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微积分2:物理中的应用

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例子问题

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例子问题1:在物理学中的应用

确定以下函数之间的长度 $1\leq t\leq 4$

$v(t)=\frac{2}{3}(t-1)^{\frac{3}{2}}$

可能的答案:

$\frac{14}{3}$

$-\frac{14}{3}$

$\frac{7}{3}$

$-\frac{7}{3}$

$\frac{16}{9}$

正确答案:

$\frac{14}{3}$

解释：

为了开始这个问题，我们必须首先记住求函数沿任意给定区间的弧长的公式:

$L=\int ds$

ds由下式给出:

$ds=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^{2}}dx$

从ds的方程中我们可以看出我们必须找到函数的导数，在我们的例子中是dv/dt而不是dy/dx，所以我们首先对函数v(t)关于t求导

$\frac{dv}{dt}=(t-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{t-1}$

现在我们可以把这个代入给定的方程来求ds:

$ds=\sqrt{1+(\frac{dv}{dt})^{2}}dt=\sqrt{1+(\sqrt{t-1})^{2}}=\sqrt{1+t-1}=\sqrt{t}$

最后一步是将ds的值代入弧长方程，我们可以看到，这只涉及到ds的积分。问题要求函数长度的区间给出了我们的积分极限，所以我们简单地对ds从t=1到t=4积分:

$L=\int ds=\int_{1}^{4}\sqrt{t}dt=[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

$=\frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$

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例子问题2:积分的应用

求出以下两个函数为界区域的质心坐标:

$y=\sqrt{x}$

y=x^3

可能的答案:

$(\frac{1}{2},\frac{3}{8})$

$(\frac{5}{11},\frac{7}{15})$

$(\frac{19}{42},\frac{5}{12})$

$(\frac{17}{32},\frac{5}{9})$

$(\frac{12}{25},\frac{3}{7})$

正确答案:

$(\frac{12}{25},\frac{3}{7})$

解释：

在我们建立任何形式的积分之前，我们必须找出两个函数的交点，它告诉我们区域的边界是什么。为了做到这一点，我们让我们的函数彼此相等，并解出它们相交的x值:

$\sqrt{x}=x^3\rightarrow x^3-\sqrt{x}=0\rightarrow x^\frac{1}{2}(x^\frac{5}{2}-1)=0$

$x^\frac{1}{2}=0\rightarrow x=0$

$x^\frac{5}{2}-1=0\rightarrow x^\frac{5}{2}=1\rightarrow x=1$

我们的下一步是使用任意区域质心的x坐标和y坐标公式，如下所示:

$\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b}x(f(x)-g(x))dx$

$\bar{y}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b}\frac{1}{2}([f(x)]^2-[g(x)]^2)dx$

我们知道了区域的边界，也知道了函数f(x)和g(x)，它们分别构成了区域的上下限，所以我们唯一要做的就是用下面的积分来计算区域的面积:

$A=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^3)dx=[\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-\frac{1}{4}x^4]_{0}^{1}$

$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{4})-(0)=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$

现在我们知道了区域的面积、边界和函数f(x)和g(x)，我们可以简单地将这些值代入区域质心的x坐标和y坐标的公式中:

$\bar{x}=\frac{1}{\frac{5}{12}}\int_{0}^{1}x(\sqrt{x}-x^3)dx=\frac{12}{5}\int_{0}^{1}(x^\frac{3}{2}-x^4)dx$

$=\frac{12}{5}[\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}-\frac{1}{5}x^5]_{0}^{1}=\frac{12}{5}(\frac{1}{5})=\frac{12}{25}$

$\bar{y}=\frac{1}{\frac{5}{12}}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}([\sqrt{x}]^2-[x^3]^2)dx=\frac{12}{5}\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x^6)dx$

$=\frac{12}{5}[\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{14}x^7]_{0}^{1}=\frac{12}{5}(\frac{7}{28}-\frac{2}{28})=\frac{12}{5}(\frac{5}{28})=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$

通过求积分，我们可以看到两个函数所包围的区域的质心是 $\tiny (\frac{12}{25},\frac{3}{7})$ ．

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示例问题3:积分的应用

计算旋转得到的固体的表面积

$y=\sqrt{16-x^{2}}$

关于x轴 x= -2 来 x=2 ．

可能的答案:

$48\pi$

$16\pi$

$12\pi$

$24\pi$

$32\pi$

正确答案:

$32\pi$

解释：

在开始做这道题之前，我们必须记住计算绕x轴旋转形成的固体表面积的公式:

$S=\int (2\pi y)ds$

ds由下式给出:

