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AP微积分BC:渐近和无界行为

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例子问题

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例子问题1:比较相对值(指数增长，对数增长，多项式增长)

圆柱体的高度 4in 和半径 1in 正在扩大。半径以。的速率增加 $0.1\frac{in}{s}$ 它的高度以 $0.2\frac{in}{s}$ ．它的表面积的增长率是多少?

可能的答案:

$2.8\pi\frac{in^2}{s}$

$0.2\pi\frac{in^2}{s}$

$0.4\pi\frac{in^2}{s}$

$1.6\pi\frac{in^2}{s}$

$1.4\pi\frac{in^2}{s}$

正确答案:

$1.6\pi\frac{in^2}{s}$

解释：

圆柱体的表面积由以下公式给出:

$A=2\pi r^2+2\pi rh$

为了求出随时间的增长率，对两边对时间求导:

$\frac{dA}{dt}=4\pi r \frac{dr}{dt}+2\pi h \frac{dr}{dt} + 2\pi r \frac{dh}{dt}$

因此，表面积的增长率为:

$\frac{dA}{dt}=4\pi (1in)\left(0.1\frac{in}{s}\right)+2\pi(1in)(4in)\left(0.1\frac{in}{s}\right)+2\pi(1in)\left(0.2\frac{in}{s}\right)$

$\frac{dA}{dt}=(0.4\pi+0.8\pi+0.4\pi)\frac{in^2}{s}=1.6\pi\frac{in^2}{s}$

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第1088个问题:率

挪威驯鹿数量的增长速度与人口数量成正比。从2013年到2015年，人口从9876人增加到10381人。2030年的预期人口是多少?

可能的答案:

38914

53880

15150

42581

49362

正确答案:

15150

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成正比，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰减。总体可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 是初始总体值，和是比例常数。

由于2013 - 2015年人口从9876增加到10381，我们可以解出这个比例常数:

$10381=9876e^{k(2015-2013)}$

$\frac{10381}{9876}=e^{2k}$

$2k=ln(\frac{10381}{9876})$

$k=\frac{ln(\frac{10381}{9876})}{2}=0.0252$

据此，我们可以计算出2015 - 2030年的期望值:

$P=10381e^{(2030-2015)(0.0252)} \approx 15150$

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例子问题1:比较相对值(指数增长，对数增长，多项式增长)

在未受保护的撒哈拉地区，由于偷猎大象，大象数量减少的速度与大象的数量成正比。一个地区的人口在2010年到2015年间从1038人减少到817人。2017年的预期人口是多少?

可能的答案:

493

779

619

527

742

正确答案:

742

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成正比，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰减。总体可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 是初始总体值，和是比例常数。

由于2010年到2015年人口从1038人减少到817人，我们可以解出这个比例常数:

$817=1038e^{k(2015-2010)}$

$\frac{817}{1038}=e^{5k}$

$5k=ln(\frac{817}{1038})$

$k=\frac{ln(\frac{817}{1038})}{5}=-0.048$

据此，我们可以计算出2015 - 2017年的期望值:

$P=817e^{(2017-2015)(-0.048)} \approx 742$

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例子问题1:渐近和无界行为

Asymptoteplot

$\begin{align*}&\text{Decide which of the following functions, most likely represents the graph above.}\end{align*}$

可能的答案:

$\frac{(13x + 9)}{(17x + 2)}$

$\frac{(17x - 2)}{(13x - 9)}$

$\frac{(13x - 9)}{(17x - 2)}$

$\frac{(17x + 2)}{(13x + 9)}$

正确答案:

$\frac{(13x - 9)}{(17x - 2)}$

解释：

$\begin{align*}&\text{Observation of the graph shows that there’s a sharp increase}\\&\text{and decrease on either side of a particular x-value. This type}\\&\text{of behavior is observed when there’s a vertical asymptote. An}\\&\text{asymptote is a value that a function may approach, but will}\\&\text{never actually attain. In the case of vertical asymptotes, this}\\&\text{behavior occurs if the function approaches infinity for a given}\\&\text{x-value, often when a zero value appears in a denominator. Noting}\\&\text{this rule, the above function has a zero in the denominator}\\&\text{at a definite point:}\\&x=\frac{2}{17}\\&\text{We find a zero denominator for the function: }\\&\frac{(13x - 9)}{(17x - 2)}\end{align*}$

