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AP微积分BC:基本函数的规则:幂，指数规则，对数，三角函数和反三角函数

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例子问题

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例子问题1:基本函数的规则:幂，指数规则，对数，三角函数，反三角函数

$f (x) = 7x^{2} + 6x - 9$

给 f'(x) ．

可能的答案:

f'(x) = 14x+12

f'(x) = 14x+6

$f'(x) = 14x^{2}+6x$

f'(x) = 7x+6

f'(x) = 14x

正确答案:

f'(x) = 14x+6

解释：

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left (ax^{n} \right )= n\cdot ax^{n-1}$ ，一个常数的导数是0，所以

$f (x) = 7x^{2} + 6x - 9$

$f ' (x) = 7\cdot 2\cdot x^{2-1} + 6\cdot 1 + 0$

$f ' (x) = 14\cdot x^{1} + 6$

f ' (x) = 14x + 6

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示例问题21:微积分复习

$f(x)= 8x^{3}-7x^{2}+11$

给 f''(x) ．

可能的答案:

f ''(x) = 24x - 11

f ''(x) = 48x -14

f ''(x) = 24x

f ''(x) = 24x -14

f ''(x) = 48x

正确答案:

f ''(x) = 48x -14

解释：

首先，求导数 f'(x) 的 $f(x)= 8x^{3}-7x^{2}+11$ ．

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left (ax^{n} \right )= n\cdot ax^{n-1}$ ，一个常数的导数是0，所以

$f(x)= 8x^{3}-7x^{2}+11$

$f'(x)= 3 \cdot 8x^{3-1}-2\cdot 7x^{2-1}+0$

$f'(x)= 24x^{2}-14x^{1}$

$f'(x)= 24x^{2}-14x$

现在,区分 f'(x) 得到 f''(x) ．

$f''(x)= 2 \cdot 24x^{2-1}-1\cdot 14x^{1-1}$

$f''(x)= 48x^{1}-14x^{0}$

f''(x)= 48x-14

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例子问题1:基本函数的规则:幂，指数规则，对数，三角函数，反三角函数

区分 $x^{999}$ ．

可能的答案:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( x^{999}\right ) = 999x^{998}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( x^{999}\right ) = 998x^{1,000}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( x^{999}\right ) = 998x^{999}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( x^{999}\right ) = 1,000x^{1,000}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( x^{999}\right ) = 998x^{998}$

正确答案:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( x^{999}\right ) = 999x^{998}$

解释：

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left (x^{n} \right )= n\cdot x^{n-1}$ ,所以

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( x^{999}\right ) = 999x^{999-1} = 999x^{998}$

报告错误

例子问题1:基本函数的规则:幂，指数规则，对数，三角函数，反三角函数

给出的二阶导数 $x^{777}$ ．

可能的答案:

$\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} x^{2}} \left ( x^{777}\right ) = 603,729 x^{775}$

$\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} x^{2}} \left ( x^{777}\right ) = 602,952 x^{775}$

$\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} x^{2}} \left ( x^{777}\right ) = 604,506 x^{779}$

$\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} x^{2}} \left ( x^{777}\right ) = 603,729 x^{777}$

$\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} x^{2}} \left ( x^{777}\right ) = 602,952 x^{779}$

正确答案:

$\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} x^{2}} \left ( x^{777}\right ) = 602,952 x^{775}$

解释：

求导数 $x^{777}$ ，然后求这个表达式的导数。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left (ax^{n} \right )= n\cdot ax^{n-1}$ ,所以

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left (x^{777} \right )= 777\cdot x^{777-1} = 777x^{776}$

$\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} x^{2}} \left ( x^{777}\right ) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( 777x^{776} \right )= 777\cdot776\cdot x^{776-1} = 602,952x^{775}$

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例子问题1:基本函数的规则:幂，指数规则，对数，三角函数，反三角函数

$f(x)= 0.8x^{3}-0.5x^{2}+ 0.9$

给 f'(x) ．

可能的答案:

$f'(x) = 2.4x^{3}-x^{2}$

$f'(x) = 2.4x^{2}-1$

$f'(x) = 2.4x^{2}-x + 0.9$

$f'(x) = 2.4x^{3}-x^{2}+ 0.9$

$f'(x) = 2.4x^{2}-x$

正确答案:

$f'(x) = 2.4x^{2}-x$

解释：

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left (ax^{n} \right )= n\cdot ax^{n-1}$ ，一个常数的导数是0，所以

$f(x)= 0.8x^{3}-0.5x^{2}+ 0.9$

$f'(x)= 3\cdot 0.8 x^{3-1}-2\cdot 0.5x^{2-1}+ 0$

$f'(x)= 2.4x^{2}-1x^{1}$

$f'(x) = 2.4x^{2}-x$

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问题1321:微积分二世

$f(x) =0.9x^{4} + 0.7x^{3}- 0.5 x$

给 f''(x) ．

可能的答案:

$f''(x) =10.8x^{2} + 4.2x - 0.5$

$f''(x) =10.8x^{2} + 2.1x$

$f''(x) =10.8x^{2} + 8.4x$

$f''(x) =10.8x^{2} + 4.2x$

$f''(x) =10.8x^{2} + 8.4x - 0.5$

正确答案:

$f''(x) =10.8x^{2} + 4.2x$

解释：

首先，求导数 f'(x) 的 $f(x) =0.9x^{4} + 0.7x^{3}- 0.5 x$ ．

回想一下, $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left (ax^{n} \right )= n\cdot ax^{n-1}$ ，一个常数的导数为0。

$f(x) =0.9x^{4} + 0.7x^{3}- 0.5 x$

$f'(x) =4\cdot 0.9x^{4-1} + 3\cdot 0.7x^{3-1}- 1 \cdot 0.5 x ^{1-1}$

$f'(x) =3.6x^{3} + 2.1x^{2}- 0.5 x ^{0}$

$f'(x) =3.6x^{3} + 2.1x^{2}- 0.5$

现在,区分 f'(x) 得到 f''(x) ．

$f'(x) =3.6x^{3} + 2.1x^{2}- 0.5$

$f''(x) =3 \cdot 3.6x^{3-1} + 2 \cdot 2.1x^{2-1}- 0$

$f''(x) =10.8x^{2} + 4.2x^{1}- 0$

$f''(x) =10.8x^{2} + 4.2x$

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示例问题7:导数的计算

求函数的导数 $y = \int_{0}^{x^2} e^{-t^2}dt$

可能的答案:

$e^{-x^2}$

其他答案都没有。

$2xe^{-x^4}$

x^2

正确答案:

$2xe^{-x^4}$

解释：

我们可以用微积分基本定理的第一部分来“约掉”这个积分。

$y = \int_{0}^{x^2} e^{-t^2}dt$ ．开始

$y' = \frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2} e^{-t^2}dt$ ．对两边求导．

为了“消去”积分和导数符号，验证积分的下界是一个常数(它是在这种情况下)，积分的上限是一个函数(这是 x^2 在这种情况下)。

之后,塞 x^2 在，并利用链式法则来完成对微积分基本定理的运用。

$y' = e^{-(x^2)^2}(x^2)' = 2xe^{-x^4}$ ．

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例子问题1:导数的计算

求导数: y=cos^-^1(x)+cos(x)

可能的答案:

$-\frac{1+sin(x)\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}$

$-\frac{1+sin(x)\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{1-sin(x)}{\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{cos(x)\sqrt{1-x^2}-sin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{1+cos(x)}{\sqrt{1+x^2}}$

正确答案:

$-\frac{1+sin(x)\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}$

解释：

逆余弦的导数是:

$\frac{d}{dx} cos^-^1(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

cos的导数是:

$\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)$

把这两项合并成一项。

$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-sin(x)$

$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{sin(x)\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}= -\frac{1+sin(x)\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}$

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问题9:导数的计算

求函数的导数 $y= \int_{1}^{x}t^2e^t\ln(t)\sin(t)dt$

可能的答案:

$\frac{2xe^x\cos{x}}{x}$

$x^2e^x\ln(x)\sin(x)$

不存在

其他答案都没有

正确答案:

$x^2e^x\ln(x)\sin(x)$

解释：

为了求出这个函数的导数，我们需要使用微积分基本定理第一部分(与第二部分相反，第二部分通常用于计算定积分)

$y= \int_{1}^{x}t^2e^t\ln(t)\sin(t)dt$ ．开始

$y'= \frac{d}{dx}\int_{1}^{x}t^2e^t\ln(t)\sin(t)dt$ ．对两边求导。

$y'= x^2e^x\ln(x)\sin(x)$ ．消去积分和导数。(确保积分的上界是函数，并且在取消之前，下界是一个常数，否则你可能需要对下界进行一些操作。)

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例子问题10:导数的计算

函数的变化率是多少 f(x)=1+2x+3x^4 在这一点上 (1,6) ?

可能的答案:

2594

正确答案:

解释：

函数在一点上的变化率就是该点导数的值。首先，对每一项使用幂次法则求导f(x)

记住幂法则是

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ 常数的导数为零。

f'(x)=2+12x^3

接下来，注意到点(1,6)的x值是1，所以在导数中用1代替x。

f'(1)=2+12(1)^3=14

因此，f(x)在点(1,6)处的变化率为14。

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