$ds=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^{2}}dx$

所以为了建立表面积的积分，我们必须先找到ds，这需要我们求出函数的导数:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2}}(-2x)=-\frac{x}{(16-x^{2})^{\frac{1}{2}}}$

$ds=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^{2}}dx=\sqrt{1+(-\frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}})^{2}}dx=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{16-x^{2}}dx$

为了把这两项相加，我们必须找到它们的公分母。因为其中一项只有1，我们可以将方程化简，将1写成(16-x^2)/(16-x^2)，这样我们就可以将这两项相加，得到:

$ds=\frac{4}{\sqrt{16-x^{2}}}dx$

现在我们有了ds关于x的表达式，我们可以把y写进表面积公式中通过把它替换成题目中给出的关于x的方程

$S=\int (2\pi y)ds=\int_{-2}^{2}2\pi (\sqrt{16-x^{2}})(\frac{4}{\sqrt{16-x^{2}}})dx$

$=\int_{-2}^{2}(8\pi)dx=8\pi (2)-8\pi (-2)=32\pi$

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示例问题4:积分的应用

在物理学中，对物体做的功等于对物体的力乘以它的位移的积分。

这看起来像 $\small W=\int(F\cdot ds)$ （ $\small W$ 是工作, $\small F$ 力, $\small ds$ 为无穷小的位移向量)。对于方向为运动线的力，方程为 $\small \small W=\int (Fdx)$ ．

如果作用在物体上的力作为位移的函数 $\small F(x)=3x^{2}+x$ 功是位移的函数 $\small W(x)$ ？假设 $\small W(0)=0$ 力的方向与物体运动的方向相同。

可能的答案:

$\small \small W(x)=3x^{2}+x$

$\small \small W(x)=6x+1$

没有足够的信息

$\small W(x)=x^{3}+x^{2}/2$

$\small \small W(x)=3x^{3}/2+x^{2}$

正确答案:

$\small W(x)=x^{3}+x^{2}/2$

解释：

$\small \small W=\int (Fdx)$ ,所以 $\small W=\int(3x^{2}+x)dx$ ．

力的两项都是幂项的形式 $\small ax^{n}$ 有积分 $\small \frac{a}{n+1}x^{n+1}$ ，所以力的积分是 $\small x^{3}+x^{2}/2+c$ ．

我们知道

$\small W(0)=0\rightarrow 0^{3}+0^{2}/2+c=0 \therefore c=0$ ．

这意味着

$\small W(x)=x^{3}+x^{2}/2$ ．

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示例问题5:积分的应用

$v(t) = \frac{5}{2}x + 3$ ．找到 s(4) 如果 s(0)=0 ．假设 s(t) 单位是米和以秒为单位。

可能的答案:

$31 \ m$

$29 \ m$

$33 \ m$

$32 \ m$

$30 \ m$

正确答案:

$32 \ m$

解释：

根据微积分基本定理，我们知道 $\int_{0}^{4} v(t)dt = s(4) - s(0)$

所以, $s(4) = s(0) + \int_{0}^{4}v(t)dt$

$s(4) = 0 + \left [ \frac{5}{4}x^2 + 3x \right ]$ 评估从 x = 0 来 x=4

$s(4) = (20 + 12) - (0 + 0) = 32 \ m$

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示例问题6:积分的应用

火箭的速度，单位是米/秒，发射后几秒的模型是

$v(t)=2\sqrt{t}$ ．

火箭在发射的前四秒内飞行的总距离是多少?

可能的答案:

$\frac{16}{3}\ meters$

$16\ meters$

$32\ meters$

$\frac{32}{3}\ meters$

正确答案:

$\frac{32}{3}\ meters$

解释：

物体在一段时间内移动的距离是在这段时间内速度曲线下的总面积。因此，我们需要计算定积分

$\int_{0}^{4}2\sqrt{t}dt=\int_{0}^{4}2t^\frac{1}{2}dt$

用分数指数改写用根式表示的表达式可以使应用幂法则求不定积分更容易。

用幂法则求这个积分，

$\int t^n=\frac{t^{n+1}}{n+1}+c$ ,我们发现:

$\int_{0}^{4}2t^\frac{1}{2}dt=\frac{2}{3}\cdot 2(4^\frac{3}{2}) -\frac{2}{3}\cdot 2(0^\frac{3}{2})$

$=\frac{4}{3}\cdot (8)=\frac{32}{3}\ meters$

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示例问题7:积分的应用

的力

$F(x)=2x^2+3\ Newtons$

应用于对象。移动物体，做了多少功，单位是焦耳 x=1 来 x=4 米?

可能的答案:

$\frac{164}{3} Joules$

51Joules

$\frac{11}{3} Joules$

$\frac{5}{3} Joules$

正确答案:

51Joules

解释：

移动物体所做的功是力对距离的函数的积分，

$W(x)=\int F(x)dx$ ．

为了求出物体从x=1移动到x=4所做的功，用x=1和x=4作为积分的极限来计算确定的区间。回想一下多项式的不定积分是用幂法则求出来的，

$\int x^n=\frac{nx^{n+1}}{n+1}+c$ ．

$\int_{1}^{4}(2x^2+3)dx=\frac{2(4^3)}{3}+3(4)-\frac{2(1^3)}{3}+3(1)$

$=\frac{164}{3}-\frac{11}{3}=\frac{153}{3}=51 joules$

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示例问题8:积分的应用

运动物体在时间上的速度 t=0 是 v(0)=1 ，以及当时的位置 t=0 是 s(0)=0 ．物体的加速度由函数来模拟 a(t)=4t 为 $t\ge0$ ．

可能的答案:

$s(t)=\frac{2t^3}{3}+t$

$s(t)={4t^2}+1$

s(t)=0

s(t)=4t+1

正确答案:

$s(t)=\frac{2t^3}{3}+t$

解释：

位置函数是加速度的二阶不定积分。首先对加速度函数进行积分，求出速度函数。由于加速度函数是一个多项式，因此需要幂法则。回想一下幂法则

$\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ ．

$v(t)=\int{4t}dt=\frac{4t^2}{2}+c=2t^2+c$ ．

接下来，我们可以求出这个常数的值利用这个事实 v(0)=1 ．

v(0)=1=2(0^2)+c = c ,所以 c = 1 ．因此速度函数是 v(t)=2t^2+1 ．

现在对速度函数求积分，得到位置函数。

$s(t)=\int{(2t^2+1)dt}=\frac{2t^3}{3}+t+c$ ．

利用这个事实 s(0)=0 为了找到常数．

$s(0)=0=\frac{2(0^3)}{3}+0+c=c,\rightarrow c=0$ ．

速度函数是

$s(t)=\frac{2t^3}{3}+t$

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示例问题9:积分的应用

烤箱的温度正以一定的速度上升 $r(t)=2e^{0.5t}$ 每分钟华氏度 $0\le t\le10$ 分钟。烤箱的初始温度是 T(0)=75 度。

烤箱的温度是多少 t = 5 ？把你的答案四舍五入到最接近的十分位。

可能的答案:

323.9

239.4

119.7

212.2

正确答案:

119.7

解释：

集成 r(t) 在一个时间间隔 [a,b] 会告诉我们，在这段时间内，温度的总积累或变化。因此，我们需要对积分求值

$\int_{0}^{5}2e^{0.5t}dt$

求出前五分钟的温度变化。

在这种情况下，代换是有用的。让 $u=0.5t, du=0.5dt, \ and\ 2du=dt$ ．我们还应该用。来表示一体化的局限性．当 t = 0, u=0 ,当 t=5, u=2.5. 做这些替换就得到积分

$\int_{0}^{2.5}4e^udu$ ．

要计算它，你必须知道指数函数的不定积分。

一般来说,

$\int e^xdx=e^x+c$ ．

因此,

$\int_{0}^{2.5}4e^udu=4e^u|_{0}^{2.5}=4e^{2.5}-4\approx 44.7$ ．

这告诉我们温度上升了大约 44.7 前五分钟的温度。最后一步是加上初始温度，它告诉我们 t=5 分钟是

75+44.7=119.7 度。

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示例问题10:积分的应用

求质点速度的方程，如果质点的加速度为:

a(t)=16t^2+48

时间的速度 t=0 粒子的值是．

可能的答案:

16t^2+78

16t^2+48

$\frac{16}{3}t^3+96$

$\frac{16}{3}t^3+48t+30$

正确答案:

$\frac{16}{3}t^3+48t+30$

解释：

为了求出速度函数，我们必须对加速度函数积分:

$\int (16t^2+48)dt=\frac{16}{3}t^3+48t+C$

我们使用了规则

$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$

集成。

现在，我们用速度函数的初始条件来解出c

v(0)=30

所以我们把0代入速度函数，解出C:

$v(0)=30=\frac{16}{3}(0)^3+48(0)+C$

因此C等于30。

最后，我们写出速度函数，用整数代替C:

$v(t)=\frac{16}{3}t^3+48t+30$

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