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例子问题1:图形化识别渐近线

Asymptoteplot

$\begin{align*}&\text{Which of the four following functions is depicted in the graph above?}\end{align*}$

可能的答案:

$\frac{(14x - 19)}{(4x + 18)}$

$\frac{(4x - 18)}{(14x + 19)}$

$\frac{(14x + 19)}{(4x - 18)}$

$\frac{(4x + 18)}{(14x - 19)}$

正确答案:

$\frac{(4x + 18)}{(14x - 19)}$

解释：

$\begin{align*}&\text{Observation of the graph shows that there’s a sharp increase}\\&\text{and decrease on either side of a particular x-value. This type}\\&\text{of behavior is observed when there’s a vertical asymptote. An}\\&\text{asymptote is a value that a function may approach, but will}\\&\text{never actually attain. In the case of vertical asymptotes, this}\\&\text{behavior occurs if the function approaches infinity for a given}\\&\text{x-value, often when a zero value appears in a denominator. Noting}\\&\text{this rule, the above function has a zero in the denominator}\\&\text{at a definite point centered around:}\\&x=1.3\\&\text{We find a zero denominator for the function: }\\&\frac{(4x + 18)}{(14x - 19)}\end{align*}$

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例子问题1:渐近和无界行为

Asymptoteplot

$\begin{align*}&\text{Which of the four following functions is depicted in the graph above?}\end{align*}$

可能的答案:

$\frac{(12x - 5)}{(10x + 6)}$

$-\frac{(5x + 12)}{(6x - 10)}$

$-\frac{(6x - 10)}{(5x + 12)}$

$\frac{(18x + 6)}{(12x - 5)}$

正确答案:

$-\frac{(5x + 12)}{(6x - 10)}$

解释：

$\begin{align*}&\text{Notice that as x increases, the function graphed appears to}\\&\text{level out, flattening towards a certain value. This value is}\\&\text{what is known as a horizontal asymptote. An asymptote is a value}\\&\text{that a function approaches, but never actually reaches. Think}\\&\text{of a horizontal asymptote as the limit of a function as x approaches}\\&\text{infinity. In such a case, as x approaches infinity, any constants}\\&\text{added or subtracted in the numerator and denominator become}\\&\text{irrelevant. What matters is the power of x in the denominator}\\&\text{and the numerator; if those are the same, then the coefficients}\\&\text{define the asymptote. We see that the function flattens towards:}\\&f(\infty)=-0.8\\&\text{This matches the ratio of coefficients for the function: }\\&-\frac{(5x + 12)}{(6x - 10)}\end{align*}$

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例子问题1:图形化识别渐近线

Asymptoteplot

$\begin{align*}&\text{Of the following functions, which most likely represents the graph above?}\end{align*}$

可能的答案:

$-\frac{(10x - 11)}{(3x - 2)}$

$-\frac{(3x - 2)}{(10x - 11)}$

$\frac{(3x - 2)}{(10x - 11)}$

$\frac{(10x - 11)}{(3x - 2)}$

正确答案:

$\frac{(3x - 2)}{(10x - 11)}$

解释：

$\begin{align*}&\text{Notice that as x increases, the function graphed appears to}\\&\text{level out, flattening towards a certain value. This value is}\\&\text{what is known as a horizontal asymptote. An asymptote is a value}\\&\text{that a function approaches, but never actually reaches. Think}\\&\text{of a horizontal asymptote as the limit of a function as x approaches}\\&\text{infinity. In such a case, as x approaches infinity, any constants}\\&\text{added or subtracted in the numerator and denominator become}\\&\text{irrelevant. What matters is the power of x in the denominator}\\&\text{and the numerator; if those are the same, then the coefficients}\\&\text{define the asymptote. We see that the function flattens towards:}\\&f(\infty)=0.3\\&\text{This matches the ratio of coefficients for the function: }\\&\frac{(3x - 2)}{(10x - 11)}\end{align*}$

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例子问题1:渐近和无界行为

Asymptoteplot

$\begin{align*}&\text{Of the following functions, which most likely represents the graph above?}\end{align*}$

可能的答案:

$\frac{(17x - 5)}{(19x + 9)}$

$-\frac{(17x - 5)}{(19x + 9)}$

$\frac{(19x + 9)}{(17x - 5)}$

$-\frac{(19x + 9)}{(17x - 5)}$

正确答案:

$-\frac{(19x + 9)}{(17x - 5)}$

解释：

$\begin{align*}&\text{Notice that as x increases, the function graphed appears to}\\&\text{level out, flattening towards a certain value. This value is}\\&\text{what is known as a horizontal asymptote. An asymptote is a value}\\&\text{that a function approaches, but never actually reaches. Think}\\&\text{of a horizontal asymptote as the limit of a function as x approaches}\\&\text{infinity. In such a case, as x approaches infinity, any constants}\\&\text{added or subtracted in the numerator and denominator become}\\&\text{irrelevant. What matters is the power of x in the denominator}\\&\text{and the numerator; if those are the same, then the coefficients}\\&\text{define the asymptote. We see that the function flattens towards:}\\&f(\infty)=-1.12\\&\text{This matches the ratio of coefficients for the function: }\\&-\frac{(19x + 9)}{(17x - 5)}\end{align*}$

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问题61:函数，图和极限

Asymptoteplot

$\begin{align*}&\text{Of the following functions, which most likely represents the graph above?}\end{align*}$

可能的答案:

$-\frac{(15x + 4)}{(x - 13)}$

$-\frac{(x - 13)}{(15x + 4)}$

$-\frac{(15x - 4)}{(x + 13)}$

$-\frac{(x + 13)}{(15x - 4)}$

正确答案:

$-\frac{(x - 13)}{(15x + 4)}$

解释：

$\begin{align*}&\text{Observation of the graph shows that there’s a sharp increase}\\&\text{and decrease on either side of a particular x-value. This type}\\&\text{of behavior is observed when there’s a vertical asymptote. An}\\&\text{asymptote is a value that a function may approach, but will}\\&\text{never actually attain. In the case of vertical asymptotes, this}\\&\text{behavior occurs if the function approaches infinity for a given}\\&\text{x-value, often when a zero value appears in a denominator. Noting}\\&\text{this rule, the above function has a zero in the denominator}\\&\text{at a definite point centered approximately around:}\\&x=-0.3\\&\text{We find a zero denominator for the function: }\\&-\frac{(x - 13)}{(15x + 4)}\end{align*}$

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例子问题1:渐近和无界行为

Asymptoteplot

$\begin{align*}&\text{Of the following functions, which most likely represents the graph above?}\end{align*}$

可能的答案:

$\frac{(15x - 1)}{(9x - 11)}$

$\frac{(15x + 1)}{(9x + 11)}$

$\frac{(9x + 11)}{(15x + 1)}$

$\frac{(9x - 11)}{(15x - 1)}$

正确答案:

$\frac{(9x - 11)}{(15x - 1)}$

解释：

$\begin{align*}&\text{Observation of the graph shows that there’s a sharp increase}\\&\text{and decrease on either side of a particular x-value. This type}\\&\text{of behavior is observed when there’s a vertical asymptote. An}\\&\text{asymptote is a value that a function may approach, but will}\\&\text{never actually attain. In the case of vertical asymptotes, this}\\&\text{behavior occurs if the function approaches infinity for a given}\\&\text{x-value, often when a zero value appears in a denominator. Noting}\\&\text{this rule, the above function has a zero in the denominator}\\&\text{at a definite point centered approximately around:}\\&x=0.1\\&\text{We find a zero denominator for the function: }\\&\frac{(9x - 11)}{(15x - 1)}\end{align*}$

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圣约瑟夫学院，文学学士，数学。

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塔尔萨社区学院，理学，机械工程副学士。

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凤凰城的GRE导师，在旧金山湾区的GMAT导师，迈阿密的GMAT导师，达拉斯沃斯堡的数学导师，休斯顿的阅读导师，西雅图的物理导师，波士顿物理导师，凤凰城的LSAT导师，圣地亚哥的计算机科学导师，达拉斯沃斯堡的代数导师

流行的测试准备

在迈阿密进行ACT考试准备，在迈阿密进行GMAT考试准备，在圣地亚哥的GMAT考试预科学校，休斯顿的GMAT考试准备中心，在纽约的SAT考试准备，芝加哥GMAT考试预科学校，在丹佛进行ACT考试准备，纽约市的SSAT考试准备中心，华盛顿的LSAT考试准备中心，圣迭戈ISEE考试准备中心

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