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AP微积分BC:指数函数和三角函数的麦克劳林级数

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例子问题

问题251:微积分级数

写出泰勒级数的前三项 a=1 对于以下功能:

f(x)=x^2+e^x

可能的答案:

$(1+e^1)+[(2+e^1)(x-1)]+\frac{(2+e^1)(x-1)^2}{2}$

(1+e^1)+[(2+e^1)(x-1)]+(x-1)^2

0+0+(x-1)^2

0+(1+e^1)+[(2+e^1)(x-1)]

正确答案:

$(1+e^1)+[(2+e^1)(x-1)]+\frac{(2+e^1)(x-1)^2}{2}$

解释：

函数关于x=a的泰勒级数由

$\sum_{n=0}^{\infty }f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}$

对于前三项(n= 0,1,2)，我们必须找到函数的零阶、一阶和二阶导数。0阶导数就是函数本身。

f'(x)=2x+e^x

f''(x)=2+e^x

利用下列规则求出导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ，

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^u=e^u\frac{\mathrm{du} }{\mathrm{d} x}$

现在，用上面的公式写出前三项:

$\frac{(1+e^1)(x-1)^0}{0!}+\frac{[(2+e^1)(x-1)^1]}{1!}+\frac{(2+e^1)(x-1)^2}{2!}$

简化后就变成了

$(1+e^1)+[(2+e^1)(x-1)]+\frac{(2+e^1)(x-1)^2}{2}$

报告错误

例子问题1:指数函数和三角函数的麦克劳林级数

求函数的麦克劳林级数

$f(x)=sin\,x$

直到第五度。

可能的答案:

$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}$

$x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}$

DNE

$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$

正确答案:

$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$

解释：

a的公式我-次麦克劳林多项式为

$f(x)=\sum_{n=0}^{i}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

对于五次多项式，我们必须求函数的五阶导数。

$\begin{matrix} f(0)=sin(0)=0\\ f'(0)=cos(0)=1\\ f''(0)=-sin(0)=0\\ f'''(0)=-cos(0)=-1\\ f^{(4)}=sin(0)=0 \\ \end{matrix}$

$f^{(5)}(0)=cos(0)=1$

求和变成了

$\sum_{n=0}^{5}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\frac{f(0)}{0!}x^0+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5$

代入函数值和前五个导数值，我们得到麦克劳林多项式

$f(x)=sin(x)\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$

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