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AP微积分BC:向量形式

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例子问题

问题1:向量和空间

求的向量形式 (6,3,1) 来 (0,1,3) ．

可能的答案:

$\overrightarrow{v}=[6,2,2]$

$\overrightarrow{v}=[-6,-2,-2]$

$\overrightarrow{v}=[6,2,-2]$

$\overrightarrow{v}=[6,-2,-2]$

$\overrightarrow{v}=[6,2,-3]$

正确答案:

$\overrightarrow{v}=[6,2,-2]$

解释：

当我们试图找到向量形式时，我们需要记住这个公式，它表示取终点和起点之间的差。

这样我们就得到:

鉴于 (a,b,c) 和 (d,e,f)

$\overrightarrow{v}=[d-a, e-b, f-c]$

在我们的例子中，终点是 (6,3,1) 起始点是 (0,1,3) ．

因此，我们将设置以下并进行简化。

$\overrightarrow{v}=[6-0,3-1,1-3]=[6,2,-2]$

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问题1:向量形式

给点 (2,4,5) 和 (9,1,0) 点之间距离的向量形式是什么?

可能的答案:

$\left \langle -7,3,-5\right \rangle$

$\left \langle 7,3,-5\right \rangle$

$\left \langle 7,3,5\right \rangle$

$\left \langle -7,-3,-5\right \rangle$

$\left \langle 7,-3,-5\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle 7,-3,-5\right \rangle$

解释：

为了导出两点间距离的矢量形式，我们必须求出两者之间的差，,点的元素。

也就是说，对于任何一点

$a=\left \langle a_{1},a_{2},a_{3}\right \rangle$ 和 $b=\left \langle b_1,b_2,b_3\right \rangle$ ，

距离是矢量

$v=\left \langle b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3\right \rangle$ ．

代入原来的点 (2,4,5) 和 (9,1,0) ，我们得到:

$v=\left \langle 9-2,1-4,0-5\right \rangle$

$v=\left \langle 7,-3,-5\right \rangle$

报告错误

问题2:向量形式

给点 (4,2,-2) 和 (7,1,0) 点之间距离的向量形式是什么?

可能的答案:

$\left \langle -3,1,2\right \rangle$

$\left \langle 3,1,-2\right \rangle$

$\left \langle -3,1,-2\right \rangle$

$\left \langle 3,-1,2\right \rangle$

$\left \langle 3,1,2\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle 3,-1,2\right \rangle$

解释：

为了导出两点间距离的矢量形式，我们必须求出两者之间的差，,点的元素。

也就是说，对于任何一点 $a=\left \langle a_{1},a_{2},a_{3}\right \rangle$ 和 $b=\left \langle b_1,b_2,b_3\right \rangle$ ，距离是矢量 $v=\left \langle b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3\right \rangle$ ．

代入原来的点 (4,2,-2) 和 (7,1,0) ，我们得到:

$v=\left \langle 7-4,1-2,0-(-2)\right \rangle$

$v=\left \langle 3,-1,2\right \rangle$

报告错误

问题3:向量形式

向量函数的图像 $r(t)=\left \langle \frac{1}{2}t,\sin(t)\right \rangle$ 也可以用下列哪个函数的矩形图形来表示?

可能的答案:

$y=2\sin(x)$

$y=\sin(2x)$

$y=-\sin(\frac{x}2{})$

$y=-\sin(2x)$

$y=\sin(\frac{x}2{})$

正确答案:

$y=\sin(2x)$

解释：

我们可以找到的图像 $r(t)=\left \langle \frac{1}{2}t,\cos(t)\right \rangle$ 通过将参数坐标映射到笛卡尔坐标，得到矩形形式 (x,y) ：

$x=\frac{1}{2}t$

t=2x

我们现在可以用这个值来解出：

$y=\sin(t)$

$y=\sin(2x)$

报告错误

问题11:矢量图形

向量函数的图像 $r(t)=\left \langle 3t^{2}-1,\cos(t)\right \rangle$ 也可以用下列哪个函数的矩形图形来表示?

可能的答案:

$y=\cos\sqrt{\frac{3}{x-1}}$

$y=\cos\sqrt{\frac{x-1}{3}}$

$y=-\cos\sqrt{\frac{x+1}{3}}$

$y=\cos\sqrt{\frac{x+1}{3}}$

$y=-\cos\sqrt{\frac{x-1}{3}}$

正确答案:

$y=\cos\sqrt{\frac{x+1}{3}}$

解释：

我们可以找到的图像 $r(t)=\left \langle 3t^{2}-1,\cos(t)\right \rangle$ 通过将参数坐标映射到笛卡尔坐标，得到矩形形式 (x,y) ：

$x=3t^{2}-1$

$x+1=3t^{2}$

$\frac{x+1}{3}=t^{2}$

$t=\sqrt{\frac{x+1}{3}}$

我们现在可以用这个值来解出：

$y=\cos\sqrt{\frac{x+1}{3}}$

报告错误

问题5:向量形式

$\newline {\vec{r}(t)} = (5t^3,e^{11t},e^{5t})\newline \textnormal{Calculate } \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)}$

可能的答案:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (15t^2,e^{11t},5e^{5t})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (15,11,5)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (15t^2.11e^{11t},5e^{5t})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (15t^2,11,5)$

正确答案:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (15t^2.11e^{11t},5e^{5t})$

解释：

一般来说:

如果 $\newline \ {\vec{r}(t)} = (f(t),g(t),z(t))$ ，

然后 $\newline \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}f(t), \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}g(t),\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}z(t))$

这里需要用到的导数规则:

对一项求导，或者使用幂次法则，可以这样做: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} t^n = n * t^{n-1}$
对指数函数求导的特殊规则: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} e^{kt} = ke^{kt}$ ，其中k是常数。

在这个问题中， ${\vec{r}(t)} = (5t^3,e^{11t},e^{5t})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}5t^3=15t^2$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}e^{11t}=11e^{11t}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}e^{5t}=5e^{5t}$

把它们放在一起得到 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (15t^2,11e^{11t},5e^{5t})$

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问题6:向量形式

$\newline\vec{v} =(x^2,-x,5)\newline\vec{u} =(2,3x,11)\newline$

计算 $\vec{v} + \vec{u}$

可能的答案:

$\vec{v}+\vec{u}=(x^2 + 2,2x,16)$

$\vec{v}+\vec{u}=(x^2 + 2,0,16)$

$\vec{v}+\vec{u}=(x^2,2x,16)$

$\vec{v}+\vec{u}=(x^2,2x,3x)$

正确答案:

$\vec{v}+\vec{u}=(x^2 + 2,2x,16)$

解释：

计算向量的和。

一般来说,

$\vec{v} = (v_1,v_2,v_3)$

$\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)$

$\vec{v} + \vec{u} = (v_1 + u_1, v_2 + u_2,v_3 + u_3)$

解决方案:

$\newline\vec{v} =(x^2,-x,5)\newline\vec{u} =(2,3x,11)\newline$

$\vec{v}+\vec{u}=(x^2,-x,5)+(2,3x,11)$

$\vec{v}+\vec{u}=(x^2+2,-x+3x,5+11)$

$\vec{v}+\vec{u}=(x^2 + 2,2x,16)$

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