这个问题涉及的能量是动能和势能。能量守恒表明初始能量等于最终能量。

选择斜面的底部为零高度，球开始时的动能和势能为零。当球达到最大高度时，它的速度为零(动能为零)。这简化了我们的能量方程。

隔离高度变量并使用给定值来求解最大高度。

这是垂直高度。重力所做的功是力和距离的乘积。

负号表示重力向下作用(负方向)。

我们可以用一个运动学方程来解决这个问题，但我们应该用能量守恒来解决。能量守恒说系统的初始总能量等于它的最终总能量。在我们的例子中，系统是一块初始速度为．选择石头在零高度被扔出去的瞬间，石头只有最初的动能。

在最大高度时，速度为零(没有动能)，球只有势能。

根据能量守恒，我们知道初始能量和最终能量相等。

利用这个，我们可以解出高度。

这个问题可以用能量守恒或线性运动方程来解决。

当所有的初始动能都转化为势能时，球达到最大高度。由此，我们使用以下关系:

质量从方程中消掉了，我们可以分离出速度变量。

我们得到了最终高度和重力加速度，这就能求出初始速度。

我们可以用能量守恒定律来解决这个问题。岩石一开始有势能，但没有动能。当岩石到达地面时，它没有势能，全部是动能。通过能量守恒:

把方程代入势能和动能。

我们可以从每一项中消去质量，分离出最终的速度变量。

最后，使用给定的高度和重力加速度值来求解最终速度。

以弹簧的上端为“零”。由于弹簧力和重力都是守恒力，物体下落时的总能量是守恒的。知道弹簧上端的速度，就可以计算出物体在那一点的动能。

动能等于它在最大高度处的势能;因为它从静止状态下落，开始时没有动能。动能也等于物体在最大弹簧压缩时的最大弹簧势能(此时物体再次暂时静止，因此动能为零)。

现在我们需要看看弹簧势能。

所以总的垂直距离是用一个附加的秋天弹簧压缩的最终距离为．

所描述的碗基本上是一个永动机装置。当一个球从碗的一边滚下来时，它会聚集动能。当球向另一侧卷起时，动能转化为势能，直到球达到最大高度。在这一点，势能转换回动能。这个过程将无限重复，只要没有能量损失到外部环境。

在现实中，这台机器不可能存在。虽然无摩擦的表面可以防止能量以热的形式损失，真空可以防止空气阻力，但这些条件在现实世界中是无法满足的。

然而，在给定的情况下，总能量永远不会减少。最大势能总是相同的，这意味着球总是达到相同的最大高度，最大动能总是相同的，这意味着球总是达到相同的最大速度。由于没有能量损失，动能和势能相互之间将不断变化，但总机械能将永远保持不变。

这个问题可以用能量守恒定律来解决。最初，球的位移为0，但初始速度不为0。我们可以说，初始能量等于总动能。

在弹道的峰值高度，速度将为零，球将有一个最大的位移。我们可以说这一点的能量等于总势能。

最后，当球落地时，它的位移将再次为零，并且它将被加速(由于重力)，以恢复与初始投掷时相同的速度。

由于能量守恒，这些项都相等。势能增大，动能减小，反之亦然。为了解决这个问题，我们需要知道什么时候势能等于总能量的一半。

在高度的一半，势能占总能量的一半。必然的，另一半是动能，两个值相等。

移动一半高度的时间等于整个飞行时间除以4，因为加速度保持不变。在它的运动轨迹中，这个高度会出现两次:向上运动时和向下运动时。第二个时间点等于这个间隔的三倍。

在这两个时刻，动能和势能会有相等的值。

每次球反弹，10%的动能就会损失。这意味着，在与地面碰撞后，球在飞行的顶部有之前势能的90%。为了求四次反弹后的总能量，我们把初始势能乘以．

初始势能为:

用我们的指数表达式计算四次反弹后剩余的能量。

基于能量守恒，我们可以计算出，用剩余的动能，球运动的高度

我们可以利用功和能量来解决这个问题。首先，用购物车的初始速度，求出购物车的初始动能:

最终的动能将为零，因为小车将完全停止。功等于机械能的变化(这里是动能)。

功也可以写成作用于一定距离上的力的乘积。在这种情况下，恒定的力是摩擦。

用功和摩擦力的计算值来解出距离。记住摩擦力是负的，因为它与运动方向相反。

我们知道而且．首先，利用勾股定理计算平动速度。

我们可以用它来求总动能。