frac{\pi}{2} \textup{ radians}$ ．

答案是 $\frac{\pi}{2}$ ．

报告错误

问题9:限制

计算以下极限:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+1}{3x^2}$

可能的答案:

$-\infty$

$\frac{1}{3}$

$-\frac{1}{3}$

$\infty$

正确答案:

$\frac{1}{3}$

解释：

第一步是从上下多项式中提取最高次项(实质上是提取1):

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2}{x^2}\left(\frac{1+\frac{1}{x^2}}{3}\right)$

这就变成了

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\frac{1+\frac{1}{x^2}}{3}\right)$

求极限，我们接近 $\frac{1}{3}$ ．

报告错误

例子问题10:限制

计算以下极限:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{2x^2+3x+1}$

可能的答案:

$\frac{1}{3}$

$-\infty$

$\infty$

正确答案:

解释：

为了计算极限，首先从顶部和底部取出最大的幂项(所以我们实际上是在去除1):

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2(\frac{1}{x})}{x^2(2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}$

这就变成了

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(\frac{1}{x})}{(2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}$

代入无穷，我们发现分子趋于0，这使得整个极限趋于0。

报告错误

←之前 1 2 3. 4 5 6 7 8 9 .．. 310 311 下一个→

查看微积分2导师

Camryn
认证导师

洛约拉大学-芝加哥分校，环境工程学士。

查看微积分2导师

Muzaffer
认证导师

密歇根大学安娜堡分校，机械工程学士学位。密歇根大学安娜堡分校理学硕士

查看微积分2导师

Pankaj
认证导师

德里大学，电气工程师，电气工程。纽约哥伦比亚大学，文学硕士…

所有微积分2资源

9诊断测试 308模拟测试今日问题抽认卡从概念中学习

受欢迎的科目

旧金山湾区的SSAT导师，达拉斯沃斯堡的西班牙语导师，亚特兰大的阅读导师，芝加哥统计导师，旧金山湾区的法语教师，迈阿密的法语教师，波士顿的数学导师，西雅图的微积分导师，旧金山湾区西班牙语导师，西雅图的阅读导师

常用备考

在休斯顿准备GMAT考试，在迈阿密准备SSAT考试，波士顿的SAT备考，在费城准备SAT考试，ISEE考试准备在洛杉矶，西雅图ISEE考试准备中心，LSAT考试准备在达拉斯沃斯堡，ISEE考试准备在圣地亚哥，在纽约市准备GRE考试，在凤凰城准备GRE考试

DMCA的抱怨

如果您认为通过本网站提供的内容(定义见我们的服务条款)侵犯了您的一项或多项版权，请通过向下列指定代理提供包含以下信息的书面通知(“侵权通知”)通知我们。如果校队导师对侵权通知采取行动，它将通过该方提供给校队导师的最新电子邮件地址(如果有的话)，善意地尝试联系提供此类内容的一方。

您的侵权通知可能会转发给提供内容的一方或ChillingEffects.org等第三方。

请注意，如果您严重歪曲某产品或活动侵犯了您的版权，您将承担损害赔偿(包括诉讼费和律师费)。因此，如果您不确定网站上的内容或网站链接的内容侵犯了您的版权，您应该首先考虑联系律师。

请按照以下步骤提交通知:

你必须包括以下内容:

版权所有人或授权代表其行事的人的实物或电子签名;声称被侵犯的版权的证明;对您声称侵犯您版权的内容的性质和确切位置的描述，足够详细，以允许大学导师找到并积极识别该内容;例如，我们需要一个特定问题的链接(不仅仅是问题的名称)，其中包含内容和问题的具体部分的描述-图像，链接，文本等-您的投诉指的是;你的姓名、地址、电话号码及电邮地址;您的声明:(A)您真诚地相信，您声称侵犯您版权的内容的使用未经法律或版权所有者或该所有者的代理人授权;(b)您的侵权通知中包含的所有信息都是准确的，并且(c)在伪证罪的处罚下，您是版权所有人或被授权代表他们行事的人。

将投诉发送给我们的指定代理人:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
汉利路101号，300室
圣路易斯，密苏里州63105

或者填写下面的表格:

不填写这个字段吗

联系信息

＊法定全称

公司名称

＊电话号码

＊电子邮件地址

地址

＊Address1

Address2

＊城市

＊状态

＊Zipcode

＊国家

投诉细节

您所代表的版权方(如果不是您本人)

＊版权作品的URL(您的原始材料所在的位置)

＊请描述受版权保护的作品，以便于识别

我是所有权人，或者是被授权代表被侵犯的专有权的所有者行事的代理人。

这个通知是准确的。

我承认，使用此程序提出虚假或恶意侵犯版权的指控可能会产生不利的法律后果。

＊签名(您的数字签名具有法律约束力)

高中

研究生院

学习

搜索50+测试

数学辅导

科学辅导

外语

小学辅导

其他

搜索350多个主题

微积分2:微积分2

学习微积分2的概念、例题和解释

所有微积分2资源

例子问题

例子问题1:限制

例子问题2:限制

例子问题3:限制

问题4:限制

例5:限制

例子问题6:限制

示例问题7:限制

例8:限制

问题9:限制

例子问题10:限制

所有微积分2资源

报告与此问题有关的问题

DMCA的抱怨

联系信息

地址

投诉细节

找到最好的导师

电子邮件地址:
你的名字:

电子邮件地址:
你的名字:
反馈: