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AP微积分BC:积分

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例子问题

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问题11:积分

$\begin{align*}&\text{Using the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{2}^{19.2}(-3cos(6ln(3x)))dx\\&\text{Using }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

11.80

3.19

1.81

1.46

正确答案:

11.80

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{2}^{19.2}(-3cos(6ln(3x)))dx\\&\text{So the interval is }[2,19.2]\text{ the subintervals have length }\frac{19.2-(2)}{4}=\frac{43}{10}\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[2,\frac{63}{10},\frac{53}{5},\frac{149}{10}]\\&\int_{2}^{19.2}(-3cos(6ln(3x)))dx=\frac{43}{10}[(-3cos(6ln(6)))+(-3cos(6ln(\frac{189}{10})))+(-3cos(6ln(\frac{159}{5})))+(-3cos(6ln(\frac{447}{10})))]\\&\int_{2}^{19.2}(-3cos(6ln(3x)))dx=11.80\end{align*}$

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例子问题12:积分

$\begin{align*}&\text{Using }3\text{ intervals, and the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{-1}^{10.7}(-275tan(4x)^{2})dx\end{align*}$

可能的答案:

-7340.85

-60194.95

-22756.63

-1048.69

正确答案:

-7340.85

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{-1}^{10.7}(-275tan(4x)^{2})dx\\&\text{So the interval is }[-1,10.7]\text{ the subintervals have length }\frac{10.7-(-1)}{3}=\frac{39}{10}\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[-1,\frac{29}{10},\frac{34}{5}]\\&\int_{-1}^{10.7}(-275tan(4x)^{2})dx=\frac{39}{10}[(-275tan(4)^{2})+(-275tan(\frac{58}{5})^{2})+(-275tan(\frac{136}{5})^{2})]\\&\int_{-1}^{10.7}(-275tan(4x)^{2})dx=-7340.85\end{align*}$

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示例问题13:积分

$\begin{align*}&\text{Using the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{1}^{6.4}(14tan(14cos(6x)))dx\\&\text{Using }3\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

-146.12

-41.53

-394.53

-2012.10

正确答案:

-394.53

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{1}^{6.4}(14tan(14cos(6x)))dx\\&\text{So the interval is }[1,6.4]\text{ the subintervals have length }\frac{6.4-(1)}{3}=\frac{9}{5}\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[1,\frac{14}{5},\frac{23}{5}]\\&\int_{1}^{6.4}(14tan(14cos(6x)))dx=\frac{9}{5}[(14tan(14cos(6)))+(14tan(14cos(\frac{84}{5})))+(14tan(14cos(\frac{138}{5})))]\\&\int_{1}^{6.4}(14tan(14cos(6x)))dx=-394.53\end{align*}$

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问题14:积分

$\begin{align*}&\text{Using }4\text{ intervals, and the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{3}^{22.6}(10tan(8e^{(4x)}))dx\end{align*}$

可能的答案:

-168.87

-506.60

-25.59

-19.64

正确答案:

-168.87

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{3}^{22.6}(10tan(8e^{(4x)}))dx\\&\text{So the interval is }[3,22.6]\text{ the subintervals have length }\frac{22.6-(3)}{4}=\frac{49}{10}\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[3,\frac{79}{10},\frac{64}{5},\frac{177}{10}]\\&\int_{3}^{22.6}(10tan(8e^{(4x)}))dx=\frac{49}{10}[(10tan(8e^{(12)}))+(10tan(8e^{(\frac{158}{5})}))+(10tan(8e^{(\frac{256}{5})}))+(10tan(8e^{(\frac{354}{5})}))]\\&\int_{3}^{22.6}(10tan(8e^{(4x)}))dx=-168.87\end{align*}$

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例子问题15:积分

$\begin{align*}&\text{Using }3\text{ intervals, and the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{5}^{6.5}(6tan(19cos(5x)))dx\end{align*}$

可能的答案:

-0.63

-5.54

-1.38

-0.91

正确答案:

-5.54

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{5}^{6.5}(6tan(19cos(5x)))dx\\&\text{So the interval is }[5,6.5]\text{ the subintervals have length }\frac{6.5-(5)}{3}=\frac{1}{2}\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[5,\frac{11}{2},6]\\&\int_{5}^{6.5}(6tan(19cos(5x)))dx=\frac{1}{2}[(6tan(19cos(25)))+(6tan(19cos(\frac{55}{2})))+(6tan(19cos(30)))]\\&\int_{5}^{6.5}(6tan(19cos(5x)))dx=-5.54\end{align*}$

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示例问题7:黎曼和

给定一个函数 $y=\frac{5}{x}$ ，求函数在区间上的右黎曼和 [0,4] 分为四个子区间。

可能的答案:

$\frac{126}{12}$

$\frac{123}{12}$

$\frac{125}{12}$

$\frac{124}{12}$

$\frac{122}{12}$

正确答案:

$\frac{125}{12}$

解释：

为了求给定函数的黎曼和，我们需要用沿给定区间的相等子区间间隔的矩形来近似计算由函数产生的直线或曲线下的面积。因为我们有一个区间 [0,4] 分为子区间，我们将使用顶点为的矩形 x=0,1,2,3,4 ．

为了近似曲线下的面积，我们需要找出子区间中每个矩形的面积。我们已经知道了每个矩形的宽度或底 b=1 因为这些矩形是有间隔的单位分开。因为我们要求的是 $y=\frac{5}{x}$ 我们要求出高度对每个矩形取每个子区间上最右边的函数值，如下所示:

$f(4)=\frac{5}{4}$

$f(3)=\frac{5}{3}$

$f(2)=\frac{5}{2}$

$f(1)=\frac{5}{1}=5$

把它们放在一起，右黎曼和是

$A=bh=1(\frac{5}{4}+\frac{5}{3}+\frac{5}{2}+5)=\frac{15}{12}+\frac{20}{12}+\frac{30}{12}+\frac{60}{12}=\frac{125}{12}$ ．

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例子问题16:积分

$\begin{align*}&\text{Using the method of right Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{1}^{15.8}(-15sin(14e^{(4x)}))dx\\&\text{Using }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

3.35

5.20

191.30

20.79

正确答案:

20.79

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{1}^{15.8}(-15sin(14e^{(4x)}))dx\\&\text{So the interval is }[1,15.8]\text{ the subintervals have length }\frac{15.8-(1)}{4}=\frac{37}{10}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[\frac{47}{10},\frac{42}{5},\frac{121}{10},\frac{79}{5}]\\&\int_{1}^{15.8}(-15sin(14e^{(4x)}))dx=\frac{37}{10}[(-15sin(14e^{(4(\frac{47}{10}))}))+(-15sin(14e^{(4(\frac{42}{5}))}))+(-15sin(14e^{(4(\frac{121}{10}))}))+(-15sin(14e^{(4(\frac{79}{5}))}))]\\&\int_{1}^{15.8}(-15sin(14e^{(4x)}))dx=20.79\end{align*}$

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问题17:积分

$\begin{align*}&\text{Using the method of right Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{4}^{14}(-8sin(12e^{(x)}))dx\\&\text{Using }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

-143.01

-51.69

-17.23

-89.59

正确答案:

-17.23

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{4}^{14}(-8sin(12e^{(x)}))dx\\&\text{So the interval is }[4,14]\text{ the subintervals have length }\frac{14-(4)}{4}=\frac{5}{2}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[\frac{13}{2},9,\frac{23}{2},14]\\&\int_{4}^{14}(-8sin(12e^{(x)}))dx=\frac{5}{2}[(-8sin(12e^{((\frac{13}{2}))}))+(-8sin(12e^{((9))}))+(-8sin(12e^{((\frac{23}{2}))}))+(-8sin(12e^{((14))}))]\\&\int_{4}^{14}(-8sin(12e^{(x)}))dx=-17.23\end{align*}$

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示例问题18:积分

$\begin{align*}&\text{Using the method of right Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{0}^{6}(5x - 1000sin(3x)^{2})dx\\&\text{Using }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

-1412.79

-403.65

-3390.69

-21361.33

正确答案:

-3390.69

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{0}^{6}(5x - 1000sin(3x)^{2})dx\\&\text{So the interval is }[0,6]\text{ the subintervals have length }\frac{6-(0)}{4}=\frac{3}{2}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[\frac{3}{2},3,\frac{9}{2},6]\\&\int_{0}^{6}(5x - 1000sin(3x)^{2})dx=\frac{3}{2}[(5(\frac{3}{2}) - 1000sin(3(\frac{3}{2}))^{2})+(5(3) - 1000sin(3(3))^{2})+(5(\frac{9}{2}) - 1000sin(3(\frac{9}{2}))^{2})+(5(6) - 1000sin(3(6))^{2})]\\&\int_{0}^{6}(5x - 1000sin(3x)^{2})dx=-3390.69\end{align*}$

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例19:积分

$\begin{align*}&\text{Using the method of right Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{-4}^{-1.6}(15cos(12sin(6x)) + 5x^{3})dx\\&\text{Using }3\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

-31.63

-1732.45

-52.18

-208.73

正确答案:

-208.73

解释：

$\begin{align*}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[-\frac{16}{5},-\frac{12}{5},-\frac{8}{5}]\\&\int_{-4}^{-1.6}(15cos(12sin(6x)) + 5x^{3})dx\approx\frac{4}{5}[(15cos(12sin(6(-\frac{16}{5}))) + 5(-\frac{16}{5})^{3})+(15cos(12sin(6(-\frac{12}{5}))) + 5(-\frac{12}{5})^{3})+(15cos(12sin(6(-\frac{8}{5}))) + 5(-\frac{8}{5})^{3})]\\&\int_{-4}^{-1.6}(15cos(12sin(6x)) + 5x^{3})dx\approx-208.73\end{align*}$

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